江苏省2024届高考数学重难点模拟卷（二）(含解析)

江苏省2024届高考数学重难点模拟卷（二）一、单选题1．某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：858788898990919192939393949698则这组数据的40%分位数为（

）A．90 B．91 C．90.5 D．922．已知圆C：及点，则下列说法正确的是（）A．直线与圆C始终有两个交点B．若M是圆C上任一点，则|MQ|的取值范围为C．若点在圆C上，则直线PQ的斜率为D．圆C与轴相切3．已知向量满足与垂直，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．34．高一（1）班有8名身高都不相同的同学去参加红歌合唱，他们站成前后对齐的2排，每排4人，则前排的同学都比后排对应的同学矮的概率为（

）A． B． C． D．5．已知数列的前n项和分别为，记，则数列的前2021项和为（）A． B． C． D．6．已知球的直径，，，是球球面上的三点，是等边三角形，且，则三棱锥的体积为（

）.A． B． C． D．7．已知，且，则可能为（

）A． B． C． D．8．已知f(x)为奇函数，当x∈[0,1]时，当，若关于x的不等式f(x+m)>f(x)恒成立，则实数m的取值范围为（

）A．(-1,0)∪(0,+∞)

B．C． D．(2,+∞)二、多选题9．已知函数的部分图像如图所示，则（

）

A．在上单调递增B．在上有4个零点C．D．将的图象向右平移个单位，可得的图象10．若函数的定义域为，且，，则（

）A． B．为偶函数C．的图象关于点对称 D．11．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为40cm的正方体截去八个一样的四面体得到的，则（

）A．该几何体的顶点数为12B．该几何体的棱数为24C．该几何体的表面积为D．该几何体外接球的表面积是原正方体内切球、外接球表面积的等差中项三、填空题12．已知单位向量满足，则.13．定义两个点集S、T之间的距离集为，其中表示两点P、Q之间的距离，已知k、，，，若，则t的值为.14．已知，过点倾斜角为的直线交于、两点（在第一象限内），过点作轴，垂足为，现将所在平面以轴为翻折轴向纸面外翻折，使得，则几何体外接球的表面积为．四、解答题15．设等比数列的前项和为，已知，．(1)求的通项公式；(2)设，求的前项和．16．我们平时常用的视力表叫做对数视力表，视力呈现为4.8，4.9，5.0，5.1．视力为正常视力．否则就是近视．某地区对学生视力与学习成绩进行调查，随机抽查了100名近视学生的成绩，得到频率分布直方图：(1)能否据此判断学生的学习成绩与视力状况相关；（不需说明理由）(2)估计该地区近视学生学习成绩的第85百分位数；（精确到0.1）(3)已知该地区学生的近视率为54%，学生成绩的优秀率为36%（成绩分为优秀），从该地区学生中任选一人，若此人的成绩为优秀，求此人近视的概率．（以样本中的频率作为相应的概率）17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点E，F分别是棱，的中点．

