陕西省商洛市2024届高三上学期尖子生学情诊断考试数学试题（文）（解析版）

PAGEPAGE1陕西省商洛市2024届高三上学期尖子生学情诊断考试数学试题（文）一､选择题1.已知集合，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，所以.故选：B.2.已知复数，则的虚部为（）A. B. C.1 D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，则的虚部为.故选：D.3.如图所示方格纸上的图形为某几何体的三视图（其中小方格边长为1），则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗易知三视图所表示的为四棱锥（如图所示），且底面是边长为2的正方形，一条侧棱与底面垂直，且，易求，，所以该几何体的表面积为.故选：A.4.如图，在中，满足条件，若，则（）A.8 B.4 C.2 D.〖答案〗A〖解析〗因为，,所以，即，又，所以，故.故选：A.5.已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（）．A.13 B.12 C.10 D.8〖答案〗A〖解析〗，故,记抛物线的准线为，则：，记点到的距离为，点到的距离为，则.故选：A.6.已知等比数列的前项和，则（）A.3 B.9 C. D.〖答案〗D〖解析〗当时，；当时，，又是等比数列，所以，解得.故选：D.7.设某批产品的产量为（单位：万件），总成本（单位：万元），销售单价（单位：元/件）．若该批产品全部售出，则总利润（总利润销售收入-总成本）最大时的产量为（）A.7万件 B.8万件 C.9万件 D.10万件〖答案〗B〖解析〗总利润，当且仅当，即时，最大，故总利润最大时的产量为8万件．故选：B．8.已知双曲线的一条渐近线为为右支上任意一点，且到的距离为，到左焦点的距离为，则的最小值为（）A.4 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题可知，，不妨设渐近线，设点到右焦点的距离为，由双曲线定义得，故故，如图，过点作⊥于点，交双曲线右支于点，即当三点共线时，最小，最小值为，故.故选：B.9.已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意两个实数，不等式恒成立，则不等式的解集是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由任意两个实数，不等式恒成立，函数在上单调递增．又函数是定义在上的奇函数，得，所以不等式化为，解得，所以不等式的解集为．故选：A．10.已知函数的图象与的图象关于轴对称，若将的图象向左至少平移个单位长度后可得到的图象，则（）A.的图象关于原点对称B.C.在上单调递增D.的图象关于点对称〖答案〗B〖解析〗由题意，可设，，因为与的图象关于轴对称，所以，则，解得，由于，，故的最小值为，因为的图象向左至少平移个单位长度后可得到的图象，所以，解得，则.对于A，因为的定义域为，而，所以不是奇函数，图象不关于原点对称，错误；对于B，，B正确；对于C，由，得，又在上不单调，C错误；对于D，，故不是图象的对称中心，D错误.故选：B.11.暑假期间，同学们参加了几何模型的制作比赛，大家的作品在展览中获得了一致好评．其中甲的作品是在球当中放置了一个圆锥，于是就产生了这样一个有趣的问题：已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，若圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球O的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，设圆锥的母线长为l，所以，解得．设圆锥的底面圆半径为r，所以，解得，所以圆锥的高，设球O的半径为R，所以，解得，所以球O的表面积等于．故选:B．12.设，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗设，设0，所以，所以函数在上单调递增，所以，即.根据已知得，可设，则，所以函数在上单调递增，所以，即.综上，.故选：D.二､填空题13.在等差数列中，首项，公差，若，则等于__________.〖答案〗34〖解析〗因为，由题知，即，所以.故〖答案〗为：3414.若，则__________.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：.15.月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见.某学习小组通过单光源实验来演示月球背面.由光源点射出的两条光线与分别相切于点、，称两射线、上切点上方部分的射线与优弧上方所夹的平面区域(含边界)为圆的“背面”.若以点为圆心，为半径的圆处于的“背面”，则的最大值为__________.〖答案〗〖解析〗如图设过点的切线方程为，所以，解得，所以直线的方程为，即，令，解得，直线的方程为，即，令，解得，因为圆处于圆的“背面”，所以，当圆与圆外切且圆与（或）相切时，取最大值，由圆与圆外切得，圆与相切时，又，所以，所以，即，解得或，结合，所以，所以的最大值为，同理圆与相切时的最大值为，综上可得的最大值为.故〖答案〗为：16.如图，已知椭圆的离心率为，左顶点是，左､右焦点分别是是在第一象限内的一点，直线与的另一个交点为.若，则直线的斜率__________.〖答案〗〖解析〗因为椭圆的离心率为，则，，又因为，即，则，则.设，则，所以.由解得所以.故〖答案〗为：三､解答题（一）必考题17.某运动产品公司生产了一款足球,按行业标准这款足球产品可分为一级正品､二级正品､次品共三个等级.根据该公司测算：生产出一个一级正品可获利100元，一个二级正品可获利50元，一个次品亏损80元.该运动产品公司试生产这款足球产品2000个，并统计了这些产品的等级，如下表：等级一级正品二级正品次品频数1000800200（1）求这2000个产品的平均利润是多少；（2）该运动产品公司为了解人们对这款足球产品的满意度，随机调查了100名男性和100名女性，每位对这款足球产品给出满意或不满意的评价，得到下面的列联表：满意不满意总计男性3268100女性6139100总计93107200问：能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为男性和女性对这款足球产品的评价有差异？附：，其中.0100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）依题意可得平均利润为（元）.（2）假设：男性和女性对这款足球产品的评价无差异，依题意可得，所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为男性和女性对这款足球产品的评价有差异.18.如图，在平面四边形中，.（1）求；（2）求.（1）解：直角中，由勾股定理得，在直角中，由勾股定理得，因为，所以，所以，所以，在中，由余弦定理得.（2）解：如图所示，过点作，垂足为，因为，且，在直角中，可得，则，所以是正三角形，所以，在中，由正弦定理得，即，解得.19.如图，在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，是的中点.（1）证明：；（2）若，求点到平面的距离.（1）证明：菱形中，，所以为等边三角形，是的中点，所以，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，因为平面，所以.（2）解：连结交于，则为的中点，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，设为.因为为中点，，所以.因为平面平面，平面平面平面，所以平面.因为平面，所以，因为，所以，在中，易知，所以.取中点，连接，则，因为，则，即，所以在中，由，可得，在中，，所以，又，由得，所以.即点到平面的距离为.20.已知椭圆的离心率是双曲线的离心率的倒数，椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，且.（1）求椭圆的方程；（2）当过点的动直线与椭圆相交于两个不同点时，设，求的取值范围.解：（1）设点的坐标分别为，又点的坐标为，且，所以，解得，所以椭圆的方程为.（2）设，则依据得，整理得，又，故，得，即，当时，此时，即重合，显然不成立，所以，所以，即，又，得，又，故，且，故实数的取值范围为.21.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若的两个极值点分别为，，证明：．（1）解：依题意，，当时，，所以在上单调递减；当时，令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，，所以在上单调递增．（2）证明：不妨设，由（1）知，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以是的极大值点，是的极小值点，所以，所以．由（1）知，，，则．要证，只需证．因为，设，．所以，所以在上单调递增，所以．所以，即得成立．所以原不等式成立．（二）选考题选修：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为参数，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（2）已知曲线交于两点，求线段的长．解：（1）由题意，因为曲线的参数方程为（为参数），所以曲线的普通方程为；因为曲线的极坐标方程为，所以，即又，所以曲线的直角坐标方程为．（2）由题意及（1）得，曲线是以为圆心，1为半径的圆，为直线，且圆心到直线的距离，所以圆与直线相交，所以．