高一数学人教B版必修4课时作业2-3-2向量数量积的运算律

课时作业22向量数量积的运算律(限时：10分钟)1．已知|a|＝2，b是单位向量，且a与b夹角为60°，则a·(a－b)等于()A．1B．2－eq\r(3)C．3D．4－eq\r(3)解析：a·(a－b)＝a2－a·b＝4－2×1×cos60°＝3，选C.答案：C2．已知向量a，b满足a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－bA．0B．2eq\r(2)C．4D．8解析：|2a－b|＝eq\r(2a－b2)＝eq\r(4a2＋b2)＝2eq\r(2)，选B.答案：B3．已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．解析：∵(a＋2b)·(a－b)＝－2，∴a2＋a·b－2b2＝－2，∴4＋a·b－8＝－2，a·b＝2，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).又∵0≤〈a，b〉≤π，∴〈a，b〉＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)4．已知在△ABC中，|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝3，|eq\o(BC,\s\up8(→))|＝8，∠ABC＝60°，则|eq\o(AC,\s\up8(→))|＝________.解析：∵eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\o(BA,\s\up8(→))，∴|eq\o(AC,\s\up8(→))|2＝(eq\o(BC,\s\up8(→))－eq\o(BA,\s\up8(→)))2＝|eq\o(BC,\s\up8(→))|2＋|eq\o(BA,\s\up8(→))|2－2eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(BA,\s\up8(→))＝82＋32－2×8×3×cos60°＝49，∴|eq\o(AC,\s\up8(→))|＝7.答案：75．已知|a|＝4，|b|＝5，|a＋b|＝eq\r(21)，求：(1)a·b.(2)(2a－b)·(a＋3b解析：(1)因为|a＋b|＝eq\r(21)，所以21＝a2＋b2＋2a·b.又|a|＝4，|b|＝5，所以a·b＝eq\f(21－16－25,2)＝－10.(2)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2－3b2＋5a·b＝2×42－3×52＋5(限时：30分钟)1．若|a|＝6eq\r(3)，|b|＝1，a·b＝－9，则a与b的夹角是()A．120°B．150°C．60°D．30°解析：设a与b的夹角为θ，a·b＝|a||b|cosθ＝6eq\r(3)×1×cosθ＝－9⇒cosθ＝－eq\f(\r(3),2)⇒θ＝150°.答案：B2．已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是()A．a∥bB．a⊥bC．|a|＝|b|D．a＋b＝a－b解析：|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，因为|a＋b|＝|a－b所以|a|2＋2a·b＋|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|即2a·b＝－2a·b，所以a·b＝0，a⊥答案：B3．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()A．2B．4C．6D．12解析：a·b＝|a|×4cos60°＝2|a|，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，即|a|2－a·b－6|b|2＝－72，故|a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6.答案：C4．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝()A.eq\r(7)B.eq\r(10)C.eq\r(13)D．4解析：∵|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋9b2＋6a·b＝1＋9＋6|a||b|cos60°＝13，∴|a＋3b|＝eq\r(13).答案：C5．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足eq\o(AP,\s\up8(→))＝2eq\o(PM,\s\up8(→))，则eq\o(AP,\s\up8(→))·(eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→)))等于()A.eq\f(4,9)B.eq\f(4,3)C．－eq\f(4,3)D．－eq\f(4,9)解析：∵AM＝1，且eq\o(AP,\s\up8(→))＝2eq\o(PM,\s\up8(→))，∴|eq\o(AP,\s\up8(→))|＝eq\f(2,3).如图，eq\o(AP,\s\up8(→))·(eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→)))＝eq\o(AP,\s\up8(→))·2eq\o(PM,\s\up8(→))＝eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\o(AP,\s\up8(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(4,9).答案：A6．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则kA．－6B．6解析：∵c·d＝0，∴(2a＋3b)·(ka－4b∴2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，∴2k＝12，∴k答案：B7．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝__________.解析：因为|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝12－2×1×2cos60°＋22＝3，故|a－b|＝eq\r(3).答案：eq\r(3)8．等腰直角三角形ABC中，|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝|eq\o(AC,\s\up8(→))|＝2，则eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝__________.解析：eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝|eq\o(AB,\s\up8(→))||eq\o(BC,\s\up8(→))|cos135°＝2×2eq\r(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝－4.答案：－49．已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为__________．解析：∵(a＋2b)·(a－b)＝－6，∴a2＋a·b－2b2＝－6.∴1＋a·b－2×4＝－6.∴a·b＝1.∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(1,1×2)＝eq\f(1,2).∴〈a，b〉＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)10．已知a，b是两个非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取得最小值时，(1)求t的值(用a，b表示)；(2)求证：b与a＋tb垂直．解析：(1)|a＋tb|2＝a2＋t2b2＋2ta·b＝b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(a·b,b2)))2＋a2－eq\f(a·b2,b2).当t＝－eq\f(a·b,b2)时，|a＋tb|取最小值．(2)因为：(a＋tb)·b＝a·b＋tb2＝a·b－eq\f(a·b,b2)×b2＝0，所以a＋tb与b垂直．11．已知|a|＝1，a·b＝eq\f(1,2)，(a－b)·(a＋b)＝eq\f(1,2).(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|.解析：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝eq\f(1,2)，|a|＝1，∴b2＝a2－eq\f(1,2)＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，∴|b|＝eq\f(\r(2),2).∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\f(1,2),1×\f(\r(2),2))＝eq\f(\r(2),2).又θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(π,4)，故a与b的夹角为eq\f(π,4).(2)|a＋b|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\f(\r(10),2).12．已知a，b均是非零向量，设a与b的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a＋b|＝eq\r(3)|a－b|成立？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．解析：假设存在满足条件的θ，∵|a＋b|＝eq\r(3)|a－b|，∴(a＋b)2＝3(a－b)2.∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝3(|a|2－2a·b＋|b|∴|a|2－4a·b＋|b|2∴|a|2－4|a||b|cosθ＋|b|2＝0.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosθ＞0，,