6.3二项式定理6题型分类

6.3二项式定理6题型分类一、二项式展开式a+bn二、二项展开式的通项公式Tr+1三、二项式系数表(杨辉三角)a+bn展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3四、二项式系数的性质1．对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵Cnm2．增减性与最大值：当n是偶数时，中间一项Cnn2取得最大值；当n3．二项式系数和：Cn奇数项的系数等于偶数项的系数等于2n−1（一）二项式展开式1．二项式展开式：a+b2.在运用二项式定理时一定要牢记通项公式Tr+1=Cn3．在使用通项公式Tr+1=Cnr题型1：求二项式的展开式及特定项11．（2023·江苏·高二专题练习）化简多项式的结果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知，将多项式的每一项都变成二项式展开式的结构，观察结构变化，即可进行合并，完成求解.【详解】依题意可知，多项式的每一项都可看作，故该多项式为的展开式，化简．故选：D.12．（2023下·山西朔州·高二校考阶段练习）（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，利用二项式定理展开，再对两边求导可得两边求导数，，分别取和，即可求出结果.【详解】设，两边求导数，，令，得，取，得.故选：D.13．（2023下·江苏南京·高二校考期中）化简的结果为（

）A．x4 B． C． D．【答案】A【分析】逆用二项展开式定理即可得答案.【详解】故选：A.14．（2023上·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）在的展开式中，的系数是（

）A．35 B． C．560 D．【答案】C【分析】利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中的系数.【详解】二项式的展开式的通项公式为，令，所以的展开式中的系数为.故选：C（二）两个二项式相乘问题求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式，常见的解题思路：1．若m，n中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2·(c＋d)n＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)n，然后分别求解．2．观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5·(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.3．分别得到(a＋b)m，(c＋d)n的通项，综合考虑．题型2：两个二项式相乘问题21．（2023上·四川·高三校联考开学考试）的展开式中的常数项为（

）A．240 B． C．400 D．80【答案】D【分析】根据二项式定理求解的展开式中的常数项和含的项的系数，进而求解的展开式中的常数项.【详解】的展开式的通项为，令，得，则的展开式中的常数项为，令，得，则的展开式中含的项的系数为，所以的展开式中的常数项为.故选：D．22．（2023·四川成都·统考二模）二项式展开式中的系数为（

）A．120 B．135 C．140 D．100【答案】B【分析】利用二项式定理得到的展开式通项公式，求出，，，进而与对应的系数相乘，求出展开式中的系数.【详解】的展开式通项公式为，其中，，，故二项式中的四次方项为，即展开式中的系数为.故选：B23．（2023上·江苏常州·高三校联考阶段练习）已知，则的值为（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根据，结合二项式定理求解即可.【详解】因为，展开式第项，当时，，当时，，故，即.故选：B24．（2023·山东·校联考模拟预测）的展开式中的系数为（

）A． B． C．160 D．80【答案】D【分析】先将表达式变形为，再求解展开式中，最后与中的乘积即可得的系数.【详解】解：，展开式的通项为，令，得的展开式中的系数为，所以的展开式中的系数为.故选：D（三）多项式展开式求解形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式问题的处理方法：1．通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解．2．将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式定理展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形．3．可采用排列组合的形式进行抽取，技巧性较高．题型3：求多项式展开式及特定项31．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）的展开式中x项的系数为（

）A．568 B．－160 C．400 D．120【答案】D【分析】先写出的展开式的通项，再求出满足x的次幂为1的项，代入求和即可得解．【详解】因为，又的展开式的通项为，且，，所以的展开式的通项为且，，令，得或或或，则x项的系数为，故选：D．32．（2023上·广西贵港·高三校联考阶段练习）展开式中的系数为（

）A． B．21 C． D．35【答案】A【分析】先将原式整理为，视为两项的展开式，要含有的项，需要在中找即可【详解】因为展开式的通项公式为，所以当时，含有的项，此时，故的系数为．故选：A33．（2023上·广东广州·高三统考阶段练习）展开式中各项系数的和为64，则该展开式中的项的系数为（

