第7章平面图形的认识（二）全章复习与巩固 苏科版数学七年级下册基础知识讲与练

专题7.26平面图形的认识（二）（全章复习与巩固）（知识讲解）【知识要点一】三线八角：两条直线AB、CD与直线EF相交，交点分别为E、F，如图，则称直线AB、CD被直线EF所截，直线EF为截线.两条直线AB、CD被直线EF所截可得8个角，即所谓“三线八角”.（一）、这八个角中有：1、对顶角：∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与∠7，∠6与∠8.2、邻补角有：∠1与∠2，∠2与∠3，∠3与∠4，∠4与∠1，∠5与∠6，∠6与∠7，∠7与∠8，∠8与∠5.（二）、同位角，内错角，同旁内角：1、同位角：两条直线被第三条直线所截，在二条直线的同侧，且在第三条直线的同旁的二个角叫同位角.如图中的∠1与∠5分别在直线AB、CD的上侧，又在第三条直线EF的右侧，所以∠1与∠5是同位角，它们的位置相同，在图中还有∠2与∠6，∠4与∠8，∠3与∠7也是同位角.2、内错角：两条直线被第三条直线所截，在二条直线的内侧，且在第三条直线的两旁的二个角叫内错角.如上图中∠2与∠8在直线AB、CD的内侧（即AB、CD之间），且在EF的两旁，所以∠2与∠8是内错角.同理，∠3与∠5也是内错角.3、同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在两条直线的内侧，且在第三条直线的同旁的两个角叫同旁内角.如上图中的∠2与∠5在直线AB、CD内侧又在EF的同旁，所以∠2与∠5是同旁内角，同理，∠3与∠8也是同旁内角.因此，两条直线被第三条直线所截，共得4对同位角，2对内错角，2对同旁内角.【知识要点二】直线平行的判定：1、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，简记为：同位角相等，两直线平行2、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，简记为：内错角相等，两直线平行3、两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，简记为：同旁内角互补，两直线平行【知识要点三】直线平行的性质：1、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简记：两直线平行，同位角相等2、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简记：两直线平行，内错角相等3、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简记：两直线平行，同旁内角互补【知识要点四】平移：一、平移的概念：把图形上所有点都按同一方向移动相同的距离叫作平移。△ABC向右平移相同距离得到△A’B’C’，其中A与A’是对应点，线段AB与线段A’B’是对应线段，∠A与∠A’是对应角.二、平移的特征：1、平移后的图形与原来的图形的对应线段平行且相等，对应角相等，图形的形状、大小都没有发生改变，并且平移不改变直线的方向.2、平移把直线变成与它平行的直线.3、两条平行线中的一条可以通过平移与另一条重合三、平移作图：确定一个图形平移后的位置所需条件为：1、图形原来的位置；2、平移的方向；3、平移的距离四、两直线之间的距离：如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等,这个距离称为平行线之间的距离。【知识要点五】三角形一、三角形的定义：1、由不在同一直线上的三条线段首位顺次相接所组成的图形叫做三角形.2、三角形有三条边、三个顶点和三个内角.记作：△ABC三角形的顶点：A、B、C；三角形的内角:∠A、∠B、∠C；三角形的边：AB、AC、BC二、三角形分类：（一）、分类：1、三角形按边分类：注：等边三角形是特殊的等腰三角形，切记不能将三角形按边分成不等边三角形、等腰三角形和等边三角形三类.2、三角形按角分类：（1）三个内角都是锐角的三角形叫做锐角三角形.（2）有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形.在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC、BC叫做直角三角形的直角边，AB叫做直角三角形的斜边.