山西省2024届高三上学期优生联考数学试题（解析版）

PAGEPAGE1山西省2024届高三上学期优生联考数学试题一、选择题1.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以.故选：B2.已知集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由，等价于，解得或，所以，又，所以.故选：C3.第19届亚洲运动会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，时值中秋和国庆假期，某班同学利用假期在家通过网络直播观看比赛.已知该班有30名学生喜欢看排球比赛，40名同学喜欢看篮球比赛，50名同学喜欢看排球比赛或篮球比赛，若从喜欢看排球比赛的同学中抽取1人，则此同学喜欢看篮球比赛的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设有人两种比赛都喜欢，则有人只喜欢看排球比赛，人只喜欢看篮球比赛，所以有，解得人，所以从喜欢看排球比赛的同学中抽取1人，则此同学喜欢看篮球比赛的概率为.故选：B4.已知平面向量、满足，若，则与的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，且，所以，即，所以，设与的夹角为，则，因为，所以，即与的夹角为.故选：D5.已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（）．A.13 B.12 C.10 D.8〖答案〗A〖解析〗，故,记抛物线的准线为，则：，记点到的距离为，点到的距离为，则.故选：A.6.已知、是两个平面，直线，，若以①；②；③中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有（）A.①③②；①②③ B.①③②；②③①C.①②③；②③① D.①③②；①②③；②③①〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗（1）①②③为真命题因为，，设平行于内一条直线，所以，根据面面垂直的判定定理可知：，所以①②③为真命题；（2）①③②为真命题因为，，所以或，又因为，所以，所以①③②为真命题；（3）②③①为假命题作出正方体如下图所示：记直线为，平面为，平面为，所以，，但，所以②③①为假命题；故选：A.7.已知函数的图象与的图象关于轴对称，若将的图象向左至少平移个单位长度后可得到的图象，则（）A.图象关于原点对称B.C.在上单调递增D.的图象关于点对称〖答案〗B〖解析〗由题意，可设，，因为与的图象关于轴对称，所以，则，解得，由于，，故的最小值为，因为的图象向左至少平移个单位长度后可得到的图象，所以，解得，则.对于A，因为的定义域为，而，所以不是奇函数，图象不关于原点对称，错误；对于B，，B正确；对于C，由，得，又在上不单调，C错误；对于D，，故不是图象的对称中心，D错误.故选：B.8.如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续.设初始正方形的边长为，依次构造出的小正方形（含初始正方形）的边长构成数列，若的前n项和为，令，其中表示x，y中的较大值.若恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为的前n项和为，所以当时，，又当时，，符合上式，所以数列的通项公式，数列满足，因为，公比，所以，所以，因为数列是递减数列，而是递增数列；，其中表示x，y中的较大值.若恒成立，所以是数列中的最小项，所以当时，则，即，解得，当时，则，即，解得，取并集可得，故选：D.二、选择题9.下列代数式的值为的是（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A选项，；对于B选项，；对于C选项，；对于D选项，.故选：BCD.10.已知，且，则（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，故A错误；对于B，因为，所以，故，又因，当且仅当时取等号，所以，故B正确；对于C，，当且仅当时取等号，故C正确；对于D，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，故D正确.故选：BCD.11.已知定义在上的函数满足，且为奇函数，当时，，则（）A.是周期为的周期函数 B.C.当时， D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A选项，因为定义在上的函数满足，则，故是周期为的周期函数，A对；对于B选项，因为函数为奇函数，则，在等式中，令可得，又因为当时，，则，解得，故当时，，所以，，B对；对于C选项，当时，，，因为，则函数的图象关于点对称，所以当时，，C错；对于D选项，由C选项，可知，，则，且，所以，，因，故，D对.故选：ABD.12.在长方体中，，E是棱的中点，过点B，E，的平面交棱于点F，P为线段上一动点（不含端点），则（）A.三棱锥的体积为定值B.存在点P，使得C.直线与平面所成角的正切值的最大值为D.