）A． B． C．100 D．160【答案】C【分析】先用赋值法求得项数n，由于原式为三项式，需将作为整体进行二项式展开，从原式展开式中取出前两项再进行展开，分别求出包含项和项的系数，最后代回原式求和即可.【详解】取代入，得，解得则原式其中，只有前两项包含项.，其中项的系数为；，其中项的系数为.故原式展开式中的项的系数为.故选：C.34．（2023下·河南南阳·高二校联考期末）的展开式中的系数为（

）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】B【分析】变形后求出其通项公式，令，则，再求出中的的系数即可求得结果【详解】的通项公式，令，则，所以的系数为，故选：B（四）二项式系数及项的系数的和及性质1、赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝eq\f(f1＋f－1,2)，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝eq\f(f1－f－1,2).2、二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。3、系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来。4、求解二项式系数或系数的最值问题的一般步骤：第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个．第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解．若是求系数的最大值，有两个思路，思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值；思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ak≥ak－1，,ak≥ak＋1))即可求得答案．题型4：二项式系数及项的系数的和41．（2023上·四川巴中·高三南江中学校考阶段练习）已知的展开式中二项式系数的和是1024，则它的展开式中的常数项是（

）A．252 B． C．210 D．【答案】B【分析】求解先求出n，在利用通项公式求解【详解】由的展开式中二项式系数的和是1024，故，所以．由二项式定理得展开通项为，当时为常数项，故选：B42．（2023下·四川雅安·高二统考期末）在的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为64，则该展开式中的常数项为（

）A．15 B．45 C．135 D．405【答案】C【分析】令可得展开式各项系数和，再由二项式系数和为，即可得到方程，求出，再写出二项式展开式的通项，令的指数为，即可求出，再代入计算可得；【详解】解：对于，令，可得各项系数和为，又二项式系数和为，所以，解得，所以展开式的通项为，令，解得，所以；故选：C43．（2023下·吉林·高二校联考期末）在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（

）A．16 B．32 C．1 D．【答案】A【分析】先根据二项式系数和公式得，再令特殊值即可求得答案.【详解】解：因为二项式系数的和是16，所以，解得，所以，令得展开式中各项系数的和为．故选：A44．（2023上·湖南·高三校联考开学考试）已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的系数为（

）A．0 B． C．120 D．【答案】A【分析】令，构建方程可得，再根据的展开式，令和，代入运算求解．【详解】因为的展开式中各项系数的和为，所以令，得，解得，∵的展开式为则展开式中含的项为，故的系数为0.故选：A．45．（2023上·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设多项式，则.【答案】【分析】分别赋值，得到两个等式，两式相加即得偶数项系数的倍.【详解】依题意，令，得到：，令，得到：，两式相加可得：，故.故答案为：46．（2023下·高二单元测试）已知，若，则自然数n＝.【答案】5【分析】利用赋值的方法分别让，，得到两个等式，再结合题目中的条件即可求出.【详解】令，得，令，得，所以，.故答案为：5.题型5：二项式系数或系数的最值51．（2023·浙江·校考模拟预测）若二项式的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开式的有理项中第项的系数最大，则（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】根据条件可得.写出展开式的通项，则当是偶数时，该项为有理项，求得所有的有理项的系数，可解出的值.【详解】由已知可得，.根据二项式定理，知展开式的通项为，显然当是偶数时，该项为有理项，时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，.经比较可得，，即时系数最大，即展开式的有理项中第5项的系数最大．故选：A.52．（2023上·河南安阳·高三校联考阶段练习）已知的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据二项式系数的性质可得，再结合二项展开式的通项求各项系数，分析列式求系数最小项时的值，代入求系数的最小值.【详解】∵展开式中只有第5项是二项式系数最大，则∴展开式的通项为则该展开式中各项系数若求系数的最小值，则为奇数且，即，解得∴系数的最小值为故选：C.53．（2023下·安徽黄山·高二统考期末）已知的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（

