版数学二项式定理

§11.2二项式定理高考数学

(北京专用)A组自主命题·北京卷题组五年高考1.(2016北京,10,5分)在(1-2x)6的展开式中,x2的系数为

.(用数字作答)答案60解析

Tr+1=

·16-r·(-2x)r=(-2)r

·xr(r=0,1,…,6),令r=2,得T3=(-2)2

x2=60x2.故x2的系数为60.

方法点拨

求二项展开式中的特定项及特定项的系数问题,一般抓住通项,并进行整理,令字母的指数符合要求,解出项数,代回通项即可.2.(2015北京,9,5分)在(2+x)5的展开式中,x3的系数为

.(用数字作答)答案40解析(2+x)5的展开式的通项为Tr+1=

25-r·xr(r=0,1,…,5),则x3的系数为

×22=40.B组统一命题·省(区、市)卷题组考点二项式定理的应用1.(2019课标全国Ⅲ理,4,5分)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为

()A.12

B.16

C.20

D.24答案

A本题考查二项式定理的应用,通过求解二项展开式中指定项的系数考查学生对公

式的运用能力,考查了数学运算的核心素养.(1+x)4的二项展开式的通项为Tk+1=

xk(k=0,1,2,3,4),故(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为

+2

=12.故选A.

解题关键

掌握多项式乘法的展开式,熟记二项展开式的通项是解决本题的关键.2.(2018课标Ⅲ,5,5分)

的展开式中x4的系数为

()A.10

B.20

C.40

D.80答案

C本题考查二项式定理.

的展开式的通项Tr+1=

(x2)5-r·(2x-1)r=2r

·x10-3r,令10-3r=4,得r=2,所以x4的系数为22×

=40.故选C.3.(2017课标Ⅰ,6,5分)

(1+x)6展开式中x2的系数为

()A.15

B.20

C.30

D.35答案

C本题考查二项展开式中的系数问题,考查学生应用二项式定理解决与展开式系数

有关问题的能力和运算求解能力.解法一:

(1+x)6=1·(1+x)6+

·(1+x)6,(1+x)6的展开式中的x2的系数为

=15,

·(1+x)6的展开式中的x2的系数为

=15,所以所求展开式中x2的系数为15+15=30.解法二:因为

(1+x)6=

,所以

(1+x)6展开式中x2的系数等于(1+x2)(1+x)6展开式中x4的系数,而(1+x2)(1+x)6展开式中x4的系数为

+

=30,故

(1+x)6展开式中x2的系数为30.方法总结对于几个二项式积的展开式中的特定项系数问题,一般可以根据因式连乘的规律,

结合组合思想求解,但要注意适当地运用分类方法,以免重复或遗漏.4.(2017课标Ⅲ,4,5分)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为()A.-80

B.-40

C.40

D.80答案

C本题考查二项式定理,求特定项的系数.(2x-y)5的展开式的通项为Tr+1=

·(2x)5-r·(-y)r=(-1)r·25-r

·x5-ryr.其中x2y3项的系数为(-1)3·22·

=-40,x3y2项的系数为(-1)2·23·

=80.于是(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为-40+80=40.5.(2016四川,2,5分)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为

()A.-15x4

B.15x4C.-20ix4

D.20ix4

答案

A

T3=

x4i2=-15x4,故选A.易错警示

易误认为i2=1而致错.评析

正确应用二项展开式的通项是解题的关键.6.(2015陕西,4,5分)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n=

()A.4

B.5

C.6

D.7答案

C因为(x+1)n的展开式中x2的系数为

,所以

=15,即

=15,亦即n2-n=30,解得n=6(n=-5舍).7.(2015湖南,6,5分)已知

的展开式中含

的项的系数为30,则a=

()A.