三棱锥外接球的表面积的取值范围是〖答案〗ACD〖解析〗对于A，因为平面平面，根据面面平行的性质，平面与这两个平面的交线互相平行，即，因为面，面，所以平面，又点P在线段上，所以三棱锥的体积为定值，故A正确；对于B，若存在点P，使得，因为，则，因为，，平面,所以平面，与题意矛盾，故B错误；对于C，如图1所示，取的中点Q，连接，则点P在平面内的射影在上，直线与平面所成角即，且有，由已知可得，最小为，所以的最大值为，故C正确；对于D，如图2，取的中点G，连接，分别取，的中点，，连接，因为是等腰直角三角形，所以三棱锥外接球的球心O在直线上，设三棱锥外接球的半径为，则，所以，设，则，所以,当点与重合时，取最小值，此时，三棱锥外接球的表面积为，当点P与重合时，取最大值，此时，三棱锥外接球的表面积为，故D正确．故选：ACD.三、填空题13.已知，则_______．〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以，即，所以，所以．故〖答案〗为：.14.已知函数，若直线与曲线相切，则________________.〖答案〗〖解析〗设切点为，，由题意可得，因为函数在上都是增函数，所以函数在上是增函数，又，所以，所以切点为，则，解得.故〖答案〗为：.15.月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见.某学习小组通过单光源实验来演示月球背面.由光源点射出的两条光线与分别相切于点、，称两射线、上切点上方部分的射线与优弧上方所夹的平面区域(含边界)为圆的“背面”.若以点为圆心，为半径的圆处于的“背面”，则的最大值为__________.〖答案〗〖解析〗如图设过点的切线方程为，所以，解得，所以直线的方程为，即，令，解得，直线的方程为，即，令，解得，因为圆处于圆的“背面”，所以，当圆与圆外切且圆与（或）相切时，取最大值，由圆与圆外切得，圆与相切时，又，所以，所以，即，解得或，结合，所以，所以的最大值为，同理圆与相切时的最大值为，综上可得的最大值为.故〖答案〗为：16.已知双曲线的左､右焦点分别为，点在的左支上，，，延长交的右支于点，点为双曲线上任意一点（异于两点），则直线与的斜率之积__________.〖答案〗2〖解析〗依题意，设双曲线的半焦距为，则，因为是的中点，所以，故由得，又因为，所以，在中，，在中，，所以，解得，所以，所以双曲线方程为，则，设，，，所以，故〖答案〗为：2.四、解答题17.在等差数列中，，，数列的前项和为，且.（1）求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.（1）解：设等差数列公差为，则，解得，所以，，数列的前项和为，且，当时，则有，当时，由可得，上述两个等式作差可得，即，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，则.（2）解：因为，则，①可得，②①②得，故.18.已知中，角所对的边分别为.（1）求；（2）设是边上的点，且满足，求内切圆的半径.解：（1）已知，由正弦定理得，又，所以，因为，所以，因为，所以.（2）如图所示：在中根据余弦定理得，即，①又因为，所以，因为，所以，将两边平方并整理得，②联立①②得到，所以，，所以，.所以的面积为.设其内切圆半径为，则，解得，所以内切圆的半径为.19.2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人．2019年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时．为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；（2）由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且．（ⅰ）利用直方图得到的正态分布，求；（ⅱ）从该地随机抽取20名志愿者，记表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求（结果精确到0.001）以及的数学期望．参考数据：，．若，则．解：（1）．．（2）（ⅰ）由题知，，所以，．所以．（ⅱ）由（ⅰ）知，可得．．故的数学期望．20.如图，在三棱柱中，侧面的面积为4，且四棱锥的体积为.（1）求点到平面的距离;（2）若平面平面，侧面是正方形，为中点，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.解：（1）设点到平面的距离为，由三棱柱知，四边形是平行四边形，所以，所以，由三棱柱知四边形是平行四边形，所以，又，所以，解得，即点到平面的距离为2；（2）取中点为，连接，因为平面平面，且，所以，又平面平面，则平面，且是正方形，以为坐标原点，分别为轴，轴正方向，过点作轴平行，建立如图所示空间直角坐标系，因为平面平面，且是正方形，则平面，由（1）可知，，，则，，，，，且为的中点，则，所以，设平面法向量为，则，解得，取，则，所以平面的一个法向量为，又，设平面的法向量为，则，解得，取，则，所以平面的一个法向量为，设平面与平面所成锐二面角为，，即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.21.设，分别是椭圆的左、右焦点，，椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）作直线与椭圆交于不同的两点，，其中点的坐标为，若点是线段垂直平分线上一点，且满足，求实数的值.解：（1）依题意可得，所以，则，所以椭圆的方程为.（2）由，根据题意可知直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，由，消去整理得，设，则，所以，则，所以，则的中点坐标为，①当时，，线段的垂直平分线为轴，于是，．由，解得．②当时，线段的垂直平分线的方程为．由点是线段垂直平分线