）A．展开式所有项的系数和为 B．展开式二项式系数最大为C．展开式中没有常数项 D．展开式中有理项共有5项【答案】D【分析】根据二项式展开式的项数、展开式的系数和、二项式系数最大值、常数项、有理项等知识求得正确选项.【详解】因为，所以，令，得所有项的系数和为，故A错误.由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项的二项式系数为，故B错误.因为展开式的通项为，当时，，故C错误.当为整数时，，3，6，9，12，共有5项，故D正确.故选：D54．（2023下·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期末）的二项展开式中，系数最大的是第项.【答案】【分析】利用二项式定理得到展开式的通项公式，然后设第项系数最大，列出不等式组，求出，从而得到答案.【详解】展开式的通项公式为，假设第项系数最大，则有，解得：，因为，所以，则，即系数最大的是第1868项.故答案为：1868（五）整除和余数问题整除和余数问题的解题技巧：1．利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了．2．解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．题型6：整除和余数问题61．（2023下·福建泉州·高二校考期中）设，则当时，除以15所得余数为（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】A【分析】利用二项式定理化简，结合二项式的展开式公式即可求解.【详解】∵，∴，当时，，而，故此时除以15所得余数为3.故选:A.62．（2023上·江西·高二统考阶段练习）设n∈N，且能被6整除，则n的值可以为.(写出一个满足条件的n的值即可)【答案】5（答案不唯一）【分析】先利用二项展开式将变形，进而即可求得n的可能取值【详解】被6整除，由能被6整除，可得能被6整除，则n的值可以为5，或11，或17等，答案不唯一故答案为：5（答案不唯一）63．（2023下·广东广州·高二广州市白云中学校考期中）已知且满足能被8整除，则符合条件的一个的值为.【答案】5（答案不唯一）【分析】对进行合理变形，并利用二项式定理展开，从而得出的值.【详解】由已知得，由已知且满足能被8整除，则是8的整数倍，所以（），则符合条件的一个的值为5.故答案为：（答案不唯一）64．（2023·全国）除以100的余数是．【答案】81【分析】根据二项式定理的应用求余数即可.【详解】，在此展开式中，除了最后两项外，其余项都能被100整除，故除以100的余数等价于除以100的余数，所以余数为81.故答案为：81.65．（2023·高二课时练习）若能被13整除，则实数a的值可以为．（填序号）①0；②11；③12；④25．【答案】③④【分析】由，根据二项式定理展开，转化为能被13整除，结合选项即可求解.【详解】解析：∵，又52能被13整除，∴需使能被13整除，即能被13整除，∴，，结合选项可知③④满足．故答案为：③④．一、单选题1．（2023上·广东江门·高三统考阶段练习）在的展开式中常数项为（

）A．14 B．－14 C．6 D．－6【答案】D【分析】根据二项式定理及多项式乘法法则求解．【详解】由二项式定理得，所以所求常数项为．故选：D．2．（2023下·江苏无锡·高二江苏省天一中学校考期中）在的展开式中，记项的系数为，则（

）A．45 B．60 C．120 D．210【答案】C【分析】根据题意，得到展开式中项的系数为：，分别求解，即可得出结果.【详解】根据题意，得到展开式中项的系数为：，所以，，，，因此．故选：C.3．（2023下·山东济南·高二统考期末）的展开式中，所有不含z的项的系数之和为（

）A．16 B．32 C．27 D．81【答案】D【分析】原问题即为求展开式中的所有项的系数和，令，即可得答案.【详解】解：展开式的通项公式为，若展开式中的项不含z，则，此时符合条件的项为展开式中的所有项，令，可得所有不含z的项的系数之和为，故选：D.4．（2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）在的展开式中，含的项的系数为（

）A．120 B．40 C．30 D．200【答案】C【分析】将整理为，根据二项展开式分析可得，对每种情况再根据二项展开式理解运算.【详解】，其展开式为：根据题意可得：当时，则，展开式为：∴，则的项的系数为当时，则，展开式为：∴，则的项的系数为当时，则，展开式为：∴，则的项的系数为综上所述：含的项的系数为故选：C．5．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）展开式中，项的系数为（）A．5 B．5 C．15 D．15【答案】B【分析】根据展开式的含义，可确定出现有两种情况，求出每种情况展开式中含有的项，即可求得答案.【详解】，表示5个相乘，展开式中出现有两种情况，第一种是中选出3个和2个1，第二种是中选出4个和1个，所以展开式中含有项有和，所以项的系数为,故答案为：B6．（2023下·全国·高三校联考阶段练习）在的展开式中，除项之外，剩下所有项的系数之和为（

