2022山西省晋中市庄子中学高二数学文月考试卷含解析

2022山西省晋中市庄子中学高二数学文月考试卷含解

析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P］（i=0LL8）是上

(i=L2LL8)

五•扇的不同值的个数为（)

A.1B.2C.4D.8

参考答案:

A

【分析】

建立适当的空间直角坐标系，利用坐标计算即可得到结果

【详解】m疝+Bii

则Ah•=山•（AhBPj）=|AB|2+前+晚

v±BPj

心•心『i

I

,■，山--W112……8）的不同值得个数为］

故选八

2.已知命题P：VxeR,sinxwi,则

A.-「：女€氏，5皿两三］B:仇wKsinx0>1

C.,sinxeiDsinx>1

参考答案:

B

略

3.在等比数列｛%＞中，若/+%=4,%+4=12,则%+%=（）

A.16B.28C.32D.108

参考答案：

D

略

4若（1—2x）6=&+/x+a/2+«/3+以4彳4+/五6,则

劭+«1+知+通+%+%+%等于（）

A.-1B.0C.1

D.2

参考答案：

C

略

2222

JJ12J

5.若椭圆4m2与双曲线in22有相同的焦点，则实数m为（）

A.1B.-1C.±1D.不确定

参考答案：

C

【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质.

【分析】先根据椭圆的方程求得焦点坐标，进而可知双曲线的半焦距，根据双曲线的标准

方程，求得m,答案可得.

~T+~=1

【解答】解：椭圆4m”得

二焦点坐标为Rq-m2,0)(-Y4f2,0),

22

xy,

2-9=1

双曲线：62有

2

贝！I半焦£巨c2=Vm+2

/.V4-m~~、+2

则实数m=±l

故选C.

6.不等式(”2)R+2(a-2)x-4<0对一切x€R恒成立，则实数a的取值范围是

()

A.3,2)B,[-2,2]C,(-2,2]

D.(-8,-2)

参考答案：

C

略

7.当a>0时，函数/(工)=(7+坷，的图象大致是(.)

参考答案:

B

A=—,b=2acosB,c=l

8.已知aABC中，内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若3,则

△ABC的面积等于()

VsVsVsVs

A.2B.4C.6D.8

参考答案：

B

【考点】余弦定理；正弦定理.

【专题】计算题；解三角形.

【分析】根据b=2acosB利用正弦定理，得到sinB=2sinAcosB=J7osB,由同角三角函数

的关系算出tanB=«,从而可得13=下，所以AABC是等边三角形.再根据c=l利用三角

形的面积公式，即可算出aABC的面积.

【解答】解：•.•在△ABC中,b=2acosB,A=-3,

几_

.♦.根据正弦定理,得sinB=2sinAcosB=2sin3cosB=V3cosB,

sinB

由此可得tanB=cosB=V3,

又・.・B£(0,n),

JU

・・・B二万，可得AABC是等边三角形.

*/c=l,Aa=b=l,

11KV3

因此，ZXABC的面积S=2bcsinA=2X1*1*sinT=T.

故选：B

【点评】本题给出aABC满足的条件，求AABC的面积.着重考查了正弦定理、同角三角

函数的基本关系与三角形的面积公式等知识，属于中档题.

9.若〃耳=/一*4呼则的导函数，任)>°的解集为()

A.(0,+oo)B.(―l,0)U(2,+oo)C.(2,+oo)D.(—1,0)

参考答案:

C

43―2）（x+D

令/（x）=2x-2-xx>0,利用数轴标根法可解得一l<r<0或x>2,又x>0,

所以x>2.故选C.

10.某产品的销售收入力（万元）是产量X（千台）的函数：Vl=17x，（x>0）,生产成

32

本W万元是产量X（千台）的函数：y2=2x-X（x>0）,为使利润最大，应生产

（）

A.9千台B.8千台C.7千台D.6千台

参考答案：

D

【考点】3H：函数的最值及其几何意义.

【分析】由题意得到利润关于产量的函数式，再由导数求得使利润最大时的产量.

23223

【解答】解：由题意，利润y=Vl-了2=17、Y2X-X）=18X-2X（X>0）.

y'=36x-6x\

由y'=36x-6X2=6X（6-X）=0,得x=6（x>0）,

当xC（0,6）时，y'>0,当xW（6,+8）时，y'<0.

...函数在（0,6）上为增函数，在（6,+8）上为减函数.

则当x=6（千台）时，y有最大值为144（万元）.

故选：D.

【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，简单的数学建模思想方法，训练了利用导数

求最值，是中档题.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.已知双曲线的渐近线方程为y=±x,且过点M（-1,3）,则该双曲线的标准方程为

参考答案：

22

J=1

62

略

/（x）=^x+2（fc-l）x+（t+5）lnx\,031

12.已知函数2，若］（同在区间上不是单调函

数，则上的取值范围为.