B.-

C.6

D.-6答案

D

的展开式的通项为Tr+1=

(

)5-r·

=(-a)r

·

.依题意,令5-2r=3,得r=1,∴(-a)1·

=30,a=-6,故选D.8.(2019浙江,13,6分)在二项式(

+x)9的展开式中,常数项是

,系数为有理数的项的个数是

.答案16

;5解析本题主要考查二项式展开式的通项公式的运用,通过通项公式的化简和运算确定其中

的特定项,以此考查学生数学运算的能力和核心素养,以及用方程思想解决求值问题的能力.(

+x)9展开式的通项Tr+1=

(

)9-rxr=

·

·xr(r=0,1,2,…,9),令r=0,得常数项T1=

·

·x0=

=16

,要使系数为有理数,则只需

∈Z,则r必为奇数,满足条件的r有1,3,5,7,9,共五种,故系数为有理数的项的个数是5.解后反思

二项式的展开式中特定项的确定需写出其通项公式,并化简整理,根据特定项的特

点列方程确定r的值,进而可求解特定项.9.(2019天津理,10,5分)

的展开式中的常数项为

.答案28解析本题考查二项展开式的通项,通过二项展开式中指定项的求解考查学生的运算能力,从

而体现运算法则及运算对象选择的素养要素.二项展开式的通项公式为Tk+1=

(2x)8-k

=(-1)k·

28-k·2-3k·x8-4k=(-1)k·

·28-4k·x8-4k,令8-4k=0,得k=2,即T3=(-1)2×

×20=

=28,故常数项为28.

解题关键

熟记二项展开式的通项公式是求解本题的关键.10.(2018天津,10,5分)在

的展开式中,x2的系数为

.答案

解析本题主要考查二项展开式特定项的系数.由题意得Tr+1=

x5-r

=

,令5-

=2,得r=2,所以

=

=

.故x2的系数为

.方法总结

求二项展开式中的某一项的系数时,直接利用展开式的通项Tr+1=

an-rbr进行求解.11.(2018浙江,14,4分)二项式

的展开式的常数项是

.答案7解析本小题考查二项式定理,二项展开式的通项和相关计算.

的展开式的通项Tk+1=

·

·x-k=

·

,要使Tk+1为常数,则

=0,∴k=2,此时T3=

×

=7,故展开式的常数项为7.思路分析

(1)求出二项展开式的通项.(2)令通项中x的指数为0,得k的值.(3)计算此时的Tk+1.12.(2017浙江,13,6分)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=

,a5=

.答案16;4解析本题考查二项式定理,求指定项系数,组合数计算,考查运算求解能力.设(x+1)3=x3+b1x2+b2x+b3,(x+2)2=x2+c1x+c2,则a4=b2c2+b3c1=

×12×22+13×

×2=16,a5=b3c2=13×22=4.13.(2016课标全国Ⅰ,14,5分)(2x+

)5的展开式中,x3的系数是

.(用数字填写答案)答案10解析

Tr+1=

(2x)5-r·(

)r=25-r

·

,令5-

=3,得r=4,∴T5=10x3,∴x3的系数为10.14.(2016天津,10,5分)

的展开式中x7的系数为

.(用数字作答)答案-56解析

Tr+1=

x16-2r(-x)-r=(-1)-r

x16-3r,令16-3r=7,得r=3,所以x7的系数为(-1)-3

=-56.

易错警示

本题中,展开式的通项易写错,尤其是符号,正负易混,需引起注意.评析

本题主要考查二项式定理,对运算求解能力要求较高.属中档题.15.(2015天津,12,5分)在

的展开式中,x2的系数为

.答案

解析

的展开式的通项为Tr+1=

x6-r

=

x6-2r,令6-2r=2,得r=2,所以x2的系数为

×

=

.16.(2015福建,11,4分)(x+2)5的展开式中,x2的系数等于

.(用数字作答)答案80解析

Tr+1=

x5-r·2r(r=0,1,…,5),令5-r=2,得r=3,所以x2的系数为

×23=80.17.(2015重庆,12,5分)

的展开式中x8的系数是

.(用数字作答)答案

解析二项展开式的通项为Tr+1=

(x3)5-r·

=

·

,令15-3r-

=8,得r=2,于是展开式中x8的系数为

×

=

×10=

.C组教师专用题组1.(2015课标Ⅰ,10,5分)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为()A.10