）A．299 B． C．300 D．【答案】A【分析】先，求出展开式中所有项的系数和，然后求出项的系数，从而可得答案.【详解】令，得.所以的展开式中所有项的系数和为.由可以看成是5个因式相乘.要得到项，则5个因式中有1个因式取，一个因式取，其余3个因式取1，然后相乘而得.所以的展开式中含的项为，所以的展开式中，除项之外，剩下所有项的系数之和为.故选：A7．（2023·江苏·高二专题练习）二项式的展开式中系数为有理数的项共有（

）A．6项 B．7项 C．8项 D．9项【答案】D【分析】由二项式的通项公式结合有理项的性质即可求解.【详解】二项式的通项，若要系数为有理数，则，，，且，即，，易知满足条件的，故系数为有理数的项共有9项.故选：D8．（2023·河南开封·校联考模拟预测）的展开式中所有有理项的系数和为（

）A．85 B．29 C． D．【答案】C【分析】写出通项后可得有理项，进一步计算可得结果.【详解】展开式的通项为：，其中，当时为有理项，故有理项系数和为，故选：C.9．（2023下·福建泉州·高二泉州市城东中学校考期中）若，且，则实数的值可以为（

）A．1或 B． C．或3 D．【答案】A【分析】利用赋值法，分别令，和，，，再根据，求得的值．【详解】在中，令可得，即，令，可得，∵，∴，∴，整理得，解得，或．故选：A10．（2023·陕西西安·高三西安中学校考阶段练习）设，若，则实数a的值为（

）A．2 B．0 C．1 D．【答案】A【分析】对已知关系式两边同时求导，然后令，建立方程即可求解.【详解】对已知关系式两边同时求导可得：，令，则，，即，解得：.故选：A.11．（2023上·江苏苏州·高二校考阶段练习）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是（

）A．2004 B．2005 C．2025 D．2026【答案】D【分析】由二项式定理可得，结合算法新定义判断满足对应b值.【详解】若，由二项式定理得，则，因为能被5整除，所以a除以5余，又因为，选项中2026除以5余1．故选：D．12．（2023下·福建福州·高二福建省福州格致中学校考期中）的计算结果精确到0.001的近似值是（

）A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933【答案】C【分析】由二项式定理求解【详解】.故选：C13．（2023下·安徽·高二校联考期末）估算的结果，精确到0.01的近似值为（

）A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16【答案】A【分析】利用二项式定理进行计算．【详解】原式+．故选：A．14．（2023下·江苏苏州·高二统考期中）已知为正整数，若，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】由，根据二项式定理，将式子展开，估算，进而可得，再由题意，即可得出结果.【详解】因为，而，所以，因此，又为正整数，，所以；故选：C.【点睛】本题主要考查近似计算的问题，灵活运用二项式定理即可，属于常考题型.15．（2023下·北京·高二北京师大附中校考期中）当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：若在的展开式中，的系数为，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据广义杨辉三角形可得出的展开式，可得出的展开式中的系数，即可求得的值.【详解】由广义杨辉三角形可得，故的展开式中，的系数为，解得.故选：C.16．（2023下·安徽阜阳·高二安徽省临泉第一中学统考期末）杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本源”，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它上面的两个数值之和，每一行第个数组成的数列称为第斜列．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2023行第斜列与第斜列各项之和最大时，的值为（

）A．1009 B．1010 C．1011 D．1012【答案】C【分析】根据题意可得第斜列各项之和为，第斜列各项之和为，则可求出.【详解】当时，第斜列各项之和为，同理，第斜列各项之和为，所以，所以第斜列与第斜列各项之和最大时，，则.故选：C．二、多选题17．（2023下·浙江杭州·高二杭州四中校考期中）已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（

