高三二轮复习专题09空间几何体的表面积和体积

2024届高三二轮复习第9讲：空间几何体表面积和体积解析版2023年考情考题示例考点关联考点2023年新I卷，第12题球、圆柱、棱柱的性质无2023年新I卷，第14题棱台的体积无2023年新Ⅱ卷，第9题圆锥的侧面积和体积二面角2023年天津卷，第8题三棱锥的体积无2023年乙卷文科，第16题球的性质线面垂直2023年乙卷文科，第19题（2）三棱锥的体积无2023年甲卷理科，第11题四棱锥无2023年甲卷理科，第15题球和正方体的性质无2023年甲卷文科，第10题三棱锥的体积无2023年甲卷文科，第18题（2）四棱锥的高求法四棱锥的体积题型一：多面体的表面积和体积【典例例题】例1.（2023春·广东省东莞实验中学高三一模）如图1，水平放置的直三棱柱容器中，，，现往内灌进一些水，水深为2．将容器底面的一边AB固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为三角形，如图2，则容器的高h为（

）A．3 B．4 C． D．6【答案】A【分析】利用两个图形装水的体积相等即可求解.【详解】在图1中，在图2中，，.故选：A.【变式训练】1.（2023春·广东省大湾区高三第二次联考）如图为三棱锥的平面展开图，其中，，垂足为，则该三棱锥的体积为______．【答案】【解析】【分析】根据几何体平面展开图得到其直观图，再根据锥体的体积公式计算可得.【详解】由三棱锥的平面展开图可得其直观图如下：其中，，，，又，平面，所以平面，所以，故答案：2.（2023春·广东省高三二模）已知直四棱柱的棱长均为2，，除面ABCD外，该四棱柱其余各个面的中心分别为点E，F，G，H，Ⅰ，则由点E，F，G，H，Ⅰ构成的四棱锥的体积为______．【答案】【解析】【分析】根据题意结合锥体的体积公式分析运算.【详解】连接，由题意可得，分别过E，F，G，H作底面ABCD的垂线，垂足分别为，可得分别为的中点，连接，可得，由题意可得：为四棱柱，则，四棱锥的高为直四棱柱的高的一半，即为1，所以四棱锥的体积.故答案为：.3.（2023秋·广东省深圳市高三模拟）（多选）已知正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为2，则（）A.棱台的侧面积为B.棱台的体积为C.棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为D.棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为【答案】ACD【解析】【分析】对于A.在等腰梯形中解出其面积即可得出棱台的侧面积.对于B.在等腰梯形中解出其高即为棱台的高，将其代入即可得出答案.对于C.棱台的侧棱与底面所成角为，在解出即可.对于D.侧面与底面所成锐二面角的平面角为角，在解出即可.【详解】作正四棱台如图所示：对于A.过作于，,所以,所以棱台的侧面积为.所以A正确.对于B.连接，过作于，过作于点，，,,，上底面面积，下底面面积，棱台的体积为.故B错误.对于C.因为为在底面的投影，所以为侧棱与底面所成角.,所以C正确.对于D.为侧面与底面所成锐二面角的平面角，，所以D正确.故选：ACD.题型二：旋转体的表面积和体积【典例例题】例1.（2023春·广东省高三一模）已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可.【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为，因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为，则圆锥和圆柱的高为，所以圆锥的侧面积为，圆柱的侧面积为，所以圆锥和圆柱的侧面积之比为,故选:C.【变式训练】1.（2023春·广东省高三二模）现有一个轴截面是边长为4的等边三角形的倒置圆锥（顶点在下方，底面在上方），将半径为的小球放入圆锥，使得小球与圆锥的侧面相切，过所有切点所在平面将圆锥分割成两个部分，则分割得到的圆台的侧面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作轴截面图，求出圆台的母线长，底面半径长，结合侧面积公式可得其解.【详解】作轴截面图如下：为圆锥的轴截面，点为与侧面相切球的球心，点为切点，由已知，可得，，，，在中，，，，所以，又，所以，所以圆台的母线长为，因，，所以为等边三角形，所以，所以圆台的侧面积.故选：D.2.（2023春·广东省潮州市高三二模）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意求出圆台上下底面半径，圆台的高，代入圆台的体积计算公式即可求解.