用“Rt”表示直角，直角三角形ABC可表示为：Rt△ABC.直角三角形的两个锐角互余.即∠A＋∠B＝90°.（3）有一个内角是钝角的三角形叫做钝角三角形.三、三边关系：1、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边;（判断三条线段能否构成一个三角形时，就看这三条线段是否满足任何两边之和大于第三边，其简便方法是看两条较短线段的和是否大于第三条最长的线段.）四、三角形的性质：三角形具有稳定性【知识要点六】三角形三条重要线段一、三角形的角平分线、中线和高：如图，点D、E、F都在AB上.（一）、角平分线：1、在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段叫做三角形的角平分线.2、若∠ACE=∠ECB=∠ACB（即CE平分∠ACB），则CE是△ABC的角平分线.（二）、高：1、从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.2、若CF⊥AB（即∠AFC＝∠BFC＝90°），则CF是△ABC的高.（三）、中线：1、在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线.2、若AD=BD=AB（即D是AB的中点）时，则CD是△ABC的中线.（四）、特别注意：（1）三角形有三条角平分线，三条中线，三条高线（它们都是线段）（2）三角形三条角平分线，三条中线都在三角形的内部，但高不一定(钝角三角形有两条在外部，直角三角形时有两条恰好是两条直角边).（3）三角形三条角平分线交于一点，三条中线交于一点，三条中线所在的直线交于一点.（四）、外角：（1）三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角（2）我们把两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做这个等腰三角形的腰；把三边都相等的三角形叫做等边三角形（或正三角形）.三角形的中线三条中线交于三角形内一点三角形的角平分线三条角平分线交于三角形内一点三角形的高锐角三角形的三条高交于三角形内一点；直角三角形的三条高交于边上；钝角三角形的三条高交于三角形外一点二、三角形的内角和定理：1、三角形的内角：①三角形的三个内角的和等于180°.②推论：直角三角形的两个锐角互余.2、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角.图中的∠CBD称为△ABC的一个外角3、注意：①“外角”是三角形的外角，不是它相邻内角的外角.对三角形的外角,称某个角是某个三角形的外角,而不称三角形某个角的外角②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.③三角形的外角和等于360°.特别说明：多边形的外角：（1）多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.（2）任意多边形的外角和等于360°.多边形的内角：n边形的内角和等于（n－2）·180°【典型例题】类型一、平行➽➼理解与识别1．下列说法正确的是（）A．a、b、c是直线，若，则B．a、b、c是直线，若，则C．a、b、c是直线，若，则D．a、b、c是直线，若，则【答案】D【分析】根据平行线的性质和判定逐个判断即可．解：A．当时，，故本选项错误，不符合题意；B．在同一平面内，当时，，故本选项错误，不符合题意；C．当时，，故本选项错误，不符合题意；D．当时，，故选项正确，符合题意；故选：D．【点拨】本题考查了平行公理和推论，平行线的性质和判定等知识点，能灵活运用定理进行判断是解此题的关键，此题比较好，但是比较容易出错．举一反三：【变式】在同一个平面内的直线a，b，c，若，，则b与c的关系是（）A．平行 B．垂直 C．相交 D．不能确定【答案】A【分析】根据“同一个平面内，平行于同一条直线的两条直线平行”分析判断即可．解：根据“同一个平面内，平行于同一条直线的两条直线平行”可知，在同一个平面内的直线a，b，c，若，，则．故选：A．【点拨】本题主要考查了平行公理推论，熟练掌握平行公理及其推论是解题关键．类型二、三线八角➽➼内错角、同位角、同旁内角➽➼理解与识别2．如图，下列说法不正确的是（