）A． B．展开式中常数项为160C．展开式系数的绝对值的和1458 D．展开式中含项的系数为240【答案】ACD【分析】对于A,先利用赋值法算出；对于B和D，求出展开式的通项公式，再由多项式乘法法则即可判断；对于C，展开式系数的绝对值的和可看做是二项式展开式系数的和，然后用赋值法即可判断【详解】解：对于A,令，所以的展开式中各项系数的和为，解得，故A正确；对于B和D,展开式通项公式为,当时，；当时，(舍去)，所以展开式中常数项为；当时，；当时，(舍去)，所以展开式中含项的系数为，故B错误，D正确；对于C，二项式展开式系数的绝对值的和可看做是二项式展开式系数的和，所以令，展开式系数的和为，故C正确；故选：ACD18．（2023上·山东·高三山东师范大学附中校考阶段练习）已知的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为1:8，则（

）A． B．展开式中所有项的系数和为1C．展开式中二项式系数和为 D．展开式中不含常数项【答案】AD【分析】根据二项式定理，由题意写出第二项与第三项系数之比的绝对值，求出n，用赋值法求出各项系数之和，再利用二项式定理以及系数的性质即可.【详解】由题意，则，，A正确；，令，则所有项系数之和，B错误；二项式系数之和为，C错误；，若为常数项，则有，是分数，所以不存在常数项，D正确；故选：AD.19．（2023上·浙江·高二校联考阶段练习）在的展开式中，有理项恰有两项，则的可能取值为（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用二项式定理的通项公式得到满足题意的项【详解】展开式通项为，对于A，展开式通项为，所以由可得或8，所以此时有两个有理项，故正确；对于B，展开式通项为，所以由可得或6或12，所以此时有三个有理项，故错误；对于C，展开式通项为，所以由可得或10，所以此时有两个有理项，故正确；对于D，展开式通项为，所以由可得或6或12，所以此时有三个有理项，故错误；故选：AC20．（2023下·河北唐山·高二校考期末）已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为，则下列结论成立的是（

）A． B．展开式中的常数项为45C．含的项的系数为210 D．展开式中的有理项有5项【答案】ABC【分析】根据二项式的展开式的通项公式，结合第3项与第5项的系数之比为，可得.再根据公式逐个选项判断即可.【详解】二项式的展开式的通项为，由于第3项与第5项的系数之比为，则，故，得.∴(n＋5)(n－10)＝0，解得n＝10，故A正确；则，令，解得，则展开式中的常数项为，故B正确；令，解得，则含的项的系数为，故C正确；令，则r为偶数，此时，故6项有理项．故选：ABC21．（2023下·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期中）已知，若，则有（

）A．B．C．D．【答案】BCD【分析】令，已知式变为，可求得，然后二项式变形为，并令二项式化为，可求得，二项式两边都对求导后令可求得，从而判断各选项．【详解】令，则，已知式变为，解得，，，，，令，则有，两边对求导得，再令得，所以，故选：BCD．22．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】比较等式两侧x的最高次知且判断A、B；将C中等式两侧乘，再令验证即可；对已知等式两侧求导，将代入求值判断D.【详解】由等式右边最高为项，且不含项，则且，即，故A错误，B正确；所以.C：等式两边同乘，原等式等价于，令，则，正确；D：，可得：，令，则，错误；故选：BC23．（2023上·广东佛山·高三统考期中）设，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】赋值令，代入整理运算，逐项判断.【详解】令，则，即，A错误；令，则，即①，则，B错误；令，则，即②，由①②可得：，，C、D正确；故选：CD.24．（2023下·黑龙江佳木斯·高二建三江分局第一中学校考期中）已知，下列命题中，正确的是（）A．展开式中所有项的二项式系数的和为；B．展开式中所有奇次项系数的和为；C．展开式中所有偶次项系数的和为；D．.【答案】ACD【分析】由二项式定理知的所有项的二项式系数和为，分别令、，再将所得作和差处理，求奇偶次项的系数和，根据通项，即可求，进而判断各选项的正误.【详解】对于A：由二项式知：，故A正确；当时，有，当有，对于B：由上，可得，故B错误；对于C：由上，可得，故C正确；对于D：由二项式通项知：，则，，…，，所以，故D正确.故选：ACD25．（2023上·湖北·高三黄冈中学校联考阶段练习）已知，则（