【详解】设圆台上下底面的半径分别为，由题意可知，解得，，解得：，作出圆台的轴截面，如图所示：图中，，过点向作垂线，垂足为，则，所以圆台的高，则上底面面积，，由圆台的体积计算公式可得：，故选：3.（2023春·广东省佛山市高三二模）科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”III型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”III型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”III型浮空艇的体积约为（）（参考数据：，，，）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据图2得半球、圆柱底面和圆台一个底面的半径为，而圆台一个底面的半径为，再根据球、圆柱和圆台的体积公式即可求解．【详解】由图2得半球、圆柱底面和圆台一个底面的半径为（m），而圆台一个底面的半径为（m），则（m3），（m3），（m3），所以（m3）．故选：A．4.（2023春·广东省揭阳市普宁市华侨中学高三二模）辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎（如图1）出土于辽宁省略左县小波汰沟．此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分别饰单层兽面纹，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主体部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（忽略鼎壁厚度），如图2所示．已知球的半径为R，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎的容积约为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用球体、圆柱体体积公式求鼎的容积.【详解】由题设，此鼎的容积为半球体积与圆锥体积的和，所以容积约为.故选：D题型三：球的表面积和体积【典例例题】例1.（2023春·广东省高三一模）水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（）A.4 B. C. D.6【答案】C【解析】【分析】根据题设要使半球形容器内壁的半径的最小，保证小球与球各面（含球面部分）都相切，进而求半径最小值.【详解】要使半球形容器内壁的半径的最小，只需保证小球与球各面（含球面部分）都相切，此时，如上图示，为半球的球心，为其中一个小球球心，则是棱长为2的正方体的体对角线，且该小球与半球球面上的切点与共线，所以半球形容器内壁的半径的最小值为小球半径与长度之和，即,故选：C【变式训练】1.（2023春·广东省广州市高三一模）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，证明平面，再确定球心O的位置，求出球半径作答.【详解】在三棱锥中，如图，，则，同理，而平面，因此平面，在等腰中，，则，，令的外接圆圆心为，则平面，，有，取中点D，连接OD，则有，又平面，即，从而，四边形为平行四边形，，又，因此球O的半径，所以球的表面积.故选：A2.（2023春·广东省江门市高三一模）（多选）勒洛FranzReuleaux（1829～1905），德国机械工程专家，机构运动学的创始人.他所著的《理论运动学》对机械元件的运动过程进行了系统的分析，成为机械工程方面的名著.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体.如图所示，设正四面体的棱长为2，则下列说法正确的是（）A.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为B.勒洛四面体被平面截得的截面面积是C.勒洛四面体表面上交线的长度为D.勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2【答案】ABD【解析】【分析】A选项：求出正四面体的外接球半径，进而得到勒洛四面体的内切球半径，得到答案；B选项，作出截面图形，求出截面面积；C选项，根据对称性得到交线所在圆的圆心和半径，求出长度；D选项，作出正四面体对棱中点连线，在C选项的基础上求出长度.