参考答案：

(一»

i+53x2+2(k-l)x+fc+5

/*（x）=3x+2（fc-l）+,因为〃“）在区间

分析：由题意得X

（°」）上不单调，故，任）=°在区间（°3）上有解，分离参数后通过求函数的值域可得所

求的范围.

*7.J㈤=彳"+2（*-1）工+（*+5>far（x>0）

解：•1,

fc+53x2+2(k-l)x+i+5

/*(x)=3x+2(fc-l)+

・；在区间（°二）上不单调,

3x+2(t-l)x+k+5

,rw=X~在区间（°3）上有解,

即方程%2+2（1）"+七+5=。在区间（。,3）上有解,

t-3x?+2x-5

.♦.方程—一2^+1—在区间（°」）上有解.

＜、—+2x—5o

产节职

函数g（“）在区间（°」）上单调递增，在区间（L3）上单调递减,

.•.当X=1时，g（x）取得最大值，且最大值为g（l）=-2.

乂g（0）=-5,g（3）=号

又由题意得在直线y=上两侧须有函数y=g(4的图象,

...实数上的取值范围为(—5，-2).

点睛：解答本题时注意转化的思想方法在解题中的应用，将函数不单调的问题化为导函数

在给定区间上有变号零点的问题处理，然后通过分离参数又将问题转化为求函数的值域的

问题，利用转化的方法解题时还要注意转化的合理性和准确性.

13.图(1)为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由一块木块堆成；图

(2)中的三视图表示的实物为.

参考答案:

(1)4(2)圆锥

略

-x2+x(x)0)

14.(4分)已知函数f(x)=\x+x2(x<0),对任意的xe[O,1]恒有f(x+a)

Wf(x)成立，则实数a的取值范围是.

参考答案：

0>1或4F-1

15.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢

两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为.

参考答案：

3

4

略

16.设以产为两个不重合的平面，』，附3为两两不重合的直线，给出下列四个命题：

①若加ua,%片，贝②若/0强加_La,"_La,则/〃阀；③若

dUQua,则，3尸；④若则其中正确命题的序号

是▲.

参考答案：

②③④

17.如图，给出一个算法的伪代码，已知输出值为3,则输入值*=—.

Readx

Ifx>0Then

/(Z)<-X2-3X-1

Else

/(x)«-log2(x+5)

EndIf

Print,f(x)

参考答案：

4

【考点】伪代码.

x2-3x-1,x,0

【分析】根据伪代码可知该题考查一个分段函数f(x)=1。82&+5)，x<0,再利用输

出值为3,即可求得输入值.

x2-3x-1,x)0

【解答】解：本题的伪代码表示一个分段函数f(x)=[l°g2(x+5)，x<°

•••输出值为3

x2-3x-1=3flog2(x+5)=3

Ax>0或|x<0

/.x=4

.•.输入值x=4

故答案为：4

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.已知函数/（x）=alnx+，为实常数）.

（1）当&=-4时，求函数/CO在口浮]上的最大值及相应的x值；

（2）当xe[l，e]时，讨论方程/卜）=。根的个数.

n1|/U）-/（^2）|^----—

（3）若。>0,且对任意的肛*2仆1，叼，都有々町，

求实数a的取值范围.

参考答案：

【答案】（1）,㈤由=/（e）=--4.x=e；（2）-/Wa<-2e时，方程1/%）=°

有2个相异的根.a<-e2或a=-2e时-，方程,卜）=°有i个根.a>-2e时，方程

/3=。有0个根.（3）“一展.

【解析】

试题分析：（D通过求导数可得函数的单调性，在对比区间的两端点的注徼值即可求得的数

的最大值.（2）由于参数。的受1匕可以采取分离变量的方法，转化为两个函数的交点个数

同瓯其中一个是垂亶于y轴的内二电另一/定通过才E的数的走向根据图像即可得到结论.

（3）将要说明辘论通过变形得到个等忖;』题从而工明新的国数的单调性，使得问题巧

妙地转化.本题只是容量大.通过研穷嬲的单调性-参翻I的讨论.与不等式的畸合转

化为固散的单调性的证明.