）A．B．C．D．【答案】CD【分析】对于A，利用赋值法求解，对于B，利用二项式展开式的通项公式求解，对于C，利用赋值法求解，对于D，利用二项式展开式的通项公式求解.【详解】对于A，令，则，令，则，所以，所以A错误，对于B，二项式展开式的通项公式为，所以，所以B错误，对于C，令，则，因为，所以，，因为，所以，所以，所以C正确，对于D，因为二项式展开式的通项公式为，所以，，，，，所以，，所以，所以D正确，故选：CD26．（2023上·辽宁本溪·高二校考阶段练习）已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为0，则（

）A．B．的展开式中有理项有5项C．的展开式中偶数项的二项式系数和为512D．除以9余8【答案】ABD【分析】由二项式系数的概念与组合数的性质可判断A；由二项式的通向结合有理项的概念判断B；由偶数项的二项式系数和判断C；由二项式定理判断D【详解】对于，因为第4项与第7项的二项式系数相等，所以，由组合数的性质知，故A正确；对于，在的展开式中，令，得，所以，所以的二项式通项为.由为整数，得，所以展开式中有理项有5项，故B正确；对于，展开式中偶数项的二项式系数和为，故错误；对于D，由B知，则，所以除以9余8，故D正确.故选：ABD.27．（2023·高二课时练习）设，且，若能被13整除，则a的值可以为（

）A．0 B．11 C．12 D．25【答案】CD【分析】化简，再利用二项式定理分析得解.【详解】解：，又52能被13整除，∴需使能被13整除，即能被13整除，∴，，又，∴或25.故选：CD．28．（2023下·重庆·高二统考期末）杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数（，且）在三角形中的一种几何排列，北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，南宋时期杭州人杨辉在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如下图所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”，故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”，杨辉三角形的构造法则为：三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数字相加.根据以上信息及二项式定理的相关知识分析，下列说法中正确的是（