【详解】A选项，先求解出正四面体的外接球，如图所示：取的中点，连接，过点作于点，则为等边的中心，外接球球心为，连接，则为外接球半径，设，由正四面体的棱长为2，则，，，，，由勾股定理得：，即，解得：，此时我们再次完整的抽取部分勒洛四面体，如图所示：图中取正四面体中心为，连接交平面于点，交于点，其中与共面，其中即为正四面体外接球半径，设勒洛四面体内切球半径为，则，故A正确；B选项，勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，如图所示：面积为，B正确；C选项，由对称性可知：勒洛四面体表面上交线所在圆的圆心为的中点，故，又，由余弦定理得：，故，且半径为，故交线的长度等于，C错误；D选项，将正四面体对棱所在的弧中点连接，此时连线长度最大，如图所示：连接，交于中点，交于中点，连接，则，则由C选项的分析知：，所以，故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于2，D正确.故选：ABD3.（2023春·广东省汕头市高三一模）如图，在正四棱台中，，，若半径为r的球O与该正四棱台的各个面均相切，则该球的表面积______．【答案】【解析】【分析】作出正棱台以及球的截面图，作辅助线结合圆的切线性质，求得球的半径，即可求得答案.【详解】设球O与上底面、下底面分别切于点，与面，面分别切于点，作出其截面如图所示，则，，于是，过点M作于点H，则，由勾股定理可得︰,所以，所以该球的表面积，故答案为：4.（2023春·广东省梅州市高三一模）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”.现有一个刍甍如图所示，底面为正方形，平面，四边形，为两个全等的等腰梯形，，且，则此刍甍的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，求出点到平面的距离，再由几何体的结构特征确定球心位置，结合球面的性质求解作答.【详解】取、中点、，正方形中心，中点，连接，根据题意可得平面，，点是的中点，，在等腰中，，，同理，则等腰梯形的高为，根据几何体的结构特征可知，刍甍的外接球的球心在直线上，连接，正方体的外接圆的半径，则有，而，，当点在线段的延长线（含点）时，视为非负数，若点在线段的延长线（不含点）时，视为负数，即有，则，解得，则刍甍的外接球的半径为，则刍甍的外接球的表面积为，故选：C.5.（2023秋·广东省中山市模拟）已知三棱锥的四个顶点均在同一球面上，平面，，，且与平面所成角的正弦值为，则该球的表面积为______.【答案】【解析】【分析】求出三角形外接圆圆心，过作平面，且，则为三棱锥的外接球球心，求出半径即可求得球的表面积.【详解】如图根据题意，平面，所以即与平面所成角，则，又因为，，所以，则,又，即三角形为直角三角形，取中点，则为三角形外接圆圆心，取中点，则，且，所以，即为三棱锥的外接球球心，其半径，所以三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：1.（新课标全国Ⅰ卷）（多选）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（

）A．直径为的球体B．所有棱长均为的四面体C．底面直径为，高为的圆柱体D．底面直径为，高为的圆柱体【答案】ABD【详解】对于选项A：因为，即球体的直径小于正方体的棱长，所以能够被整体放入正方体内，故A正确；对于选项B：因为正方体的面对角线长为，且，所以能够被整体放入正方体内，故B正确；对于选项C：因为正方体的体对角线长为，且，所以不能够被整体放入正方体内，故C正确；对于选项D：因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，如图，过的中点作，设，可知，则，即，解得，且，即，故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱，若底面直径为的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心，与正方体的下底面的切点为，可知：，则，即，解得，根据对称性可知圆柱的高为，所以能够被整体放入正方体内，故D正确；故选：ABD.2.（新课标全国Ⅰ卷）在正四棱台中，，则该棱台的体积为________．【答案】【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，因为，则，故，则，所以所求体积为.故答案为：.3.（新课标全国Ⅱ卷）（多选）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（