）A．与是同位角 B．与是同位角C．与是内错角 D．与是同旁内角【答案】D【分析】本题要根据内错角、同位角以及同旁内角的定义来判断．解：∵同位角是在截线同旁，被截线相同的一侧的两角，且同位角的边构成“F”形，∴A，B正确；∵两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角，∴C选项正确，D选项，与不是同旁内角，故选：D．【点拨】本题考查了内错角、同位角以及同旁内角的定义，掌握内错角、同位角以及同旁内角的定义是解题的关键．两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角，两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角，两个角称为同旁内角；同位角是在截线同旁，被截线相同的一侧的两角，且同位角的边构成“F”形．举一反三：【变式】如图，下列判断中正确的个数是（）（1）∠A与∠1是同位角；（2）∠A和∠B是同旁内角；（3）∠4和∠1是内错角；（4）∠3和∠1是同位角．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线．解：（1）∠A与∠1是同位角，正确，符合题意；（2）∠A与∠B是同旁内角．正确，符合题意；（3）∠4与∠1是内错角，正确，符合题意；（4）∠1与∠3不是同位角，错误，不符合题意．故选：C．【点拨】此题主要考查了三线八角，在复杂的图形中识别同位角、内错角、同旁内角时，应当沿着角的边将图形补全，或者把多余的线暂时略去，找到三线八角的基本图形，进而确定这两个角的位置关系．类型三、平行线的判定➽➼证明✮✮求角度3．如图，直线、交于点O，，分别平分和，已知，且．求的度数；试说明的理由．【答案】(1)的度数为 (2)见分析【分析】（1）根据角平分线的定义推出，再根据对顶角性质求解即可；（2）结合等量代换得出，根据“内错角相等，两直线平行”即可得解．（1）解：∵，分别平分和，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）解：，，∴，∴．【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，余角的性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．举一反三：【变式】如图AF与BD相交于点C，∠B=∠ACB，且CD平分∠ECF．求证：．请完成下列推理过程：证明：∵CD平分∠ECF∴∠ECD=_____(

)∵∠ACB=∠FCD(

）∴∠ECD=∠ACB(

）∵∠B=∠ACB∴∠B=∠___(

)∴(

)．【答案】∠FCD；角平分线的定义；对顶角相等；等量代换；ECD；等量代换；同位角相等，两直线平行【分析】首先根据角平分线的定义及对顶角的性质，可证得∠ECD∠ACB，再根据∠B=∠ACB，即可证得∠B=∠ECD，最后根据平行线的判定定理即可填得．解：∵CD平分∠ECF∴∠ECD∠FCD(角平分线的定义)∵∠ACB∠FCD(对顶角相等)∴∠ECD∠ACB(等量代换)∵∠B=∠ACB∴∠B=∠ECD(等量代换)∴(同位角相等，两直线平行)．【点拨】本题考查了角平分线的定义、对顶角的性质、平行线的判定定理，结合题意和图形证得∠B=∠ECD是解决本题的关键．4．动手操作：如图①：将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．若∠BCD＝150°，求∠ACE的度数；试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，请说明理由；若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究当时，∠BCD等于多少度，并简要说明理由．【答案】(1)30° (2)∠BCD＋∠ACE＝180°；理由见分析 (3)当∠BCD＝120°或60°时，；理由见分析【分析】（1）依据∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，即可得到∠BCD+∠ACE的度数；（2）依据∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，即可得到∠BCD+∠ACE的度数；（3）分两种情况讨论，依据平行线的判定，即可得到当∠BCD等于120°或60°时，．