）A．B．当且时，C．为等差数列D．存在，使得为等差数列【答案】ABD【分析】由组合数性质可判断A；利用组合数公式化简可判断B；组合数公式结合等差数列定义可判断CD.【详解】A选项：由组合数的性质可知A正确；B选项：，因为，所以，所以，B正确；C选项：，C错误；D选项：当时，，所以数列为公差为1的等差数列，D正确.故选：ABD.三、填空题29．（2023下·江苏无锡·高二统考期中）设，化简.【答案】【分析】逆用二项式定理，即可容易求得结果.【详解】容易知.故答案为：.【点睛】本题考查二项式定理的逆用，属基础题.30．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）求值：【答案】【分析】根据二项式定理展开式配凑，即可求出．【详解】．故答案为．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,考查学生对二项展开式的理解．31．（2023上·北京·高三北京市第一六一中学校考期中）已知二项式展开式中含有常数项，则n的最小值为．【答案】6【分析】写出二项式的通项公式并化解，根据已知列式，利用即可得到最小时的情况即可得出答案.【详解】二项式展开式的通项为：，二项式展开式中含有常数项，有解，则当时，最小，且最小值为6.故答案为：6.32．（2023·海南省直辖县级单位·统考三模）的展开式中含项的系数为.（用数字作答）【答案】/【分析】写出的展开式的通项，令，求得,即可求得答案.【详解】由题意得：的展开式的通项为，令，故的展开式中含项的系数为，故答案为：33．（2023上·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考阶段练习）的展开式中各二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为．【答案】135【分析】根据展开式中二项式系数和求得的值，再利用展开式的通项公式求出常数项．【详解】解：的展开式中各项二项式系数之和为64，则，解得；展开式的通项公式为，令，解得；展开式中的常数项为．故答案为：135．34．（2023·全国·模拟预测）的展开式中的常数项为.【答案】84【分析】根据二项式定理确定展开式的通项，即可求得常数项.【详解】的展开式的通项公式为，令，得，所以的展开式中的常数项为.故答案为：84.35．（2023·全国·模拟预测）写出一个正整数n，使的展开式中含有常数项，则n＝．（答案不唯一，写出一个符合题意的即可）【答案】7（答案不唯一，7的正整数倍均可）【分析】求出展开式的通项，可得存在，使，即可得出.【详解】展开式的通项为．因为展开式中含有常数项，所以存在，使，即，故且n为7的倍数．故答案为：7（答案不唯一，7的正整数倍均可）.36．（2023下·广东广州·高二广州市禺山高级中学校联考期中）若展开式中第5项为常数项，则；【答案】7【分析】根据二项展开式的通项公式可得.【详解】为常数项，所以.故答案为：7.37．（2023·江西南昌·统考二模）的展开式共有8项，则常数项为．【答案】【分析】利用二项式的性质可求得，利用其通项公式即可求得的展开式中的常数项．【详解】的展开式共有项，依题意得：，；设的展开式的通项为，则，由得，的展开式中的常数项为．故答案为：．38．（2023·福建漳州·统考二模）已知的展开式中的系数为【答案】240【分析】写出二项式展开式的通项公式，根据其通项公式可求得答案.【详解】展开式的通项公式为：，令，则，故的系数为，故答案为：24039．（2023下·四川成都·高三成都七中校考开学考试）在的二项展开式中，第项为常数项.【答案】7【分析】直接利用二项式的通项公式，令的指数为0，求出即可．【详解】解：的二项展开式的通项为，令，解得，即时，二项展开式为常数项，即第7项是常数项．故答案为：7．40．（2023上·天津静海·高三校考阶段练习）设常数，展开式中的系数为，则.【答案】/【分析】求出二项式展开式的通项，令的指数位置等于求出的值，取该的值时再令系数等于，解方程即可得的值.【详解】展开式的通项为，令可得，所以展开式中的系数为，可得：或（舍），所以，故答案为：.41．（2023下·黑龙江哈尔滨·高二校考期末）在二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则该展开式中的的系数是．【答案】160【分析】根据二项式系数之和可求得，再根据二项式的通项即可求得的系数.【详解】因为二项式系数之和为64，故有，得，二项式的通项为，令，得，所以.即的系数是.故答案为：160.42．（2023下·北京石景山·高二统考期末）在的展开式中，二项式系数之和为；各项系数之和为．（用数字作答）【答案】16256【分析】根据二项式系数和公式求得二项式系数之和；再用赋值法求各项系数之和.【详解】在的展开式中，二项式系数之和为；令，，即各项系数和为.故答案为：①；②.43．（2023上·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）若的展开式的所有项的系数和与二项式系数和的比值是32,则展开式中项的系数是.【答案】15【分析】先赋值求出所有项的系数，进而计算出，再根据二项式定理计算展开式中项的系数.【详解】令,得所有项的系数和为,二项式系数和为,所以,即的第项为令,得所以项的系数是故答案为：1544．（2023下·河北唐山·高二校联考期中）若的展开式中二项式系数的和为，则该展开式中的常数项是．【答案】【分析】由已知条件求出的值，写出展开式通项，令的指数为零，求出参数值，代入通项即可得解.【详解】由已知可得，解得，的展开式通项为，令，可得，因此，展开式中的常数项为.故答案为：.45．（2023下·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则的系数为.【答案】【分析】根据赋值法和二项式系数的定义可以求得n，再根据二项式的通项即可求得结果.【详解】在的展开式中，令得展开式各项系数和为，又二项式系和为，各项系数和与二项式系之比为32，即，∴，在的展开式中，通项公式为令，求得，∴的系数为，故答案为：．46．（2023上·北京·高三北京市第十一中学校考阶段练习）二项式的展开式中，常数项是，各项二项式系数之和是.（本题用数字作答）【答案】【分析】由展开式的通项，令即可找到常数项，利用即可算出二项式系数之和.【详解】展开式的通项公式为，令，得，所以常数项为；所有二项式系数之和为.故答案为：