）．A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为C． D．的面积为【答案】AC【详解】依题意，，，所以，A选项，圆锥的体积为，A选项正确；B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误；C选项，设是的中点，连接，则，所以是二面角的平面角，则，所以，故，则，C选项正确；D选项，，所以，D选项错误.故选：AC.4.（新课标全国Ⅱ卷）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．【答案】【详解】方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为，所以正四棱锥的体积为，截去的正四棱锥的体积为，所以棱台的体积为.方法二：棱台的体积为.故答案为：.5.（全国乙卷数学(理)（文））如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（

）A．24 B．26 C．28 D．30【答案】D【详解】如图所示，在长方体中，，，点为所在棱上靠近点的三等分点，为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体去掉长方体之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，其表面积为：.故选：D.6.（全国乙卷数学（文））已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则________．【答案】2【详解】如图，将三棱锥转化为直三棱柱，设的外接圆圆心为，半径为，则，可得，设三棱锥的外接球球心为，连接，则，因为，即，解得.故答案为：2.7.（全国乙卷数学(理)）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】在中，，而，取中点，连接，有，如图，，，由的面积为，得，解得，于是，所以圆锥的体积.故选：B8.（全国甲卷数学（文））在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【详解】取中点，连接，如图，是边长为2的等边三角形，，，又平面，，平面，又，，故，即，所以，故选：A9.（全国甲卷数学（文））在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是________．【答案】【详解】设球的半径为.当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，正方体的外接球直径为体对角线长，即，故；分别取侧棱的中点，显然四边形是边长为的正方形，且为正方形的对角线交点，连接，则，当球的一个大圆恰好是四边形的外接圆，球的半径达到最小，即的最小值为.综上，.故答案为：10.（全国甲卷数学（理））在四棱锥中，底面为正方形，，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】法一：连结交于，连结，则为的中点，如图，因为底面为正方形，，所以，则，又，，所以，则，又，，所以，则，在中，，则由余弦定理可得，故，则，故在中，，所以，又，所以，所以的面积为.法二：连结交于，连结，则为的中点，如图，因为底面为正方形，，所以，在中，，则由余弦定理可得，故，所以，则，不妨记，因为，所以，即，则，整理得①，又在中，，即，则②，两式相加得，故，故在中，，所以，又，所以，所以的面积为.故选：C.11.（全国甲卷数学（理））在正方体中，E，F分别为CD，的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为____________．【答案】12【详解】不妨设正方体棱长为2，中点为，取，中点，侧面的中心为，连接，如图，由题意可知，为球心，在正方体中，，即，则球心到的距离为，所以球与棱相切，球面与棱只有1个交点，同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，所以以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12.故答案为：1212.（新高考天津卷）在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图，分别过作,垂足分别为.过作平面，垂足为，连接,过作,垂足为.因为平面，平面，所以平面平面.又因为平面平面，，平面，所以平面，且.在中，因为，所以，所以，在中，因为，所以，所以.故选：B1.