（1）解：∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，∴∠BCD+∠ACE=90°+∠ACD+∠ACE=90°+90°=180°∵∠BCD=150°，∴∠ACE=180°-150°=30°．（2）∠BCD+∠ACE=180°，理由如下：∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，∴∠BCD+∠ACE=90°+∠ACD+∠ACE=90°+90°=180°（3）当∠BCD＝120°或60°时，．如图1所示，根据同旁内角互补，两直线平行，当∠B＋∠BCD＝180°时，，∴此时∠BCD＝180°－∠B＝180°－60°＝120°；如图2所示，根据内错角相等，两直线平行，当∠BCD＝∠B＝60°时，．综上所述，∠BCD=60°或120°.【点拨】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理，并且能够准确识图，是解题的关键．举一反三：【变式】完成下面证明如图，已知在同一平面内的三条直线a，b，c，a⊥b，a⊥c；求证：．证明：∵a⊥b∴∠1=90°（

）同理∠2=90°∴（

）=（

）∴．（

）．【分析】由垂直的定义，得到∠1=90°，然后由同位角相等，两直线平行，即可得到结论成立．解：证明：如图：∵a⊥b∴∠1=90°（垂直的定义）同理∠2=90°∴∠1=∠2∴．（同位角相等两直线平行）【点拨】本题考查了平行线的判定定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确得到∠1=∠2类型四、平行线的性质与判定➽➼证明✮✮求角度5．如图，，．求证：；若，，求的度数．【答案】(1)见分析 (2)【分析】（1）由已知条件可证得，从而有，则得，得证；（2）由（1）得，利用两直线平行，同旁内角互补可求解．解：（1）证明：，，，，，，；（2）解：，，，，，，．【点拨】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．举一反三：【变式1】如图，已知点在直线上，点在线段上，与交于点，，．求证：；试判断与之间的数量关系，并说明理由；若求的度数．【答案】(1)证明见分析； (2)，理由见分析； (3)【分析】（1）依据同位角相等，即可得到两直线平行；（2）依据平行线的性质，可得出，进而判定，即可得出；（3）依据已知条件求得的度数，进而利用平行的性质得出的度数，依据对顶角相等即可得到的度数．解：（1）证明：，；（2）解：;理由：，,，,,；（3）解：，，,又，，，又，，．【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判定两直线的位置关系，平行线的性质是由平行线关系来寻找角的数量关系．【变式2】填空并完成以下证明：如图，已知，，试判断与的大小关系，并说明理由．解：与的大小关系是___________．证明：∵（已知）（）∴___________

∴（）∴（）∵∴（）∴___________（）∴（）【答案】；对顶角相等；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等【分析】由，，得到，求得，得到，即可求得解：与的大小关系是．证明：∵（已知）（对顶角相等）∴∴（同旁内角互补，两直线平行）∴（两直线平行，内错角相等）∵∴（等量代换）∴（同位角相等，两直线平行）∴（两直线平行，同位角相等）【点拨】本题考查根据平行线判定与性质证明，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．6．有两个与，保持不动，且的一边，另一边DE与直线OB相交于点F．若，，解答下列问题：如图，当点E、O、D在同一条直线上，即点O与点F重合，求的度数．当点E、O、D不在同一条直线上，直接写出的度数_______．【答案】(1) (2)或【分析】(1)根据平行线的性质，即可求，再根据即可求(2)当点不在同一条直线上时，过F作，根据平行线的性质，即可得，，再根据或即可求．（1）解：∵，且，∴，∵，∴；（2）①如图，当点不在同一条直线上时，过F作，∵，∴，∴，∴，②如图，当点不在同一条直线上时，过F作，∵，∴，∴，∴，故答案为：或【点拨】本题考查了平行线的性质的运用，正确作出平行线是解决问题的关键．举一反三：【变式1】（1）【问题】如图1，若，，．则______；（2）【问题归纳】如图1，若，请猜想，，之间有何数量关系？请说明理由；（3）【联想拓展】如图2，，点在的上方，问，，之间有何数量关系？