四川省德阳市2024届高三一模数学试题（理）（解析版）

PAGEPAGE1四川省德阳市2024届高三一模数学试题（理）第I卷（选择题）一､选择题1.已知集合，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，因为，所以，故实数的取值范围是.故选：C2.设表示复数的点在复平面内关于实轴对称，且，下面关于复数的四个命题中正确的是（）A. B.C.的共轭复数为 D.的虚部为〖答案〗B〖解析〗由复数的点在复平面内关于实轴对称，且，则，则，，A错误；，B正确；的共轭复数为，C错误；的虚部为，D错误.故选：B.3.数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图.若将该大学的校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，且点在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是（）A. B.（0，－1） C. D.〖答案〗A〖解析〗依题意在抛物线上，所以，所以，故，且抛物线开口向下，所以抛物线的焦点坐标为.故选：A4.已知为共面三个单位向量，且，则的取值范围是（）A.[－3，3] B.[－2，2]C. D.〖答案〗D〖解析〗由得，为共面的三个单位向量,则，则由，则的取值范围是.故选：D.5.某几何体三视图如图所示，其中俯视图右侧曲线为半圆弧，则几何体的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗几何体可看作半圆柱去掉底面为等腰直角三角形三棱柱，其中半圆柱的体积为，三棱柱的体积为，故几何体的体积为.故选：A.6.某班主任为了了解该班学生暑假期间去图书馆的情况,随机抽取该班15名学生,调查得到这15名学生暑假期间去图书馆的次数分别为（其中有一位学生的数据丢失记为），则下列结论中正确的个数是①这组数据的中位数可能是19；②这组数据的众数可能是18；③的值可以通过中位数的值确定；④的值可以通过全部数据的平均数确定.（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个〖答案〗B〖解析〗由题意，若，将这组数据按从小到大的顺序排列：，则中位数是19,①正确；和，众数都是，②错误，中位数是19时，，不确定，③错误；平均值，则与一一对应，即平均数确定则对应确定，④正确.故选：B.7.小明同学过生日时，他和好朋友小天一起分享一个质地均匀但形状不规则的蛋糕，他们商量决定用刀把蛋糕平均分成两份（蛋糕厚度不计），你认为下面的判断中正确的是（）A.无论从哪个位置（某个点）切一刀都可以平均分成两份B.只能从某个位置（某个点）切一刀才可以平均分成两份C.无论从哪个位置（某个点）切一刀都不可以平均分成两份D.至少要切两刀才可以平均分成两份〖答案〗A〖解析〗如图，在形状不规则的蛋糕上任取一点，则这一刀可转化为点的任意一条直线，过点的直线将图像分为两部分，其面积为，将直线以以为旋转中心，以轴正方向的夹角记为，，得连续函数，作辅助函数，则为连续函数，设，则，根据零点定理，存在一点，使得，即，即过点作直线，使之以轴正方向的夹角为，改直线即为所求；即无论从哪个位置（某个点）切一刀都可以平均分成两份.故选：A8.是神经网络中重要的激活函数，又称Sigmoid函数.则下列对该函数图象和情质的描述中正确的是（）A.的值域是B.的图象不是中心对称图形C.在上不单调D.（其中是的导函数〖答案〗D〖解析〗由函数，定义域为，，，则，A错误；因为，所以，所以Sigmoid雨数的图象的对称中心为，B错误；求导得：，，，则Sigmoid函数是单调增函数，C错误；，D正确.故选：D9.已知函数，设甲：函数在区间上单调递增，乙：的取值范围是，则甲是乙的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗甲：在区间上单调递增，令，则，∴，，即，，又，故只能取，∴．又∵乙：的取值范围是，∴甲是乙的必要不充分条件．故选：B．10.德阳某高校为迎接2023年世界新能源大会，决定选派一批志愿者参与志愿服务，计划首批次先选派1名志愿者，然后每批次增加1人，后因学生报名积极，学校决定改变派遣计划，若将原计划派遣的各批次人数看成数列，保持数列中各项先后顺序不变的情况下，在与之间插入，使它们和原数列的项依次构成一个新的数列，若按照新数列的各项依次派遣学生，则前20批次共派遣学生的人数为（）A.2091 B.2101 C.2110 D.2112〖答案〗B〖解析〗由题意得，当时，，当时，，故，，故前20批次共派遣学生的人数为.故选：B.11.已知点在曲线上，那么的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗可看作到直线的距离，可看作到点的距离，如图所示，联立与得，，则，此时，解得，故，故与相切于点，此时取得最小值，最小值为0，当不与重合时，过点作⊥于点，则，数形结合可知，当运动至时，，此时取得最大值，最大值为，故的取值范围是.故选：D12.已知函数的定义域为且，，那么（）A.为偶函数 B.C.是函数的极大值点 D.的最小值为〖答案〗D〖解析〗令，得，即，①令，结合，则，②结合①②可得，用代替得，，③对于中，取得，把变为，结合，得，④联立③④，可得,对于A，，故A错误；对于B，,故B错误；对于C,，故C错误；对于D,易得最小值为，故D正确，故选：D.第II卷（非选择题）二､填空题13.若展开式中的系数为20，则__________.（用数字作答）〖答案〗〖解析〗由二项式，可得展开式的通项为，令，可得，所以展开式中的系数为，解得.故〖答案〗为：.14.已知不等式组表示的平面区域为M，若直线分平面区域M为面积相等的两部分，则实数的值为________．〖答案〗〖解析〗不等式组,所表示的平面区域如图示:

由图可知,直线恒经过点,当直线再经过BC的中点时,平面区域被直线分为面积相等的两部分,

当，时,代入直线的方程得，

故〖答案〗为.15.某科学兴趣小组的同学认为生物都是由蛋白质构成的，高温可以使蛋白质变性失活，于是想初步探究某微生物的成活率与温度的关系，微生物数量（个）与温度的部分数据如下表：温度481018微生物数量（个）30221814由表中数据算得回归方程为，预测当温度为时，微生物数量为__________个.〖答案〗9〖解析〗由表格数据可知，，，因为点在直线上，所以，即，故当时，，即预测当温度为时，微生物数量为9个.故〖答案〗为：916.已知实数成公差非零的等差数列,集合，，若，则的最大值为__________.〖答案〗〖解析〗成公差非零的等差数列，则，动直线变形为，令，解得，动直线过定点，直线的一个法向量为，若，则直线，点在以为直径的圆上，圆心为中点，半径，，则的最大值为.故〖答案〗为：三､解答题17.已知首项为的等比数列的前项和为，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的最大项.解：（1）由题意得，设公比为，若，此时，此时不满足；若，则，故，即，由于，故，解得或1（舍去），故；（2），故，所以，令，由对勾函数可知在上单调递减，故当时，取得最大值，最大值为，故.数列的最大项为18.在中，内角的对边分别为.若.（1）若，求边上的中线的长；（2）若是锐角三角形，求的取值范围.解：（1）在中，由于，所以，结合题意得，即故的三边长分别为，所以，在中，，故．（2）由题意知：且．要使是锐角三角形，只要．故，解得：，又，由，得，所以，故的取值范围是19.设函数.（1）求的单调区间；（2）设为极小值点，且，求的取值范围.解：（1）因，①当时，，在上递增；②当时，由可得：，则当时，，递增，当时，，递减，当时，，递增.综上，当时，在上递增；当时，的单调递增区间为：；单调递减区间为：.（2）由（1）知且.由得:，所以即，因为，故又，所以，故或(舍)，所以，故，令，上式为.因为知在上单增，故.即的取值范围为.20.2023年11月，世界首届人工智能峰会在英国举行，我国因为在该领域取得的巨大成就受邀进行大会发言.为了研究不同性别的学生对人工智能的了解情况，我市某著名高中进行了一次抽样调查，分别抽取男､女生各50人作为样本.设事件“了解人工智能”，“学生为男生”，据统计.（1）根据已知条件，填写下列列联表，是否有把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性别有关？

了解人工智能不了解人工智能合计男生

女生

合计

（2）将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，设其中了解人工智能的学生的人数为，求使得取得最大值时的值.附：0.1000.0500.0102.7063.8416.635解：（1）因为，所以了解人工智能的女生为，了解人工智能人数为，则了解人工智能的男生有人，结合男生和女生各有人，填写列联表为：

了解人工智能不了解人工智能合计男生401050女生302050合计7030100则，故没有把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性别有关.（2）由（1）知，了解人工智能的频率为，所以随机变量,则令，解得，又，所以，所以当时，取得最大值.21.已知函数.（1）若是函数的极值点，求；（2）函数恰有一个零点，求实数的取值范围.（1）解：由，可得，因为是函数的极值点，可得，解得，经检验，当时，符合题意，所以实数的值为.（2）解：令，即，即，因为函数恰有一个零点，即方程只有一个实数根，令，可得，①若时，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，当时，函数取得极小值，且极小值为，由时，可得，所以在有一个零点；又由时，可得，则，令，可得，设方程的两个根分别为，则，所以在上以一个根，即在有一个零点；综上，此时函数在上有两个零点，不符合题意；②当时，，令，即，解得，此时，函数在上有只有一个零点，符合题意；③若时，令，解得或，（i）若时，即时，此时当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以函数在上递增，在递减，在递增，此时，当时，函数取得极大值，极大值为；当时，函数取得极小值，极小值，因在递减，所以且当，可得，如图（1）所示，此时函数在上有只有一个零点，符合题意；（ii）若时，即时，此时，当时，，函数在上递增，且，当，可得，如图（2）所示，此时函数在上只有一个零点，符合题意；（iii）若时，即时，此时,当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以函数在上递增，在递减，在递增，且，且，当，可得，如图（3）所示，此时函数在上有只有一个零点，符合题意；综上可得，实数的取值范围为.请考生在22，23二题中任选一题作答.22.欧拉公式（为虚数单位，）可以表示平面直角坐标系内的动点，其轨迹是圆，所以又称其为神奇的欧拉转盘.若表示的动点为.（1）写出动点的轨迹的参数方程（为参数），并化为普通方程；（2）在以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线过，，求直线被截得的线段的长.解：（1）依题意可知，故的参数方程为，消去得其普通方程为