（2023春·广东省深圳市4月份高三大联考）圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为8，则圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】运用扇形的弧长公式及圆锥的侧面积公式计算即可.【详解】设圆锥的半径为r，母线长为l，则，由题意知，，解得：，所以圆锥的侧面积为.故选：A.2.（2023秋·广东省东莞市模拟）已知体积为1的正四棱台上、下底面的边长分别为，若棱台的高为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由棱台的体积公式及立方差公式计算可得.【详解】由题意，正四棱台的体积，所以.故选：A3.（2023春·广东省深圳市高三一模）如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】找到水最多和水最少的临界情况，如图分别为多面体和三棱锥，从而可得出答案.【详解】将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则如图，水最少的临界情况为，水面为面，水最多的临界情况为多面体，水面为，因为，，所以，即.故选：A4.（2023秋·广东省深圳市高三联考）如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面的半径分别为3和4，球的表面积为，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由球的表面积求出球的半径，然后通过轴截面求出圆台的高，进一步求出圆台的体积.【详解】因为圆台外接球的表面积，所以球的半径，设圆台的上､下底面圆心分别为，在上､下底面圆周上分别取点，连接，如图，因为圆台上､下底面的半径分别为3和4，所以，，所以，,所以，所以圆台体积.故选：D.5.（2023春·广东省韶关市高三二模）已知四棱台的下底面为矩形，，高为，且该棱台的体积为，则该棱台上底面的周长的最小值是（）A.15 B.14 C.13 D.12【答案】D【解析】【分析】设棱台的上底面矩形边长分别为，，则下底面矩形边长分别为，，由棱台的体积公式得到，再利用基本不等式求出上底面的周长最小值．【详解】设棱台的上底面矩形边长分别为，，则下底面矩形边长分别为，，则棱台的体积为，，所以棱台的上底面的周长为，当时，即上底面的周长最小值为．故选：D．6.（2023春·广东省深圳市高三二模）设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为、和，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设正方体棱长为，正四面体棱长为，球的半径为，面积为.表示出3个几何体的表面积，得出，进而求出体积的平方，比较体积的平方大小，然后得出答案.【详解】设正方体棱长为，正四面体棱长为，球的半径为，面积为.正方体表面积为，所以，所以，；如图，正四面体，为的中点，为的中心，则是底面上的高.则，，所以，所以，所以，正四面体的表面积为，所以.又为的中心，所以.又根据正四面体的性质，可知，所以，所以，；球的表面积为，所以，所以，.因为，所以，，所以，.故选：B.7.（2023秋·广东省东莞市高三模拟）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点，那么当底面水平放置时，水面高为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用水的体积不变，转化求解即可.【详解】如图，设，，的中点分别为E，F，G，则，，所以水部分四棱柱与原三棱柱的底面面积之比为，由于两种状态下水的体积相等，所以当底面水平放置时，水面高为侧棱长的，即.故选：C8．（2023春·广东省东莞实验中学高三一模）（多选）已知同底面的两个正三棱锥和均内接于球O，且正三棱锥的侧面与底面所成角的大小为，则下列说法正确的是（

）.A．平面QBCB．设三棱锥和的体积分别为和，则C．平面ABC截球O所得的截面面积是球O表面积的倍D．二面角的正切值为【答案】BCD【分析】由题可得PQ为球O的直径，设P到底面的距离为h，球的半径为R，结合条件可得，可得，然后逐项分析即得.【详解】∵同底面的两个正三棱锥和均内接于球O，∴PQ为球O的直径，取AB的中点M，连接PM、QM，则PM⊥AB，CM⊥AB，QM⊥AB，∴∠PMC为侧面PAB与底面ABC所成二面角的平面角，∠QMC为侧面QAB与底面ABC所成二面角的平面角，又正三棱锥的侧面与底面所成角的大小为，设底面的中心为N，P到底面的距离为h，球的半径为R，则PN=h，OP=R，ON=R－h，MN=h，CN=2h，∴，∴，QN=4h，PN=h，∴P、C、Q、M四点共面，又CN=2MN，QN=4h，PN=h，∴PA与QM不平行，故PA与平面QBC不平行，故A错误；由QN=4PN，可得，故B正确；∵平面ABC截球O所得的截面面积为，球O表面积为，∴平面ABC截球O所得的截面面积是球O表面积的倍，故C正确；∵，∴，，∴，即二面角的正切值为，故D正确.