广东省汕头市澄海区2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题（含答案解析）

2023-2024学年度第一学期期末质量监测高一级数学科试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上.2.答选择题时，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.3.答非选择题时，必须用黑色签字笔或钢笔，将答案写在答题卡上规定的位置上.4.考试结束后，监考人将答题卡收回，试卷考生自己保管.第一部分(选择题，共60分)一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简集合B，根据交集运算求解.【详解】由，，所以.故选：B2.已知命题，，则命题的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】“任一个都成立”的否定为“存在一个不成立”.【详解】“任一个都成立”的否定为“存在一个不成立”.故命题的否定为：，.故选：B.3.的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式及特殊角的三角函数值求解【详解】.故选：C4.为了得到函数的图象，可以将函数的图象A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【答案】D【解析】【详解】，据此可知，为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度.本题选择D选项.5.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】判断函数的单调性，再利用零点存在定理即可判断答案.【详解】由于在其定义域上都为增函数，故函数在上为增函数，又，故在内有唯一零点，故选：B6.已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（）A.－1 B.－1或3 C.3 D.2【答案】C【解析】【分析】根据幂函数的定义和性质，列出相应的方程，即可求得答案.【详解】由题意知：，即，解得或，∴当时，，则在上单调递减，不合题意;当时，，则在上单调递增，符合题意,∴,故选：C7.函数的最小值是（）A. B. C. D.-2【答案】B【解析】【分析】由同角三角函数基本关系转化为余弦函数，配方后求最小值.【详解】因为，所以当时，，故选：B8.已知函数，若(其中，则的最小值（）A. B. C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】根据对数函数的性质及对数的运算可得，利用均值不等式求最值即可.【详解】因为，所以由可得，化简可得，即，因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立.故选：C二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9.已知，则（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由，则，，，从而可判断A，D；令，从而可判断B；结合在R上单调递增，从而可判断C．【详解】对于A，由，则，，所以成立，故A正确；对于B，由，令，，则，所以不成立，故B错误；对于C，由，且在R上单调递增，所以成立，故C正确；对于D，由，则，所以成立，故D正确．故选：ACD．10.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】A选项不满足单调性；D不满足奇偶性，B、C选项均为偶函数且在上单调递减正确.【详解】在上单调递增，A选项错误；，故为偶函数，当时为单调递减函数，B选项正确；，故为偶函数，当时为单调递减函数，C选项正确；是奇函数，D选项错误.故选：BC11.已知α为锐角，且则下列选项中正确的有（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】由同角的三角函数基本关系逐项分析即可得解.【详解】因为，所以，而α为锐角，所以，故A错误；由，两边平方可得，故C正确；因为α为锐角，所以，故D正确；由，故B错误.故选：CD12.若是关于的不等式成立的必要条件，则的值可以是（）A.1 B.0 C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据题意可转化为二次不等式的解集为的子集，据此列出不等式求解.【详解】由可得，由可得，因为是关于的不等式成立的必要条件，所以二次不等式的解为集合的子集，所以即可，解得，故选：BCD第二部分(非选择题，共90分)三、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷相应横线上.13.已知函数，则________．【答案】7【解析】【分析】根据的解析式求得正确答案.【详解】.故答案为：14.若扇形的圆心角为弧度，弧长为，则这个扇形的面积是_______．【答案】【解析】【详解】试题分析：设扇形的半径为，则所以扇形的面积是，所以答案应填：．考点：1、扇形弧长公式；2、扇形面积公式．15.当时，使成立的取值范围为___________【答案】【解析】【分析】分类讨论，根据正切函数的单调性及正切函数在各象限的符号求解.【详解】当时，由单调递增且可知，，当时，由知，满足，综上，.故答案为：16.已知若存在使得，则m的范围是___________【答案】【解析】【分析】根据二次函数及对数函数的图象，作出分段函数的图象，由图象可得满足的条件.【详解】作出函数图象，如图，因为存在使得，所以，即.故答案为：四、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，17.已知角的终边经过点，且（1）求m值，并求;（2）求的值【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义求解；（2）根据诱导公式、同角三角函数的基本关系化简求值即可.【小问1详解】因为角的终边经过点，所以，解得.所以，.【小问2详解】.18.已知集合.（1）求集合；（2）若集合，且，求实数a的取值范围.【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）解不等式求得集合,再根据并集的运算可求得.（2）根据集合与集合的关系,可得关于a的不等式组,解不等式组即可求得参数a的取值范围.【小问1详解】等价于，解得，故集合.等价于，解得，故集合.所以.【小问2详解】由（1）可得集合，集合，所以.于是，由，且得，解得，即实数a的取值范围是.19.已知函数的最小正周期为．（1）求的单调递增区间；（2）当时，求的值域．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据函数的周期求出的值，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）由的取值范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得；【小问1详解】解：∵的最小正周期为，∴，∴，∵，∴，∴，令，，得，，，，所以的单调递增区间为，．【小问2详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴的值域为．20.已知函数.（1）当时，求函数的定义域;（2）判断函数的单调性，并用单调性的定义证明你的结论.【答案】（1）.（2）增函数.见解析【解析】【分析】（1）根据解析式的限制条件，列出不等式，转化为求指数不等式，即可求解；（2）根据函数单调性定义，即可证明结论.【详解】解：（1）当时，函数，要使根式有意义，只需，所以，化简得，解得，所以函数的定义域为.（2）函数在定义域上为增函数.证明：在上任取，且，则，由，可知，则，又因为，，所以，即.所以在定义域上为增函数.【点睛】本题考查函数的定义域和单调性，考查指数不等式，属于中档题.21.已知关于x的不等式的解集为或.（1）求a，b的值;（2）当，且满足时，有恒成立，求k的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法可得1和a是方程的两个实数根且，从而利用韦达定理建立方程组即可求解；（2）由均值不等式中“1”的灵活运用可得，从而解一元二次不等式即可得答案.【小问1详解】因为不等式的解集为或（），所以1和a是方程两个实数根且，所以，解得；【小问2详解】由（1）知，且，，所以，当且仅当，即时等号成立，依题意有，即，所以，解得，所以k的取值范围为.22.我国十四五规划和2035年远景目标明确提出，要“增进民生福祉，不断实现人民对美好生活的向往”.大众旅游时代已经来临，旅游不再是一种奢侈品，已逐渐成为现代人的幸福必品；也不再是传统的走马观花式的“到此一游”，而逐渐转变为一种旅居度假的“生活方式”，“微度假”已成为适合后疫情时代旅游休闲的一种主流模式.如图，某度假村拟在道路的一侧修建一条趣味滑行赛道，赛道的前一部分为曲线ABM，当时，该曲线为二次函数图象的一部分，其中顶点为，且过点；赛道的后一部分为曲线，当时，该曲线为函数（，且）图象的一部分，其中点．（1）求函数关系式;（2）已知函数，求函数的最小值.【答案