新教材2023版高中数学课时作业三十一曲线与方程湘教版选择性必修第一册

课时作业(三十一)曲线与方程[练基础]1．“点M在曲线y＝|x|上”是“点M到两坐标轴距离相等”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝2，则点P的轨迹方程为()A．x2＋y2＝2B．x2－y2＝2C．x＋y2＝2D．x－y2＝23．[2022·天津耀华中学高二期中]在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点O对称，点P是动点，且直线AP与BP的斜率之积为－eq\f(1,3)，则点P的轨迹方程为()A．3x2＋y2＝4(x≠±1)B．3x2＋y2＝1(x≠±1)C．x2＋3y2＝4(x≠±1)D．x2＋3y2＝1(x≠±1)4．到定点F(2，0)的距离比到y轴的距离大2的动点的轨迹方程是()A．y2＝16xB．y2＝8x(x≥0)或y＝0(x＜0)C．y2＝2xD．y2＝4x5．已知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，A、B分别在x轴和y轴上运动，O为原点，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，则动点P的轨迹方程是()A．x2＋y2＝1B．eq\f(x2,9)＋y2＝1C．x2＋eq\f(y2,4)＝1D．eq\f(x2,4)＋y2＝16．(多选)已知定点A(－1，0)、B(1，0)，P是动点且直线PA、PB的斜率之积为λ(λ≠0)，则动点P的轨迹可能是()A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分7．[2022·湖南雅礼中学高二月考]一动点P到点A(6，0)的距离是它到直线x＝eq\f(3,2)的距离的2倍，动点P的轨迹方程为________．8．动点P在曲线y＝2x2＋1上移动，则点P和定点A(0，－1)连线的中点的轨迹方程是________．9．点B是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1上的动点，A(2a，0)为定点，求线段AB的中点M的轨迹方程．[提能力]10．已知点M(－3，0)，N(3，0)，B(1，0)，动圆C与直线MN相切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为()A． x2－eq\f(y2,8)＝1(x＞1)B．x2－eq\f(y2,8)＝1(x＜－1)C．x2＋eq\f(y2,8)＝1(x＞0)D．x2－eq\f(y2,10)＝1(x＞1)11．(多选)已知A(－1，0)，B(1，0)，动点M不在x轴上，设直线AM的斜率为m，直线BM的斜率为n，那么()A．若mn为非零实数，则M点在双曲线上运动(除去与x轴的交点)B．若eq\f(m,n)＝2，则M点在直线上运动(除去与x轴的交点)C．若m－n＝2，则M点在抛物线上运动(除去与x轴的交点)D．若m＋n＝2，则M点的纵坐标的取值集合为(－∞，0)∪(0，＋∞)12．如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M是线段PD上一点，且|MD|＝eq\f(4,5)|PD|.当点P在圆上运动时，动点M的轨迹方程是________．13．[2022·湖南长郡中学高二期末]一动圆截直线3x－y＝0和3x＋y＝0所得弦长分别为8，4，则该动圆圆心的轨迹方程为________．14．在平面直角坐标系xOy中，已知动圆C过点F(4，0)，且在y轴上截得的弦长为8.(1)求动圆的圆心C的轨迹M的方程；(2)过点F的直线l与曲线M交于A、B两点，若△OAB的面积为32，求直线l的方程．[培优生]15．罗默、伯努利家族、莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线C：xeq\s\up6(\f(2,3))＋yeq\s\up6(\f(2,3))＝1的性质，其形美观，常用于超轻材料的设计．曲线C围成的图形的面积S________2(选填“>”、“<”或“＝”)，曲线C上的动点到原点的距离的取值范围是________．课时作业(三十一)曲线与方程1．解析：由“点M在曲线y＝|x|上”一定能推出“点M到两坐标轴距离相等”，故充分性成立；当“点M到两坐标轴距离相等”时，点M不一定在曲线y＝|x|上，此时，点M也可能在曲线y＝－|x|上，故必要性不成立．答案：A2．解析：设P(x，y)，则Q(x，－y)，因为eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝2，所以x2－y2＝2.答案：B3．解析：∵点B与点A(－1，1)关于原点O对称，∴B(1，－1)设P(x，y)，∵kAP＝eq\f(y－1,x＋1)，kBP＝eq\f(y＋1,x－1)(x≠±1)，且kAP·kBP＝－eq\f(1,3)，∴kAP·kBP＝eq\f(y－1,x＋1)×eq\f(y＋1,x－1)＝eq\f(y2－1,x2－1)＝－eq\f(1,3)(x≠±1)，∴x2＋3y2＝4(x≠±1)∴P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1).答案：C4．解析：设动点坐标为(x，y)，依题意eq\r(（x－2）2＋y2)＝|x|＋2，两边平方并化简得y2＝4x＋4|x|，当x≥0时，y2＝8x，当x＜0时，y＝0.答案：B5．解析：由题意，设P(x，y)，A(a，0)，B(0，b)则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－a，b)，因为|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，所以a2＋b2＝9，①又因为eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，所以(x，y)＝eq\f(1,3)(a，0)＋eq\f(2,3)(0，b)＝(eq\f(1,3)a，eq\f(2,3)b)⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3x,b＝\f(3,2)y))②将②代入③得，9x2＋eq\f(9,4)y2＝9⇒x2＋eq\f(y2,4)＝1，即点P的轨迹方程是x2＋eq\f(y2,4)＝1.答案：C6．解析：设点P(x，y)，则kPAkPB＝eq\f(y,x－1)·eq\f(y,x＋1)＝eq\f(y2,x2－1)＝λ，则x2－eq\f(y2,λ)＝1，其中x≠±1.