故选：BCD.9.（2023春·广东省惠州市高三一模）（多选）在如图所示的几何体中，底面是边长为4的正方形，均与底面垂直，且，点分别为线段的中点，则下列说法正确的是（）A.直线与所在平面相交B.三棱锥的外接球的表面积为C.直线与直线所成角的余弦值为D.二面角中，平面，平面为棱上不同两点，，若，，则【答案】BCD【解析】【分析】根据条件可知该几何体为长方体截去一个角，对于A项，可以证线面平行来否定；对于B项，容易得到外接球直径进而求得外接球表面积；对于C项，利用空间向量的数量积计算异面直线的夹角；对于D项，先得出二面角，再利用空间向量计算模长即可.【详解】由已知可得该几何体为长方体截去一个角，对于，连接，可证得四点共面，又可证得，所以平面，故错误；对于B，三棱锥的外接球半径，三棱锥的外接球的表面积为，故B正确；对于C项，易证AB⊥BF，AB⊥C1F，FC1⊥BE，则，，故C正确；对于D项，设二面角的平面角为，则，所以，于是，，且，故D正确．故选：BCD．10.（2023春·广东省汕头市高三一模）（多选）如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（）A.B.C.四边形的面积为D.平行六面体的体积为【答案】ABD【解析】【分析】A、B选项通过空间向量的模长及数量积进行判断即可；C选项通过空间向量求出，进而求出面积即可；D选项作出平行六面体的高，求出相关边长，即可求出体积.【详解】，则，故，A正确；，，，故，B正确；连接，则，，即，同理，故四边形为矩形，面积为，C错误；过作面，易知在直线上，过作于，连接，由得面，易得，故，，，故平行六面体的体积为，D正确.故选：ABD.12.（2023春·广东省大湾区高三第二次联考）已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面､底面均相切）的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得内切球半径，再画图设底面半径为，利用三角函数值代换表达出表面积的公式，再设，根据基本不等式求最小值即可【详解】设圆锥的内切球半径为，则，解得，设圆锥顶点为，底面圆周上一点为，底面圆心为，内切球球心为，内切球切母线于，底面半径，，则，又，故，又，故，故该圆锥的表面积为，令，则，当且仅当，即时取等号.故选：A.13.（2023春·广东省高州市高三二模）贯耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如图所示的青花折枝花卉纹六方贯耳瓶是清乾隆时期的文物，现收藏于首都博物馆，若忽略瓶嘴与贯耳，把该瓶瓶体看作3个几何体的组合体，上面的几何体Ⅰ是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体Ⅰ的底面是全等的六边形，几何体Ⅲ的上底面面积是下底面面积的4倍，若几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比分别为，则几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的体积之比为（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设上面的六棱柱的底面面积为S，高为，根据棱柱和棱台的体积公式直接计算，然后求比可得.【详解】设上面的六棱柱的底面面积为S，高为，由上到下的三个几何体体积分别记为，则，，，所以故选：D14.（2023秋·广东省梅州市高三模拟）（多选）如图所示，四边形是边长为4的正方形，分别为线段上异于点的动点，且满足，点为的中点，将点沿折至点处，使平面，则下列判断正确的是（）A.若点为的中点，则五棱锥的体积为B.当点与点重合时，三棱锥的体积为C.当点与点重合时，三棱锥的内切球的半径为D.五棱锥体积的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】设，根据题意得出五棱锥的体积为，结合B点所在位置和锥体的体积公式判断A、B、D选项；根据等体积法判断C选项.【详解】设，因为，点为的中点，所以，且，底面的面积为4），所以五棱锥的体积为.当点为的中点时，五棱锥的体积为，A正确.当点与点重合时，三棱锥的体积为，B正确.连接，因为，所以三棱锥的表面积为，设三棱锥内切球的半径为，则，解得，C错误.