；6447．（2023下·河南焦作·高二武陟县第一中学校考期末）的展开式中的系数为（用数字作答）．【答案】800【分析】要得到含的项，需在的展开式中取第4项，在的展开式中取第2项，从而利用二项式定理求解即可．【详解】由题意知，在的展开式中取第4项，即，的展开式中取第2项，即，故的系数为．故答案为：80048．（2023下·浙江湖州·高二统考期中）的展开式中，记项的系数为，则【答案】【分析】分别利用二项式定理求出和的展开通项求解即可.【详解】表示的系数，即中含的系数和中的常数项相乘的结果，即，表示的系数，即中含的系数和中的含的系数相乘的结果，即，表示的系数，即中含的系数和中的含的系数相乘的结果，即，表示的系数，即中含的系数和中的含的系数相乘的结果，即，所以.故答案为：.49．（2023·江西·校联考一模）的展开式中常数项为．（用数字作答）【答案】【分析】先求出的展开式中的常数项和的系数，再求的常数项.【详解】解：因为，其中展开式的通项为，令得的常数项为，令，即得展开式中的系数为.所以的常数项为.故答案为：50．（2023上·河北邯郸·高三统考开学考试）已知，则的值为.【答案】【分析】赋值法求，根据二项式展开式通项求，即可求.【详解】令，由的展开式的通项为，令，得，令，得，所以，所以.故答案为：51．（2023·湖南长沙·雅礼中学校联考一模）展开式中的常数项为.【答案】4246【分析】根据二项式展开式的通项即可求解.【详解】的展开式的通项:,5,6.的展开式的通项：,.两通项相乘得:，令，得，所以满足条件的有三组:，故常数项为.故答案为：4246.52．（2023·浙江·校联考三模）已知多项式，则，．【答案】1648【分析】利用赋值法令第一空，利用二项式展开式的通项公式即可求解.【详解】由题意可知，令时，，设的展开式的通项为：，的展开式的通项为:，当时，，当时，，所以．故答案为：16；48.53．（2023·广东·高三校联考阶段练习）的展开式中，的系数为.【答案】【分析】，然后两次利用通项公式求解即可【详解】解：因为，设其展开式的通项公式为，令，得的通项公式为，令，得，所以的展开式中，的系数为，故答案为：54．（2023·全国·高二专题练习）已知的所有项的系数的和为64，展开式中项的系数为．【答案】15【分析】根据系数和用赋值法可求，进而根据两个多项式相乘，根据结合律即可求解.【详解】由题意知：令，则，因此，要得的系数，则只需要分别提供的项分别与相乘即可，故项的系数为：，故答案为：1555．（2023上·福建福州·高三校考期中）在的展开式中，的系数为.【答案】【分析】运用二项式的通项公式进行求解即可.【详解】二项式的通项公式为：，令，二项式的通项公式为：，令，所以的系数为，故答案为：56．（2023·高二课时练习）的展开式的所有项的系数和为243，则展开式中的系数为.【答案】51【分析】令可得所有项的系数和，求出，再利用组合的知识确定含的项的系数即可.【详解】令，则，解得，由组合知识可得，的展开式中含的项为，，，故展开式中的系数为．故答案为：51．57．（2023上·四川广安·高三四川省岳池中学校考阶段练习）已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为．【答案】2【分析】先算出，再写出通项公式，确定的次数为整数即可【详解】的展开式有项,因为仅有第5项的二项式系数最大,所以当时,,当时,,符合题意所以展开式中有理项的个数为2故答案为：258．（2023·全国·高二专题练习）如果的展开式中第3项与第2项系数的比是4，那么展开式里x的有理项有项．（填个数）【答案】2【分析】利用二项式系数的性质可得，从而可求得的值，再写出展开式的通项，由的幂指数即可求得的值，从而可求得展开式里所有的有理项；【详解】解：依题意可得，即，解得或（舍去）．所以二项式展开式的通项为（，1，2，，，根据题意，解得或，展开式里所有的有理项为，共项；故答案为：59．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考三模）已知且，，，且，则．【答案】6【分析】由二项式定理求解【详解】由题意可得，令，得，令，得，故，解得，故．故答案为：660．（2023下·江苏·高二校联考阶段练习）已知，且，则．【答案】【分析】运用二项式定理将进行展开，分别求出各个项的系数，再带入到中，解方程即可求．【详解】由二项式定理得：的通项为：，又则其通项为：即，，，，，，代入，化