直接写出结论．【答案】（1）；（2），理由见分析；（3）．【分析】（1）过点作，根据平行线的性质可得，，进而可求解；（2）借助（1）的思路即可证明；（3）过点作，则，根据平行线的性质可得，即可得，结合可求解．解：（1）如图1，过点作，∵，，∴．∴又∵，∴，∴；故答案为：．（2）猜想：，理由如下：如图1，过点作，∵，，∴．∴又∵，∴，∴．（3），理由：如图2，过点作，则，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【点拨】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关键．【变式2】如图，已知，，，三等分（即）．求的度数；吗？为什么？【答案】(1)； (2)，理由见分析．【分析】（1）过点作，根据可知，，，从而可求得，再根据可求得的度数；4（2）由（1）可知，，可得．解：（1）过点作，则，∵，∴，∴又∵，∴，∵三等分（即）∴．（2）由（1）知，∴，∴．【点拨】本题考查平行线的性质与判定，关键在于通过构造辅助线，转化角度之间的关系．类型五、平行线➽➼平行线之间距离➽➼证明✮✮求角度7．如图，直线与分别相交于点，且交直线于点．（1）若，求的度数；（2）若，求直线与的距离．【答案】（1）20°；（2）【分析】（1）依据直线a∥b，AC⊥AB，即可得到∠2＝90°−∠3＝20°；（2）设三角形中边上的高为，依据，即可得到．（1）解：因为，所以，又因为，所以，所以（2）设三角形中边上的高为，因为边上的高线垂直于又因为，点在直线，所以边上的高即为直线与的距离，因为，所以，所以直线与的距离为．【点拨】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的面积，解题的关键是掌握：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．举一反三：【变式】如图，已知，，于点，于，．（1）求证：；（2）求点到的距离．【答案】（1）见分析（2）6【分析】（1）根据已知求证即可；（2）根据平行公理得出，从而得出即为点到的距离，再根据线段的和即可得出答案．解：（1）∵，，∴，∴；（2），∴，∴即为点到的距离，∵，，∴，，故点到的距离为6．【点拨】本题主要考查平行线的判定，点到直线的距离，平行线间的距离，熟知平行线的判定定理以及平行线间距离处处相等时解题的关键．类型六、平行线➽➼平移➽➼证明✮✮求线段长8．如图，在正方形网格中有一个，按要求进行下列作图．过点B画出的平行线；将进行平移，使点A经平移后所得的图形是点D，点B与点E是对应点请画出平移后得到的．【答案】(1)见分析 (2)见分析【分析】（1）根据平行线的性质结合网格即可求解；（2）根据平移的性质找出对应点即可求解．（1）解：（1）如图所示，直线即为所求；（2）解：如图所示，即为所求．【点拨】本题考查了平移变换的性质，平行线的性质，熟练掌握平移变换的性质是解题的关键．举一反三：【变式】如图，已知三角形，是的平分线，平移三角形，使点移动到点，点的对应点是，点的对应点是．在图中画出平移后的三角形；画出点到线段的垂线段；若，与相交于点，则___________°，___________°．【答案】(1)见分析 (2)见分析 (3)35°

110°【分析】（1）根据要求画出图形即可；（2）根据三角形的高的定义画出图形即可；（3）利用角平分线的定义，平行线的性质求解即可．解：（1）如图，三角形即为所求；（2）如图，线段即为所求；（3）是的平分线，，又，，，．故答案为，【点拨】本题考查平移变换，角平分线的性质，平行线的性质等知识，解题的关键掌握平移变换的性质．类型七、认识三角形➽➼三角形的边➽➼求构成条件✮✮求取值范围9．已知三角形两边的长分别是4cm和9cm求第三边的取值范围；若第三边的长是偶数，求第三边的长；求周长的取值范围（第三边的长是整数）．【答案】(1)第三边的取值范围是5cm<X<13cm(2)第三边的长为6cm，8cm，10cm，12cm． (3)18cm<周长<26cm【分析】（1）根据三角形两边之和大于第三边和三角形两边之差小于第三边即可得到解答；（2）根据第三边的取值范围选出偶数即可；（3）利用第三边的取值范围再加上已知的三角形两边长即可求得．解：（1）设第三边长为xcm，9-4=5（cm），9+4=13（cm），∴第三边的取值范围是5cm<x<13cm；（2）由题意可知，其中偶数为6，8，10，12，∴第三边的长为6cm，8cm，10cm，12cm．