当λ＝－1时，则方程为x2＋y2＝1(x≠±1)，此时点P的轨迹是圆的一部分；当λ＜0且λ≠－1时，动点P的轨迹是椭圆的一部分；当λ＞0时，动点P的轨迹是双曲线的一部分．答案：ABC7．解析：设P(x，y)，根据题意eq\r(（x－6）2＋y2)＝2|x－eq\f(3,2)|，化简得：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,27)＝1.答案：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,27)＝18．解析：设P(x0，y0)，且点P和定点A(0，－1)连线的中点为(x，y)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x0,2)＝x,\f(y0－1,2)＝y))，且y0＝2xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋1，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝2x,y0＝2y＋1))，因此2y＋1＝2×(2x)2＋1，即y＝4x2，所以点P和定点A(0，－1)连线的中点的轨迹方程是y＝4x2.答案：y＝4x29．解析：设动点M的坐标为(x，y)，设B点坐标为(x0，y0)，则由M为线段AB中点，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x0＋2a,2)＝x,\f(y0＋0,2)＝y))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－2a,y0＝2y))，即点B坐标可表示为(2x－2a，2y)，因为点B(x0，y0)在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1上，∴eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),a2)＋eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),b2)＝1，从而有eq\f(（2x－2a）2,a2)＋eq\f(（2y）2,b2)＝1，整理得动点M的轨迹方程为eq\f(4（x－a）2,a2)＋eq\f(4y2,b2)＝1.10．解析：设直线PM，PN与圆C相切的切点分别为点Q，T，如图，由切线长定理知，|MB|＝|MQ|，|PQ|＝|PT|，|NB|＝|NT|，于是有|PM|－|PN|＝|MQ|－|NT|＝|MB|－|NB|＝2<6＝|MN|，则点P的轨迹是以M，N为左、右焦点，实轴长2a＝2的双曲线右支，虚半轴长b有b2＝32－a2＝8，所以点P的轨迹方程为x2－eq\f(y2,8)＝1(x＞1).答案：A11．解析：不妨设点M(x，y)且x≠±1，y≠0，故m＝eq\f(y,x＋1)，n＝eq\f(y,x－1)，对于选项A：因为mn＝eq\f(y2,x2－1)，所以x2－eq\f(y2,mn)＝1，y≠0，若mn＞0时，则M点在双曲线上运动(除去与x轴的交点)；若mn＜0时，则M点的轨迹不是双曲线的一部分，故A错误；对于选项B：由eq\f(m,n)＝2＝eq\f(x－1,x＋1)，解得x＝－3，y≠0，即点M(x，y)在直线x＝－3上运动(除去与x轴的交点)，故B正确；对于选项C：由m－n＝eq\f(y,x＋1)－eq\f(y,x－1)＝2，化简可得y＝－x2＋1，y≠0，即M点在抛物线上运动(除去与x轴的交点)，故C正确；对于选项D：由m＋n＝eq\f(y,x＋1)＋eq\f(y,x－1)＝2，化简可得y＝x－eq\f(1,x)，y≠0，因为y＝x－eq\f(1,x)为奇函数且为增函数，y≠0，故y＝x－eq\f(1,x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正确．答案：BCD12．解析：设M的坐标为M(x，y)，P的坐标为P(x1，y1)，因为点D是P在x轴上的投影，M是线段PD上一点，且|MD|＝eq\f(4,5)|PD|，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝x,y1＝\f(5,4)y))，因为P(x1，y1)在圆x2＋y2＝25上，所以x2＋(eq\f(5,4)y)2＝25，化简得eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.答案：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝113．解析：如图所示：设点M(x，y)，由条件可得，|AB|＝4，|EC|＝2，由点到直线的距离公式可得，|MA|2＝eq\f(（3x－y）2,10)，|MC|2＝eq\f(（3x＋y）2,10)，由垂径定理可得：|MA|2＋|AB|2＝|MC|2＋|EC|2，∴eq\f(（3x－y）2,10)＋16＝eq\f(（3x＋y）2,10)＋4，化简可得，xy＝10，∴点M的轨迹方程为xy＝10.答案：xy＝1014．解析：(1)设动圆圆心C(x，y)，由题意知当x≠0时，eq\r(（x－4）2＋y2)＝eq\r(x2＋42).化简得y2＝8x(x≠0)，当x＝0时，此时C(0，0)也满足方程，所以圆心的轨迹M的方程为y2＝8x.(2)由题意知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝my＋4,y2＝8x))，整理得y2－8my－32＝0，且Δ＝64m2＋128＞0，则y1＋y2＝8m，y1y2＝－32，所以S△OAB＝eq\f(1,2)×|OF|×|y1－y2|＝eq\f(1,2)×4×eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝2eq\r(64m2＋128)＝32，解得m＝±eq\r(2)，所以直线l的方程为x－eq\r(2)y－4＝0或x＋eq\r(2)y－4＝0.15．解析：由题意知x，y∈[－1，1]且既关于x轴对称又关于y轴对称，当x，y∈(0，1)时xeq\s\up6(\f(2,3))＞x，yeq\s\up6(\f(2,3))＞y⇒1＞x＋y，同理可得曲线在y＝x＋1，y＝x－1，y＝－x＋1，y＝－x－1四条直线内部，所以S＜eq\f(1,2)×2×2＝2，设曲线C上的动点为(x，y)，到原点的距离为d，则d2＝x2＋y2＝x2＋(1－xeq