五棱锥的体积，则，令，得；令，得.所以，D正确.故选：ABD15.（2023春·广东省茂名市高三二模）如图所示，正三棱锥，底面边长为2，点Р到平面ABC距离为2，点M在平面PAC内，且点M到平面ABC的距离是点P到平面ABC距离的，过点M作一个平面，使其平行于直线PB和AC，则这个平面与三棱锥表面交线的总长为（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】过点P作底面的垂线于点O，过B作AC的垂线于H.过点M作平面平行和AC交三棱锥与平面.求出各边边长，及可求出.【详解】因为三棱锥为正三棱锥，所有三角形为等边三角形并且边长为2，即.又因为为正三棱锥，因此过点P作底面的垂线于点O，则点O为三角形的中心.过B作AC的垂线于H.由三角形为等边三角形，因此，在直角三角形中，.又因为，在直角三角形中，，故.因为三棱锥为正三棱锥，因此均为等腰三角形.又M到平面距离为点P到平面距离的，因此M为的三等分点（靠近P），过点M作交于，交于.过点作交于，过点作交于，连接.所以，则四点共面.因为，面，面所以面.所以面即为过点M且平行于直线PB和AC的平面.利用三角形相似可得：,.这个平面与三棱锥表面交线的总长为.故选：B16.（2023春·广东省茂名市高三二模）（多选）如图所示，有一个棱长为4的正四面体容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是（）A.若E是CD的中点，则直线AE与PB所成角为B.的周长最小值为C.如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为D.如果在这个容器中放入10个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】A选项：连接AD.证明出，即可求出直线AE与PB所成角为；B选项，把沿着CD展开与面BDC同一个平面内，利用余弦定理求出，即可判断；C选项，判断出小球是正四面体的内切球，设半径为r.利用等体积法求解；D选项，判断出要使小球半径要最大，则外层小球与四个面相切，设小球半径为，利用几何关系求出.【详解】A选项：连接AD.在正四面体中，D是PB的中点，所以.因为平面，平面，,所以直线平面.因为平面.所以，所以直线AE与PB所成角为.故A选项正确；B选项，把沿着CD展开与面BDC同一个平面内，由，，所以，所以，所以的周长最小值为不正确.故B选项错误；C选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，设半径为r.由等体积法可得：，所以半径.故C选项正确；D选项，10个小球分三层（1个，3个，6个）放进去，要使小球半径要最大，则外层小球与四个面相切，设小球半径为，四个角小球球心连线是棱长为的正四面体，其高为，由正四面体内切球的半径是高的得，如图正四面体，则，正四面体高为，得.故D选项正确.故选：ACD17.（2023春·广东省汕头市高三二模）（多选）已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为，设圆台的体积为V，则下列选项中说法正确的是（）A.当时，B.V存在最大值C.当r在区间内变化时，V逐渐减小D.当r在区间内变化时，V先增大后减小【答案】BD【解析】【分析】通过题意得到圆台体积V关于外接球半径r的函数，容易判断A；利用导数探讨该函数的单调性和最值，可以判断B,C,D.【详解】设圆台的上底面的圆心为，下底面的圆心为，点为上底面圆周上任意一点，圆台的高为，球的半径为，如图所示，则，对选项不正确；，设，则，令可得，解得，知，且当；2)，在单调递增，在单调递减，由，，使得，当，即当，即，所以在单调递增，在单调递减，则B，D正确，C错误，故选：BD.18.（2023秋·广东省惠州市高三模拟）（多选）如图，正方体的棱长为2，点是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则下列结论正确的是（）A.存在点，使得二面角大小为B.存在点，使得平面与平面平行C.当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为D.当为中点时，四棱锥外接球的体积为【答案】BC【解析】【分析】由题意，证得，得到二面角的平面角，可得判定A错误；利用线面平行的判定定理分别证得平面，平面，结合面面平行的判定定理，证得平面平面，可判定B正确；取中点，证得，得到，得到点在侧面内运动轨迹是以为圆心、半径为2的劣弧，可判定C正确；当为中点时，连接与交于点，求得，得到四棱锥外接球的球心为，进而可判定D错误.