（3）周长=4+9+第三边，∵5cm<第三边<13cm，∴18cm<周长<26cm．【点拨】本题考查了三角形三边的三边关系，解决此题的关键是掌握第三边的范围：大于已知两边的差，小于两边的和．举一反三：【变式1】如图，在△BCD中，BC＝4，BD＝5．求CD的取值范围；若AE∥BD，∠A＝50°，∠BDE＝130°，求∠C的度数．【答案】(1)1＜CD＜9 (2)80°【分析】（1）三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，据此可得CD的取值范围；（2）先根据平行线的性质，得到∠AEF的度数，再根据三角形外角性质，即可得到∠C的度数．（1）解：∵△BCD中，BC＝4，BD＝5，∴5−4＜CD＜5＋4，∴CD的取值范围是：1＜CD＜9；（2）解：∵AE∥BD，∴∠AEF＝∠BDE＝130°，∵∠AEF是△ACE的外角，∴∠C＝∠AEF−∠A＝130°−50°＝80°．【点拨】本题主要考查了三角形三边关系以及平行线的性质和三角形外角的性质，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．【变式2】已知在中，的对边分别为．化简代数式_______．若，，求的各内角度数；【答案】(1) (2)，，【分析】(1)根据三角形三边关系，即可去掉绝对值符号，再进行整式的加减运算即可求得；(2)首先把代入，可得，再根据三角形内角和定理，即可求得．（1）解：在中，的对边分别为，，，，，，故答案为：；（2）解：，，，，，解得，故，，故的各内角度数分别为，，．【点拨】本题考查了三角形三边的关系及三角形内角和定理，整式的加减运算，熟练掌握和运用三角形三边关系及三角形内角和定理是解决本题的关键．类型八、认识三角形➽➼三角形三条重要线段➽➼边长✮✮面积（周长）角度10．如图，已知、分别是的高和中线，，．试求：的面积；的长度；与的周长的差．【答案】(1)； (2)； (3)．【分析】（1）先根据三角形面积公式计算出，然后利用是边的中线，得到；（2）利用面积法得到，即可求出的长；（3）由的周长－的周长=，即可求得答案．（1）解：是直角三角形，，，，是上的中线，，，；（2）解：，是上的高，，；（3）解：是边上的中线，，的周长－的周长=，即和的周长差是．【点拨】本题考查了三角形的面积公式，以及三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，熟练掌握相关的性质与公式是解决此题的关键．举一反三：【变式1】如图，在中，是边上的高．若是边上的中线，，求的长．(2)若是的角平分线，，，求的大小．【答案】(1) (2)【分析】（1）利用三角形的中线平分三角形面积得出，进而利用三角形面积得出的长．（2）依据，，可知为直角三角形，再根据为中线，即可得到为等腰三角形，即可得到的度数，进而得出的度数．解：（1），分别是边上的中线和高，，，，，，解得：；（2），，，又为的角平分线，，又，，，．【点拨】此题主要考查了三角形的面积以及三角形中线以及高线的性质，根据已知得出是解题关键．【变式2】按下列要求画图并回答问题：在图1中将的面积分成1：3的两部分，并描述你的作法______________；在图2中，完成以下问题：①作的高，；②比较______的大小（用“>”“<”“=”填空）；③请用无刻度的直尺（只能画直线）作出边上的高，描述的作法_____．【答案】(1)作图见分析，作法：找到线段的四等分点E，连接；(2)①作图见分析；②；③见分析，延长，交于点O，连接并延长，交于点F，则为边上的高．【分析】（1）若将的面积分成1：3的两部分，找到的四等分点，利用三角形面积计算公式即可解答；（2）①根据高线的作法作图即可；②根据三角形内角和定理可得答案；③根据三角形的三条高线交于一点，先作出交点，进而可得高线．（1）解：如图所示，找到线段的四等分点E，连接，则，，∴．（2）解：①作图如下：如图，，分别为边和边上的高，作法：过点B作的垂线交的延长线于点D，过点C作的垂线交的延长线于点E，垂足分别为点D和点E，线段，即为所求；②∵,,∴，故答案为：；③如图，延长，交于点O，连接并延长，交于点F，则为边上的高．理由：∵点O为边和边上的高线的交点，∴高线过点O，∴连接并延长，交于点F，为边上的高．【点拨】本题考查了三角形的面积，三角形高线的作法和性质，三角形内角和定理等知识，掌握三角形三条高线交于一点（即垂心）是解题的关键．