四川省成都市2024届高三一模数学试题（文）（解析版）

PAGEPAGE1四川省成都市2024届高三一模数学试题（文）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题1.已知函数，则（）A. B.0 C.1 D.2〖答案〗B〖解析〗由于函数，所以，则.故选：B.2.普法知识宣传小组打算从某小区的2000人中抽取25人进行法律知识培训，拟采取系统抽样方式，为此将他们一一编号为，并对编号由小到大进行分段，假设从第一个号码段中随机抽出的号码是2，那么从第三个号码段中抽出的号码为（）A.52 B.82 C.162 D.252〖答案〗C〖解析〗采取系统抽样方式，从2000人中抽取25人，那么分段间隔为，第一个号码是2，那么第三个号码段中抽出的号码是．故选：C.3.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（）A. B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗∵，∴的虚部为-1，故选：A.4.若数列满足，则（）A.6 B.14 C.22 D.37〖答案〗D〖解析〗∵，∴，，，∴.故选：D.5.已知向量，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以.故选：C.6.若实数满足，则的最小值为（）A.0 B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗作出不等式表示的平面区域如图：令，则，即当直线在轴上截距最小时，取最小，即过点时，取最小值.故选：B.7.已知函数的大致图象如图所示，则的〖解析〗式可以为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗对于A，当时，，无意义，故A错误；对于B，，，则是奇函数，当时，，则；对于C，当时，，则，故C错误；对于D，，则，则是偶函数，故D错误，综上，B正确.故选：B.8.已知平面，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗因为，，所以由面面平行的性质定理可得，则充分性成立；因为，可知，所以，则，又，则，当时，由线面平行的性质定理可知，则必要性不成立；综上所述，是的充分不必要条件.故选：A.9.若，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗易知，构造函数，则；令，解得，当时，，当时，；可得在上单调递减，在上单调递增；又易知，所以，即.故选：C.10.已知，且，则（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题设，所以，且，故，即，所以.故选：B.11.若恒成立，则实数的最大值为（）A. B.2 C.1 D.〖答案〗D〖解析〗当时，，不等式成立；当时，恒成立，即，令，则，因为时，（后证）所以当时，，单调递减，当时，，单调递减，故，所以，即实数的最大值为.证明当时，，令，，则，则在上单调递增，所以，即.故选：D.12.已知圆经过椭圆的两个焦点，圆和椭圆在第二象限的交点为，则椭圆的离心率为（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗对于圆，即，圆心为，半径为当时，，当时，，即如图点即椭圆的两个焦点为，即，又圆和椭圆在第二象限的交点为，由圆周角的性质可得，则又由得，又得，解得，所以离心率.故选：C.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题13.已知集合，则__________．〖答案〗〖解析〗，，则.故〖答案〗为：.14.曲线在点处的切线方程为________．〖答案〗〖解析〗因为，所以所求切线的斜率，而，故所求的切线方程为，即.故〖答案〗：.15.记为公差不为零的等差数列的前n项和.若，且，，成等比数列，则的值为________.〖答案〗2022〖解析〗因为数列为等差数列，则，可得，设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，则，即，解得或（舍去），所以.故〖答案〗为：2022.16.已知侧面积为的圆锥内接于球O，若圆锥的母线与底面所成角的正切值为，则球O的表面积为________.〖答案〗〖解析〗设底面半径为，因为圆锥的母线与底面所成角的正切值为，则圆锥的高为，母线为，则其侧面积为，解得，作出圆锥的轴截面，如下图所示：则球的半径为，解得则球O的表面积为.故〖答案〗为：.三、解答题17.如图，正四棱柱中，M为的中点，，.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.（1）证明：如图，连接.正四棱柱中，M为的中点，，，，，，又，.，.同理可得.，平面，平面，平面.（2）解：由（1）知，，且平面..三棱锥的体积为4.18.某校高中阶段实行体育模块化课程教学，在高一年级开设了篮球和羽毛球两个模块课程，从该校高一年级随机抽取的100名男生和100名女生中，统计出参加上述课程的情况如下：男生女生总计参加篮球模块课程人数602080参加羽毛球模块课程人数4080120总计100100200（1）根据上述列联表，是否有99.9%的把握认为该校高一年级体育模块化课程的选择与性别有关；（2）根据抽取的200名学生的模块化课程成绩，每个模块课程的前3名获得参加体育模块化教学推广大使的评选资格，若在有评选资格的6名学生中随机选出2人作为体育模块化课程教学的推广大使，求这2人来自不同模块化课程的概率.附：0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828解：（1）由列联表数据可得，.所以有99.9%的把握认为该校高一年级体育模块化课程的选择与性别有关.（2）设篮球模块课程的前3名为，，，羽毛球模块课程的前3名为，，.从这6人中随机选2人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共15个.其中选出的这2人来自不同模块化课程的基本事件有，，，，，，，，共9个.故所求概率为.19.已知函数.在锐角中，角A，B，C对边分别是a，b，c，且满足.（1）求A的值；（2）若，求的取值范围.解：（1）.由，即.为锐角三角形，，..（2）由正弦定理，.，.是锐角三角形，，且.，，，...综上，的取值范围为.20.在平面直角坐标系中，动点C到点的距离与到直线的距离相等.（1）求动点C的轨迹方程；（2）若直线与动点C的轨迹交于P，Q两点，当的面积为2时，求直线l的方程.解：（1）由题知，动点C的轨迹是以F为焦点，为准线的抛物线.动点C的轨迹方程为.（2）设，由消去x，得.由，得.，.由的面积，.，即.，或.直线l的方程为或或.21.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）求证：.（1）解：因为，所以，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以的单减区间为，单增区间为.（2）证明：设函数，则，，易得在上单调递增，且，所以当，，单调递减；当，，单调递增；所以，故，当且仅当时等号成立，即，当且仅当时等号成立，因为，所以，由于上述不等式取等条件不能同时成立，所以，得证.选修4—4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）当时，求直线的普通方程；（2）已知点，若直线交曲线于两点，且，求的值．解：（1）当时，求直线的参数方程为，化简得直线的普通方程.（2）因为曲线的极坐标方程为，所以.又因为，所以曲线的普通方程为.将直线的参数方程为（为参数，）代入，得，化简得，即.因为直线交曲线于两点，所以，即，又设两点对应的参数分别为，则.因为点在直线上，所以，即，又，所以或.选修4—5：