试题解析：⑴/'8=文『^5-0）,当y=及押，r（x）<O.^xe（72.<-]

时，r（x）>0,又Y+J-;>0,

a

故1nl=/（«）=e-4,当x=。时，取等号----4分

上

（2）易知xwl,故xeg],方程/k）=。根的个数等价于xe（Le]时，方程”战

22xlnx-x2-c八

/、zLg，（x）=__________邑=吟1）

根的个数.设g（R=lnx,ln2xln2x

当xe（L&）时，g'O）<0,函数g（x）递减，当xe（布,e]时，g'（x）>0,函数g（x）递

增.又g（e）=/,g（及）=2e,作出1y=g（x）与直线1y=-。的图像，由图像知：

当2e<_aWe2时，即_/«a<_2e时，方程0有？个相异的根；

当a或a=-2e时，方程/（*）=°有1个根；

当a>-2e时，方程/（H=°有o个根；——10

分

1

y——

（3）当4>0时，/S）在xe[Le]时是增函数，又函数x是减函数，不妨设

-----------

1Mxi工勺工。，贝ij再为等

即/（巧）+L4〃Xi）+L，故哌题等价H&I数MV=/（x）+1在xe[LW时是减函数，

4%X

“（X）=-+2X-4^。恒成二，即。4士-2*1在xcI。]时恒成立.

XXX

11

''ylx2在xw[Ue]ir是减（3瞬.z'i--2«a-------16分

xe

（其他解法的情给分》

考点：1.函数的最值问题.2.曲数的2调性.3.%数与不等式的关系以及转化为的数的单调性

的证明.

略

19已知1X21+2+3’1+2+3+--+n，，其前〃项和为S”.

⑴计算waww；

(2)猜想S“的表达式，并用数学归纳法进行证明.

参考答案：

1438$一2n

(1)3*2*5:(2)证明见解析.

【分析】

(1)由题可得前4项，依次求和即可得到答案；

2/1

S-

(2)由(1)得到前四项和的规律可猜想""+1,由数学归纳法，即可做出证明，得

到结论。

14

S1=1L,S2=1+-----=—

【详解】(1)计算1+23,

„4163。318

31+2+34221+2+3+45.

5_-

(2)猜想11n+1.

2x1]

证明：①当a=l时，左边=号=1,右边1+1,猜想成立.

1J_]12k

②假设""*(*'猜想成立，即.一1土百费+1+2+3++l+2+3+...+i-1+1

成立，

„12k2

SI.=S»+----------------------------=------+------------------

那么当叫时，1+2+3+…+KK1k+1

2k22仕+1)22(*+l)

而金+1(*+l)(£+2)(£+l)(£+2)(£+1)*1,故当n=jfc+l时，猜想也成立.

由①②可知，对于“eN,猜想都成立.

【点睛】本题主要考查了归纳、猜想与数学归纳法的证明方法，其中解答中明确数学归纳

证明方法：(1)验证口=1时成立；(2)假设当"=£时成立，证得“=£*】也成立；

(3)得到证明的结论.其中在“=£到”=*+1的推理中必须使用归纳假设.着重考查了

推理与论证能力.

92

20.如图，已知椭圆ab(a>b>0),A(2,0)是长轴的一个端点，弦BC过椭圆

的中心0,且AC・BC=0,|0C-0Bk|BC-BA|.

(I)求椭圆的方程；

(H)设P、Q为椭圆上异于A,B且不重合的两点，且NPCQ的平分线总是垂直于x轴,

是否存在实数入，使得混人屈，若存在，请求出X的最大值，若不存在，请说明理

由.

参考答案:

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程.

【分析】(I)由已知条件推导出AAOC是等腰直角三角形，C(1,1),由点C在椭圆

'+a=2

上，得ab",由此能求出椭圆方程.

(II)对于椭圆上两点P,Q,由/PCQ的平分线总是垂直于x轴，知PC与CQ所在直线关

于x=l对称，krc=k,则k(Q=-k,PC的直线方程为y=k(X-1)+1,QC的直线方程为y二-k

(X-1)+1,由此求出PQ〃AB,从而得到存在实数入，使得比入瓦，求出【铜的最大

值，即可得出结论.

【解答】解：(I)VAC-BC=O,.,.ZACB=90o,

XIOC^OB1=2BC-BAI，B|l|BC|=2|AC),

...△AOC是等腰直角三角形…

VA(2,0),AC(1,1),

,B+］尸］,a=2

而点C在椭圆上，b”

_4

.-.b2=?,

•••所求椭圆方程为

44

(II)对于椭圆上两点P,Q,

•1,ZPCQ的平分线总是垂直于x轴，

APC与CQ所在直线关于x=l对称，

krc=k,则kw=-k,…

VC(1,1),...PC的直线方程为y=k(x-1)+b①

QC的直线方程为y=-k(x-1)+1,②

xi+3yi=

将①代入44得(1+3X)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0,③

3k2-6k-l

9

•••C(1,1)在椭圆上，...x=l是方程③的一个根，...xkl+3k"-

3k2+6k-l

以-k替换k,得到x产3k2+1.

k(xp+xQ)-2k]

/.kPQ=Xp-XQ=3

VZACB=90°,A(2,0),C(1,1),弦BC过椭圆的中心0,

1

AA(2,0),B(-1,-1),••k.4B=3,

.•.kpQ=kAB,・・・PQ〃AB,

，存