辽宁省辽南协作体2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（A）（解析版）

PAGEPAGE1辽宁省辽南协作体2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（A）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.椭圆的焦距是（）A. B. C.4 D.8〖答案〗A〖解析〗椭圆中，，故，所以椭圆的焦距是.故选：A.2.抛物线的焦点到准线的距离为，则（）A.4 B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗抛物线化为标准式，则，即，抛物线的焦点到准线的距离为，，即，解得.故选：C.3.若圆关于直线对称，则圆C的面积为（）A.π B.2π C.4π D.6π〖答案〗B〖解析〗由题意圆的圆心在直线上，即，解得，所以圆半径的平方为，面积为.故选：B.4.已知空间向量，，，若三向量、、共面，则实数（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为三向量、、共面，设，其中、，则，解得.故选：B.5.双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）A.4 B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗由题可知：双曲线，其中一个焦点为，其中一条渐近线，所以焦点到渐近线的距离为，故选:C.6.在空间中，三个平面PAB，PBC，PAC相交于一点P，已知，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值等于（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图，作，作A点在平面PBC射影为O，连接OE，OF，设.因，则.因平面PFOE，平面PFOE，则，且为PA与平面PBC所成角，又，，平面AOE，平面AOF，则平面AOE，平面AOF.又平面AOE，平面AOF，则.又，，，则，故，结合，得.又，则，故PA与平面PBC所成角的正弦值等于.故选：A7.若圆：与圆：外切，则（）A. B.16 C.21 D.9〖答案〗D〖解析〗圆：的圆心为，半径；圆：，即圆：，圆心：半径，所以，所以；故选：D8.如图，已知正四面体ABCD中，，，则异面直线DE和BF所成角的余弦值等于（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在正四面中，设向量，，，则三个向量两两夹角为，设正四面体的棱长等于1，且，，，∵，，∴，，，，∵，∴，即直线和所成角的余弦值为，故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知空间中三点，则下列结论正确的有（）A.与是共线向量B.与共线的单位向量是C.与夹角的余弦值是D.平面的一个法向量是〖答案〗CD〖解析〗对于，不存在实数，使得，所以与不是共线向量，所以错误;对于，因为，所以与共线的单位向量为或，所以错误;对于，向量，所以，所以C正确;对于，设平面的法向量是，因为，所以，即，令，则，所以D正确．故选：.10.已知直线l过点，且与直线以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则（）A.直线l的方程为 B.直线l与直线的倾斜角互补C.直线l在y轴上的截距为1 D.这样的直线l有两条〖答案〗ABC〖解析〗因为直线l与及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，所以l与的倾斜角互补，故B正确；由直线的斜率为，知直线l的斜率为，可得直线l的方程为，即l的方程为，故A正确；令，得，所以l在y轴上的截距为1，故C正确；过点且斜率为的直线只有一条，故D错误．故选：ABC．11.已知在棱长为1正方体中，点分别是，，的中点，下列结论中正确的是（）A.平面 B.平面C.三棱锥的体积为 D.直线与所成的角为〖答案〗ABD〖解析〗对于A，在正方体中，,平面，平面，故平面，A正确；对于B，以D为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系，连接，，则,则，，则，，故，即,而平面，故平面，B正确；对于C，连接，三棱锥的体积，C错误；对于D，连接EF，，则，故，即，由于异面直线所成角大于小于等于，故直线与所成的角为，D正确，故选：ABD12.已知双曲线，若圆与双曲线的渐近线相切，则（）A.双曲线的实轴长为B.双曲线的离心率C.点为双曲线上任意一点，若点到的两条渐近线的距离分别为、，则D.直线与交于、两点，点为弦的中点，若（为坐标原点）的斜率为，则〖答案〗BCD〖解析〗由题意知的渐近线方程为，所以，因为，则，所以双曲线的实轴长为，故A错误；，所以，故B正确；设，则，，故C正确；设、，则，两式作差得，所以，，D对.故选：BCD.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线与直线平行，则______．〖答案〗〖解析〗因为直线与直线平行，所以且，解得.故〖答案〗为：.14.P是椭圆上的点，F1和F2是该椭圆的焦点，则k＝|PF1|·|PF2|的最大值是________．〖答案〗4〖解析〗由题意，设|PF1|＝x，∵|PF1|+|PF2|＝2a＝4，∴|PF2|＝4﹣x∴|PF1|•|PF2|＝x（4﹣x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4∵a＝2，b，∴c1，由|PF1|可得1≤x≤3∴x＝2时，k＝﹣x2+4x取最大值为4，故〖答案〗为4．15.已知向量，若，则_________．〖答案〗〖解析〗设向量，，，设与的夹角为，，，.故〖答案〗为：.16.抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=___________.〖答案〗6〖解析〗因为抛物线x2=2py的准线和双曲线相交交点横坐标为四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.直线l与直线垂直，且经过点．（1）求l的方程；（2）若圆截直线l所得弦长为4，求实数m的值．解：（1）由题意可设：．因为经过点，所以，．所以的方程是．（2）圆的标准方程为．圆心，半径．圆心到直线距离．由垂径定理，即，得．18.已知抛物线上横坐标为4的点到其焦点的距离是6．（1）求的方程；（2）设直线交于，两点，若（为坐标原点），求的值．解：（1）的准线为．由题意根据抛物线定义得：，解得，故的方程为：．（2）联立与得，．设，，则，于是．因为，所以，即，因为，所以．19.如图，正三棱柱中，各棱长均为4，N是的中点.（1）求点N到直线的距离；（2）求点到平面的距离.解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则，∵N是的中点，∴.，则.设点N到直线的距离为，则.（2）设平面的一个法向量为，则由，得，令，则，即.易知，设点到平面距离为，则.20.已知，双曲线，椭圆，与的离心率之积为.（1）求的渐近线方程；（2）设M，N分别是的两条渐近线上的动点，且，若O是坐标原点，，求动点P的轨迹方程，并指出它是什么曲线.解：（1）离心率是，离心率是.由得，所以的渐近线方程是.（2）不妨设在上，在上，则，.因为，所以，即，因为，设，则，故，化简得点轨迹方程是.则点轨迹是长轴是，焦距是的椭圆.21.如图，四棱锥中，平面，底面为正方形，已知，E为中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求二面角的余弦值．解：（1）连结交于，连结如下图所示：因为为正方形，所以是中点．又为中点，所以．平面，平面，所以平面．（2）因平面，平面，所以；又因为为正方形，所以所以两两垂直，以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所示：不妨设，则，，，，，，，设是平面的一个法向量，即，取，可得，即；故直线与平面所成角正弦值为．（3）设是平面的一个法向量，则，解得，取，可得，即可得．因为，由图可知二面角是钝二面角，故二面角的余弦值为.22.已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为，椭圆上异于长轴顶点的任意