B.20

C.30

D.60答案

C(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5的展开式中只有

(x2+x)3y2中含x5y2,易知x5y2的系数为

=30,故选C.2.(2018上海,3,4分)在(1+x)7的二项展开式中,x2项的系数为

(结果用数值表示).答案21解析本题主要考查二项展开式.(1+x)7的二项展开式中,x2项的系数为

=

=21.3.(2015广东,9,5分)在(

-1)4的展开式中,x的系数为

.答案6解析

(

-1)4的展开式的通项为Tr+1=

(

)4-r(-1)r=(-1)r·

·

,令

=1,得r=2,从而x的系数为

(-1)2=6.4.(2015安徽,11,5分)

的展开式中x5的系数是

.(用数字填写答案)答案35解析展开式的通项为Tk+1=

(x3)7-k·x-k=

x21-4k,令21-4k=5,得k=4,则展开式中x5的系数为

=35.5.(2014课标Ⅰ,13,5分)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为

.(用数字填写答案)答案-20解析由二项展开式公式可知,含x2y7的项可表示为x·

xy7-y·

x2y6,故(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为

-

=

-

=8-28=-20.6.(2014课标Ⅱ,13,5分)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=

.(用数字填写答案)答案

解析

Tr+1=

x10-rar,令10-r=7,得r=3,∴

a3=15,即

a3=15,∴a3=

,∴a=

.7.(2014大纲全国,13,5分)

的展开式中x2y2的系数为

.(用数字作答)答案70解析

Tr+1=

·

·

=(-1)r·

·

·

,令

得r=4.所以展开式中x2y2的系数为(-1)4·

=70.8.(2014山东,14,5分)若

的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为

.答案2解析

Tr+1=

(ax2)6-r

=

a6-rbrx12-3r,令12-3r=3,则r=3.∴

a3b3=20,即ab=1.∴a2+b2≥2ab=2,即a2+b2的最小值为2.评析

本题考查二项式定理及基本不等式的综合应用.考查学生推理论证及运算求解能力.9.(2014安徽,13,5分)设a≠0,n是大于1的自然数,

的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a=

.

答案3解析根据题意知a0=1,a1=3,a2=4,结合二项式定理得

即

解得a=3.10.(2014湖北,2,5分)若二项式

的展开式中

的系数是84,则实数a=

()A.2

B.

C.1

D.

答案

C

Tr+1=

·(2x)7-r·

=27-r

ar·

.令2r-7=3,则r=5.由22·

a5=84得a=1,故选C.11.(2014浙江,5,5分)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f

(0,3)=()A.45

B.60

C.120

D.210答案

C在(1+x)6的展开式中,xm的系数为

,在(1+y)4的展开式中,yn的系数为

,故f(m,n)=

·

.从而f(3,0)=

=20,f(2,1)=

·

=60,f(1,2)=

·

=36,f(0,3)=

=4,故选C.12.(2014四川,2,5分)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为()A.30

B.20

C.15

D.10答案

C在(1+x)6的展开式中,含x2的项为T3=

·x2=15x2,故在x(1+x)6的展开式中,含x3的项的系数为15.评析

本题考查二项展开式中求指定项的系数,属容易题.但在(1+x)6前面乘以x后,易误求T4=

x3.三年模拟A组2017—2019年高考模拟·考点基础题组考点二项式定理的应用1.(2017北京海淀二模,2)二项式

的展开式的第二项是

()A.6x4

B.-6x4C.12x4

D.-12x4

答案

D展开式的第二项为T2=

x5

=-12x4,故选D.2.(2019北京朝阳一模,3)

