数列通项公式的求法

摘要数列是数学非常重要的一部分内容，其在初等数学与高等数学之间起着承上启下的作用，是一个重要的衔点，并且在高考和竞赛中也具有十分重要的地位。求数列的通项公式属于该领域最基本的问题，对于学生而言也是必须掌握的。因此运算通项公式是我们学习过程中十分关键的内容，此次论文将重点结合求解方法进行梳理和总结，将其求法分为两大类，分别为“常规方法”与“特殊方法”。其中常规方法为高中阶段所要掌握的数列通项公式的求法，特殊方法为大学阶段所学到的数列通项公式的求法。本文的目的是使学生更加的容易掌握求数列的通项公式的方法。关键词：数列；通项；公式；求法AbstractNumberseriesisaveryimportantpartofmathematics,whichplaysaconnectingrolebetweenelementarymathematicsandhighermathematics,isanimportantlinkpoint,andalsoplaysaveryimportantroleincollegeentranceexaminationandcompetition.Thegeneraltermformulaofthenumberseriesisthebasicprobleminsolvingthenumberseriesproblem,sothegeneraltermformulaofthenumberseriesisaveryimportantpartofthecontent.Thispapersummarizesthemethodsofcalculatinggeneraltermformulaofsequence,anddividesthemintotwocategories,namely"conventionalmethod"and"specialmethod".Amongthem,theconventionalmethodisthemethodofcalculatingthegeneraltermformulaoftheserieswhichshouldbemasteredintheseniorhighschoolstage,andthespecialmethodisthemethodofcalculatingthegeneraltermformulaoftheserieslearnedintheUniversitystage.Thepurposeofthispaperistomakeiteasierforstudentstograspthegeneraltermformulaforcalculatingthesequenceofnumbers.Keywords:Sequence;generalterm;collegeentrance;Solution目录目录绪论 11.常规方法 11.1定义法 11.2利用an与Sn的关系求通项 41.3利用递推关系求通项 61.4构造法 72.高等数学角度 82.1矩阵求法 82.2不动点法 102.3线性代换法 112.4导数与积分法 12结语 13主要参考文献 14绪论数列是数学中重要的一部分，在高考和竞赛中占有重要的地位。其数学思想非常的丰富，并且具有很强的逻辑性。所以对此研究使学生能更好的理解学习并应用。求解运算通项公式是数列学习的最初要求，也是很多数学问题的前提，否则后续运算分析无从继续，所以解数列通项公式成为人们解题的关键。一些题目给出数列的递推关系式，求通项公式的问题，困难很大，学生不能准确的找到解题的相应方法，从而引起人们的重视。已知数列的递推公式，求数列的通项公式的一类问题是在数学问题中最常见的一类题型，这类问题解题方法多样，所以学生不能很好的分出每种解题方法对应的可解题目类型。这类问题又较强的规律性，只要抓住其中的规律就能很容易的解这类问题。本文就是根据这类问题的规律，介绍了六种解题方法。进而让学生们对不同的解题运算方法更好地掌握，更高效地求解题目，同时提升准确性。1.常规方法1.1定义法数列an满足等差或者等比数列时，此时根据相应数列的定义以及基本特征，运算通项公式的指数以及所需求元素（1）等差数列例1：（2018福建中学调研，17）给出等差数列an，其对应公差d>0,前n项相加结果是Sn，同时a（1）运算an的对应通项公式； （2）假如满足bn=Snn+c（c是不为0的常数），同时解析：（1）∵S4=28，∴a1+a4又a2×a3∴a2<a3,∴a2+d=5∴an=4n-3（2）由（1）知Sn∴bn∴b1=11+c,因为bn满足∴b1即2×6运算后c=-12（c=0（2）等比数列例2：（2018课标Ⅲ，17）给出等比数列an，a（1）运算an对应的通项（2）假定Sn属于an的前n项相加所得结果。假如有Sm=63分析：（1）假定an的公比是q，根据题目意思我们知道a此时有q4=4q2，运算后q=0（不考虑）或因此所得公式是an=(-2)（2）假如有an=结合Sm=63有(-2)m假如an=2结合Sm=63此时有2m=64因此，m=6.