类型九、认识三角形➽➼三角形内角和➽➼平行线✮✮角平分线11．（1）如图1，三角形ABC中，试用平行线的知识证明∠A＋∠B＋∠C＝180°；（2）如图2，将线段BC折断成BDC的形状，证明∠D＝∠A＋∠B＋∠C．【注意哟：可以直接用（1）中的结论进行证明，也可以用平行线的性质证明】【答案】（1）见分析（2）见分析【分析】（1）延长BC适当长度到点M，过点C作CNAB，根据平行线的性质得到∠1=∠A，∠2=∠B，根据平角性质得到∠1+∠2+∠ACB=180°，推出∠A+∠B+∠ACB=180°，得到∠A＋∠B＋∠C＝180°；（2）连接BC，在△DBC和△ABC中，根据（1）中结论得到∠D+∠DBC+∠DCB=180°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，推出∠D+∠DBC+∠DCB=∠A+∠ABC+∠ACB，根据∠ABC=∠ABD+∠DBC，∠ACB=∠ACD+∠DCB，推出∠D+∠DBC+∠DCB=∠A+∠ABD+∠DBC+∠ACD+∠DCB，得到∠D=∠A+∠ABD+∠ACD，得到∠D＝∠A＋∠B＋∠C．解：（1）延长BC适当长度到点M，过点C作CNAB，则∠1=∠A，∠2=∠B，∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°，即∠A＋∠B＋∠C＝180°；（2）连接BC，∵∠D+∠DBC+∠DCB=180°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠D+∠DBC+∠DCB=∠A+∠ABC+∠ACB，∵∠ABC=∠ABD+∠DBC，∠ACB=∠ACD+∠DCB，∴∠D+∠DBC+∠DCB=∠A+∠ABD+∠DBC+∠ACD+∠DCB，∴∠D=∠A+∠ABD+∠ACD，即∠D＝∠A＋∠B＋∠C．【点拨】本题主要考查了平行线，三角形内角和定理，解决问题的关键是熟练掌握平行线性质，三角形内角和定理的证明方法，三角形内角和定理的运用．举一反三：【变式1】如图，于点E，于点B，．求证：与互补；若平分，，求的度数．【答案】(1)见分析 (2)【分析】（1）由两个垂直条件可得，由平行线的性质及，可推出，再由平行线的性质即可得出结论；（2）在中，由，可求得的度数，由及平分，可求得的度数，再由三角形外角的性质即可求得的度数．解：（1）证明：∵于点E，于点B∴，∴∴∴∵∴∴∴即与互补（2）解：在中，∴∵∴∵AD平分∴∵∴【点拨】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的性质，三角形内角和定理，能够熟练掌握平行线的性质与判定是解决本题的关键．【变式2】如图，在中，是边上的高，是的平分线．若，，求的度数；如果只知道，那么能得到的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．【答案】(1) (2)能，过程见分析【分析】（1）先利用三角形内角和定理可求出的度数，再结合角平分线的定义可求出的度数．利用直角三角形两锐角互余求出的度数，结合可求出的度数；（2）设，则，利用三角形内角和定理及角平分线的定义，可用含x的代数式表示出的度数，在，用含x的代数式表示出的度数，再结合可求出的度数．（1）解：在中，，，∴．∵平分，∴．在中，，∴，∴；（2）能，设，则，∴．∵平分，∴．在，，∴，故如果只知道，也能得到．【点拨】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理和角平分线的定义．类型十、认识三角形➽➼三角形内角和➽➼折叠问题12．如图，把纸片沿折叠，当点C落在四边形的外部时，此时测得，，求的度数．【答案】【分析】根据折叠性质得出，根据三角形外角性质得出，．解：如图，设与交于点O，∵，∴，∵，，∴∵，∴．【点拨】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．举一反三：【变式1】如图1，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC与∠ACD的角平分线交于点O．若∠ABC＝66°，∠ACB＝34°，则∠A＝°，∠O＝°；探索∠A与∠O的数量关系，并说明理由；若ABCO，AC⊥BO，求∠ACB的度数．如图2，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点处，且平分∠ABC，平分∠ACB，若＝120°，则∠1＋∠2的度数为．