【详解】在正方体中，可得平面，因为平面，平面，所以，所以二面角的平面角为，其中，所以A错误；如图所示，当M为中点，为中点时，在正方体中，可得，因为平面，且平面，所以平面，又因为，且平面，且平面，所以平面，因为，且平面，所以平面平面，所以B正确；如图所示，取中点，连接，，，在正方体中，平面，且，所以平面，因为平面，可得，则，则点在侧面内运动轨迹是以为圆心、半径为2的劣弧，分别交，于，，如图所示，则，则，劣弧的长为，所以C正确当为中点时，可得为等腰直角三角形，且平面平面，连接与交于点，可得，所以四棱锥外接球球心即为与的交点，所以四棱锥外接球的半径为，其外接球的体积为，所以D错误.故选：BC.19.（2023秋·广东省梅州市高三模拟）（多选）已知同底面的两个正三棱锥和均内接于球O，且正三棱锥的侧面与底面所成角的大小为，则下列说法正确的是（）.A.平面QBCB.设三棱锥和的体积分别为和，则C.平面ABC截球O所得的截面面积是球O表面积的倍D.二面角的正切值为【答案】BCD【解析】【分析】由题可得PQ为球O直径，设P到底面的距离为h，球的半径为R，结合条件可得，可得，然后逐项分析即得.【详解】∵同底面的两个正三棱锥和均内接于球O，∴PQ为球O的直径，取AB的中点M，连接PM、QM，则PM⊥AB，CM⊥AB，QM⊥AB，∴∠PMC为侧面PAB与底面ABC所成二面角的平面角，∠QMC为侧面QAB与底面ABC所成二面角的平面角，又正三棱锥的侧面与底面所成角的大小为，设底面的中心为N，P到底面的距离为h，球的半径为R，则PN=h，OP=R，ON=R－h，MN=h，CN=2h，∴，∴，QN=4h，PN=h，∴P、C、Q、M四点共面，又CN=2MN，QN=4h，PN=h，∴PA与QM不平行，故PA与平面QBC不平行，故A错误；由QN=4PN，可得，故B正确；∵平面ABC截球O所得的截面面积为，球O表面积为，∴平面ABC截球O所得的截面面积是球O表面积的倍，故C正确；∵，∴，，∴，即二面角的正切值为，故D正确.故选：BCD.20.（2023秋·广东省中山市模拟）（多选）如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是，则（）A.这两个球体的半径之和的最大值为B.这两个球体的半径之和的最大值为C.这两个球体的表面积之和的最大值为D.这两个球体的表面积之和的最大值为【答案】BC【解析】【分析】根据题意作出截面图，通过几何关系结合导数研究函数的单调性从而研究两个球体的半径的最值，然后将两个球体的表面积之和表示成，结合二次函数的单调性求得最大值；【详解】当这两个球体的表面积之和取最大值时，有一个球体和圆锥的底面相切，过底面圆的直径作截面，如图所示，过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为.设圆的半径为，圆的半径为r，的最大值为，且取最大值时，，所以，，，，.因为，所以①，整理得，解得.令函数，，.令函数，，所以是增函数.又因为，，所以，，所以，，，，即，，，，所以在上单调递减，在上单调递增.因为，所以，即这两个球体的半径之和的最大值为.由①可得，这两个球体的表面积之和为.令，函数上单调递增，所以，即这两个球体的表面积之和的最大值为.故选：BC.21.（2023春·广东省梅州市高三二模）半径为2的半圆卷成一个圆锥，则该圆锥的体积为______【答案】【解析】【分析】有圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的木现场，求出圆锥的底面半径和高，由圆锥的体积公式求解即可.【详解】解：由题意得：半径为的半圆弧的周长为圆周的底面周长为：扇形围成的底面圆周的半径为，母线长为2，故圆锥的体积为：故答案为：22.（2023春·广东省韶关市高三二模）将一个圆心角为、面积为的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为______.【答案】【解析】【分析】求出圆锥底面圆半径及母线长，再利用圆锥及内切球的轴截面求出球半径作答.【详解】设圆锥底面圆半径为，母线长为，依题意，，解得，圆锥内半径最大的球为圆锥的内切球，圆锥与其内切球的轴截面，如图中等腰及内切圆，，点为边的中点，，因此的面积，设的内切圆半径为，则有，解得，此球的表面积为，所以圆锥内半径最大的球的表面积为.故答案为：23.（2023秋·广东省肇庆市模拟）已知某正三棱柱既有内切球又有外接球，外接球的表面积为，则该三棱柱的体积为__________.【答案】【解析】【分析】设底面三角形的内切圆的半径，可知正三棱柱的高，外接球的半径，结合球的表面积可得，进而可求正三棱柱的体积.【详解】设底面三角形的内切圆的半径，则其外接圆半径为，底面边长为，若正三棱柱有内切球，则正三棱柱的高，则正三棱柱的外接球的半径，