例3：（2017天津，18）给出an满足等差数列定义，前n项相加所得结果是Sn（n∈N*），bn首项为2，满足（1）运算an以及bn（2）运算a2nb2n-1的前n分析：（1）假定相应数列an的公差为d，数列bn的公比对应结合题意我们认为b2+b3=12,进而有b1q+q2=12,考虑到b1=2，因此由b3=a由S11=11b综合①②，运算后有a1=1，因此，此时an的通项公式可归纳为an=3n-2，而bn（2）假定数列a2nb2n-1的前n因为a2n=6n-2，b2n-1=2×故Tn4Tn对以两式做减法，-3T=得T因此，a2nb2n-1的前方法梳理：等差、等比数列通常会涉及到五个量a1,n,d（或q）,an,Sn,而运算的过程中体现出一个原则“知三求二”，结合列方程（组）运算得到所需求的量a1以及d（或1.2利用an与Sn的关系求通项（1）利用a利用an=S例4：（2018山东青岛调研，17）给出Sn为数列an的前n项相加所得结果，Sn（1）运算an的通项（2）假如bn满足等差数列，Tn对应前n项相加所得结果，b2=a解析：（1）由Sn=3×2（ⅰ）当n=1时，（ⅱ）当n≥2时，an又当n=1时，a1=3所以，对于任意n∈N*，都有a（2）设数列bn的首项对应b1，同时满足公差：结合（1）有b2=结合其相应的通项公式此时有b2=b1所以bn可以看出bn随着n令bn≥0，解得所以Tn有最大值，无最小值，且T18（或Tn）为前nT18（二）利用Sn与a例5：（2014广东，19）假定数列an的前n项相加所得结果是Sn，同时有Sn=2n（1）运算a1,a2,a3（2）运算an的对应通项分析：（1）结合题目给出条件S1解得a1（2）∵Sn∴当n≥2时，-②并整理得a由（1）猜想an=2n+1假如n=1，a1假如n=2时，a2如果有n=k时，ak那么满足n=k+1时，ak+1也就是n=k+1时，结论为真.结合以上分析，任何n∈N*1.3利用递推关系求通项（1）累加法类似于an+1-例6：给出数列an符合a1=1,an+1=a分析：∵a1=1,a∴当n≥2时,an==n因为∵a1∴an对应的通项公式是an（二）累乘法类似于anan例7：给出数列符合,nan+1=(n+1)an(n∈解析：∵a1=2∴a=n+1∴a又∵a1∴数列an的通项公式为（三）取倒法形如an+1=AanBa例5:已知数列an满足a1=1,an=a分析：变形为：1∴此时数列1∴1an=∴an的通项公式可表述成1.4构造法（1）递推式为a表示成an+1=Aan+B形式（这里A,B都属于常数，AB(A-1)≠0例6：给出an中，a1=1,an+1=2分析：结合an+1=2an+5此时有an+1-C=2(an-C)即an+1=2an-C（其中C=-5）。因此可以转变为an+1+5=2(a（2）递推式对应a假如满足an+1=Aan+f(n)例7：对于数列an而言，a1=1，an=分析：设bn=an+An+B，则an=所以A=3A-2B=3B-2A+1,解得A=1创建bn那么bn=3bn-1，因为b1=3，所以例7:给出数列an符合a1=1,a2=3,分析：an+2=3又2-a1=2，∴an-an-1满足等比，对应当n>1时，===2n-1 （标注：第一步需要创建an-an-12.高等数学角度2.1矩阵求法当递推公式形如an+1=aan+bcan+d（其中a,首先，假设f(x)=ax+bcx+d，接着设定g(x)=αx+βκx+μ，形成相匹配的矩阵B=f.g=f(gA.B=aα+bκaβ+bμcα+dκcβ+dμ，进而式f(x)，h(x)的复合，此时意味着矩阵f.h=abcAn-1定义式hλ是矩阵A的特征多项式的根，T是由特征向量构成的矩阵，从而得到：fn-1例8：已知数列an满足a1=1且an+1解析：原递归公式对应的矩阵为：A=56由于|故求得特征根为：λ1=-1，λ2=7，容易求得，两特征根分别对应的特征向量1那么A于是A从而a考虑到a1=1，2.2不动点法f(x)=x运算得到根叫作f(x)的不动点.借助数列f(x)不动点,此时能够结合一些递推关系an=f(an-1)一：假如f(x)=Ax+B(a≠0,a≠1)，p为f(x)的不动点an=f(an-1二：若f(x)=Ax+BCx+D(D（1）假如f(x)提供两个相异的点p、q，那么an-pa（2）假如f(x)仅存在一个不动点，则1an例10:已知数列an满足a1=1,an+1=an+2an(n∈N*),解析：函数f(x)=x+2x，解方程f(x)=x求出不动点为p=2,q=-1,∴an+1-2an+1∴an对应的通项公式是例9:给出数列an符合a1=2a,分析：设定f(x)=2a-a2x，运算于是1an这样就形成了等差数列1运算后有a∴an的通项公式对应2.3线性代换法通常而言，就a1=m,an+1=p例10:给出数列an符合a1=1,a2=3,an+1分析：∵a∴设定p=2p+2，那么有p=-2进而a设定bn+1=∴bn满足等比数列，第一项b1=-1，∴a∴a例11：给出数列an符合a1=1,a2=2,分析：a构建相应方程有:t2-2t-3=0,解得：t∴a即an+1+设定bn+1=an+1+an，数列bn为等比数列，其首项b1=1∴b∴(-1)累加得:(-1)(-1)∴an=2.4导数与积分法递推公式形如an+1=A①假定f(x)=ax②把上一步骤得到的方程展开求导，同时到满足易算的f(x)的相应函数结束；接着将形成的f(x)的特定导函数完成一定次数的积分此时有f(x)；③最后设定x=n，进而有an=f(n)例12：给出数列an中，a1=1,分析：假定f(x)=ax，x∈对以上函数方程的两