【答案】(1)80，40 (2)∠A=∠O；理由见分析 (3)∠ACB=60°； (4)120°【分析】（1）由三角形内角和定理可求∠A，求出∠OBC，和∠BCO，再由三角形内角和定理即可求出结论；（2）由题中角平分线可得∠O=∠OCD-∠OBC=∠ACD-∠ABC，进而得出∠A=180°-∠ABC-180°+∠ACD=∠ACD-∠ABC，即可得出结论；（3）AC与BO交于点E，由OCAB，证得∠ABO=∠O，由AC⊥BO，证得∠AEB=90°，故2∠O+∠O=90°，进而证得∠A=60°，∠ABC=2∠ABO即可证得结论；（4）连接，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2=2∠BAC即可解决问题．（1）解：∵∠ABC=66°，∠ACB=34°，∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=80°，∵∠ABC与∠ACD的角平分线交于点O，∴∠OBC=∠ABC=33°，∠OCD=（180°-34°）=73°，∴∠O=∠OCD-∠OBC=40°，故答案为：80、40；（2）解：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO=∠ABC，∵CO平分∠ACD，∴∠ACO=∠ACD，如图，AC与BO交于点E，∵∠AEB=∠CEO，∴∠A+∠ABO=∠O+∠ACO，∴∠A+∠ABO=∠O+∠ACD，∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD=∠A+∠ABC=∠A+2∠ABO，∴∠A+∠ABO=∠O+∠A+∠ABO，∴∠A=∠O；（3）解：如图，AC与BO交于点E，∵OCAB，∴∠ABO=∠O，∵AC⊥BO，∴∠AEB=90°，∴∠A+∠ABO=90°，∴2∠O+∠O=90°，∴∠O=30°，∴∠A=60°，∠ABC=2∠ABO=60°，∴∠ACB=60°；（4）解：如图，连接，∵平分∠ABC，平分∠ACB，∴=∠ABC，=∠ACB，∵=120°，∴=180°-120°=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=180°-120°=60°，∵沿DE折叠，∴，，∵∠1=，∠2=，∴∠1+∠2=2=2∠BAC=2×60°=120°，故答案为：120°．【点拨】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识．【变式2】将的顶角A沿直线折叠（如下图），点A的对应点为点，记为，为．如图1，当点A的对应点落在内部时，试探求，与的数量关系，并说明理由；如图2，当点A的对应点落在外部时，，与又有怎样的数量关系呢？请写出猜想，并给予证明．【答案】(1)，理由见分析； (2)，证明见分析【分析】（1）利用三角形两次外角定理得出结论；（2）由三角形外角定理，，故，再由折叠可得：即可得出结论．解：（1），理由如下：连接∵∠1是的外角，∴．同理，．∴．由折叠性质得．∴．（2），证明如下：连接，∵∠1是的外角，∴．同理，．∴．由折叠性质得．∴，∴．【点拨】此题主要考查了折叠性质、三角形外角定理．掌握折叠前后图形对应角度相等和三角形外角等于与它不相邻两个内角和是解题的关键．类型十、认识三角形➽➼直角三角形✮✮外角➽➼求角度13．如图，在中平分求的度数；求证：平分．【答案】(1) (2)见分析【分析】（1）根据角平分线的定义得出，根据外角的性质得出；（2）根据三角形外角的性质得出由（1）得根据，即可得出结论．（1）解：平分，，是的外角，；（2）证明：是的外角，，由（1）得，，，平分．【点拨】本题考查了角平分的定义，三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．举一反三：【变式1】【课本再现】已知：如图1，是三角形内一点，连接，．求证：．证明：如图2，延长，交于点．是的一个外角（外角的定义），（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）．是的一个外角（外角的定义），（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）．．【知识迁移】如图3，求证：（1）；（2）．【拓展延伸】如图4，五角星五