的展开式中的常数项为

()A.-12

B.-6C.6

D.12答案

C∵Tr+1=

·

·(-x)r=

·(-1)r·x2r-4,∴当2r-4=0,即r=2时,此项为常数项,即T3=

·(-1)2=6,故选C.3.(2019北京丰台期末,10)(2x-1)5的展开式中x2的系数为

.答案-40解析

Tr+1=

(2x)5-r(-1)r=

·(-1)r·25-r·x5-r,令r=3,得系数为-22

=-40.4.(2019北京西城二模,9)在二项式(1-x)5的展开式中,x2的系数是

.答案10解析

Tk+1=

15-k(-x)k,令k=2,从而有T2+1=

13(-x)2=10x2,所以x2的系数是10.易错警示

二项式定理的考查中注意“项的系数”与“二项式系数”的区别.5.(2018北京海淀二模,10)在

的展开式中,x3的系数为

.答案10解析

的展开式的通项为Tr+1=

x5-r(2·x-1)r=

2rx5-2r,当5-2r=3,即r=1时,

·2r=5×2=10.故x3的系数为10.解后反思

关于二项式定理的命题方向比较明确,主要从以下几个方面命题:(1)考查二项展开式的通项Tr+1=

an-rbr(可以考查某一项,也可考查某一项的系数);(2)考查各项系数和与各项的二项式系数和;(3)二项展开式的应用.6.(2019北京通州期末,12)

的展开式中含x2的项的系数是

.答案15解析

的展开式的通项为Tr+1=

·(-1)r·x6-2r,令6-2r=2,解得r=2.故展开式中含x2的项的系数为

·(-1)2=15.思路分析

根据题意列出展开式的通项公式,令x的幂指数为2,求出r的值,即可求出展开式中含x2的项的系数.7.(2019北京大兴期末,10)

的展开式中,常数项的值为

.答案84解析

Tr+1=

(x2)9-r

=

·x18-2r·x-r=

x18-3r,令r=6,得常数项为

=84.8.(2019北京东城一模,9)在(

-x)6的展开式中,x2的系数是

.(用数字作答)答案60解析

Tr+1=

(

)6-r(-x)r,令r=2得,T3=

(

)4(-x)2=60x2,∴系数为60.9.(2017北京顺义二模,10)在

的展开式中,x7的系数为

.(用数字作答)答案7解析由题意可得Tr+1=

(x2)8-r·

=

x16-3r,令16-3r=7,得r=3,∴x7的系数为

×

=7.B组2017—2019年高考模拟·专题综合题组时间:30分钟分值:55分一、选择题(每小题5分,共15分)1.(2018北京东城二模,3)在

的展开式中,x3的系数为10,则实数a等于

()A.-1

B.

C.1

D.2答案

D∵Tr+1=

x5-r

=

arx5-2r,∴当5-2r=3时,r=1,∴a

=10,∴a=2.故选D.思路分析

准确地掌握二项式定理的内容及有关概念,正确运用二项式定理的通项是解题的关键.2.(2019清华中学生标准学术能力试卷,6)在(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)10的展开式中x2的系数为

()A.119

B.120

C.164

D.165答案

C根据二项式定理,展开式的通项中x2的系数为

+

+

+…+

=

+

+

+

+…+

-1=

+

+

+…+

-1=……=

-1=164,故选C.3.(2019北京海淀二模,4)在(x-2)5的展开式中,x2的系数是

()A.-80

B.-10

C.5

D.40答案

A

Tk+1=

x5-k(-2)k,令5-k=2,得k=3,从而有T3+1=

x5-3(-2)3=-80x2,所以x2的系数是-80,故选A.二、填空题(每小题5分,共40分)4.(2018北京通州摸底,10)二项式

的展开式中的常数项是

.答案-160解析

的展开式中的常数项为

(2x)3

=-160.5.(2018北京门头沟一模,9)在

的展开式中,x6的系数是

.答案15解析根据通项公式Tr+1=

(-1)rx12-3r,令12-3r=6,得r=2,所以x6的系数为

(-1)2=15.6.(2018北京海淀期末,12)已知(5x-1)n的展开式中,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为

64∶1,则n=

.答案6解析当x=1时,各项系数的和为(5×1-1)n=4n,二项式系数的和为2n,易得

=64,所以n=6.7.(2018北京石景山期末,12)设常数a∈R,若

的二项展开式中x7项的系数为-10,则a=

.答案-2解析

的展开式的通项Tr+1=

x10-2r

=

x10-3rar,