(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)在截面内是否存在点，使平面，并说明理由．18．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，过点的两条直线，分别与椭圆交于另一点A，B，且直线，，的斜率满足．(1)求椭圆的方程；(2)证明直线过定点；(3)椭圆C的焦点分别为，，求凸四边形面积的取值范围．19．已知函数．(1)证明曲线在处的切线过原点；(2)讨论的单调性；(3)若，求实数的取值范围．参考答案：1．C【分析】根据百分位数的定义计算即可.【详解】由题意，，故这组数据的40%分位数为从小到大第6，7位数据的平均数，即.故选：C2．B【分析】根据题意分别求出圆心，半径，由直线过定点可对A判断；利用圆外一点到圆上距离知识可对B判断；由在圆上可求得，即可对C判断；根据圆心到轴的距离从而可对D判断.【详解】依题意，圆C：，圆心，半径，对于A，直线恒过定点，而点在圆C外，则过点的直线与圆C可能相离，故A不正确；对于B，，点Q在圆C外，由得：，故B正确.对于C，点在圆C上，则，解得，而点，则直线PQ的斜率为，故C不正确；对于D，点到x轴距离为7，大于圆C的半径，则圆C与轴相离，即圆C与x轴不相切，故D不正确；故选：B3．C【分析】向量垂直则数量积为零，由此求出，求，利用平方法转化为数量积进行计算．【详解】由与垂直，得，则，所以1，所以当时，的最小值为故选：C4．D【分析】因为8名同学，所以任选两人，身高都不同，只需将抽取的两人安排到一组，高的同学站后即可.【详解】名身高都不相同的同学站在8个不同的位置有种站法，将8名同学分为4组，每组2人，则有种分法，4组人有种站法，故所求概率.故选：D.5．C【分析】利用裂项求和法求得正确答案.【详解】当时，，当时，，所以.故选：C6．B【分析】求得三棱锥的底面积和高，由此计算出三棱锥的体积.【详解】设球心为，等边三角形截面小圆的圆心为（也是等边三角形的中心）.由于是等边三角形，，所以平面，在面的投影即，也即等边三角形的中心，且平面，则.因为是直径，所以.所以，.由于是等边三角形的中心，所以，所以等边三角形的高，.所以三棱锥的体积为.故选：B【点睛】本小题主要考查与几何体外接球有关的计算，属于难题.7．B【分析】由得，化简后可求出，再利用同角三角函数的关系可求出.【详解】由，得，所以，所以，整理得，，所以或，所以或，①当时，，，因为，所以，所以，因为，所以，②当时，，因为，所以，由于，所以解得，③当时，，因为，所以，由于，所以解得，综上，，或，或，故选：B8．B【分析】根据函数的奇偶性求出函数的解析式，然后作出函数的图象，对进行分类讨论进行求解即可．【详解】若，，则，，则，是奇函数，，则，，，若，，则，，则，则，，，作出函数的图象如图：当时，的图象向左平移，如图，当的图象与在相切时，，此时对应直线斜率，由，即，得．此时，又切点在直线上，所以切点坐标为，即，解得，所以当时，不等式恒成立.当时，的图象向右平移，如图，显然不等式不恒成立.综上的取值范围是，故选：．【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，求出函数的解析式以及利用数形结合是解决本题的关键，属于难题．9．ABC【分析】结合图象，得到函数，根据正弦函数图象和性质，以及图象变化判断四个选项即可.【详解】由图知，，所以或，又，所以，所以，又因为图象过，且为下降零点，所以，，故,结合图象，即，所以，所以，对于A选项，当，，结合正弦函数图像可知，在上单调递增，故A正确；、对于B选项，当时，，其中，结合正弦函数图像可知，在上有4个零点，故B正确；对于C选项，当时，即，即或，结合图象可知，，所以，故C正确；对于D选项，将的图象向右平移个单位，得，而，故D错误，故选：ABC.10．BCD【分析】对于A，令,可得；对于B，令，可得，即可判断；对于C，令得，再令即可判断；对于D，根据条件可得,继而，进一步分析可得函数周期为4，分析求值即可.【详解】对于A，令，则，因为，所以，则，故A错误；对于B，令，则，则，故B正确；对于C，令得，，所以，令得，，则的图象关于点对称，故C正确；对于D，由得，又，所以，则，，所以，则函数的周期为，又，，则，，则，所以，故D正确，故选：BCD.11．ABD【分析】对于A，该几何体的顶点是正方体各棱的中点，由正方体有12条棱即可判断；对于B，由该几何体有6个面为正方形即可判断；对于C，该几何体的棱长为，根据正三角形及正方形的面积公式求解即可判断；对于D，原正方体内切球的半径为20cm，原正方体外接球的半径为，该几何体外接球的球心为原正方体的中心，故外接球半径为，根据球的表面积公式及等差中项的定义即可判断.【详解】对于A，该几何体的顶点是正方体各棱的中点，正方体有12条棱，所以该几何体的顶点数为12，故A正确；对于B，由题意知，该几何体有6个面为正方形，故该几何体的棱数为，故B正确；对于C，该几何体的棱长为，该几何体有6个面为正方形，8个面为等边三角形，所以该几何体的表面积为，故C错误；对于D，原正方体内切球的半径为20cm，内切球表面积为.原正方体外接球的半径为，外接球表面积为.由题意得该几何体外接球的球心为原正方体的中心，故外接球半径为，所以该几何体外接球的表面积为.因为，所以该几何体外接球的表面积是原正方体内切球、外接球表面积的等差中项，故D正确.故选:ABD.12．【分析】利用向量数量积的运算律及已知可得，再由运算律求即可.【详解】因为，所以，所以，则，故.故答案为：13．【分析】集合表示双曲线上支的点，集合表示直线上的点，，故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即，且与渐近线的距离为，计算得到答案.【详解】，即，，故集合表示双曲线上支的点，集合表示直线上的点，，故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即，且与渐近线的距离为.双曲线的渐近线为，不妨取，则，即，平行线的距离，故或（舍去）.故答案为：.【点睛】关键点睛:本题考查了集合的新定义，直线和双曲线的位置关系，意在考查学生的计算能力转化能力和综合应用能力，其中根据条件得到直线与渐近线平行，在渐近线下方，且与渐近线的距离为是解题的关键.14．【分析】翻折前，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点、的坐标，然后以以原坐标原点为原点，原纵轴的负半轴所在直线为轴，直线所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线作轴建立空间直角坐标系，设球心为，根据球心的性质可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，可得出球心的坐标，可求得球的半径，利用球体的表面积公式可求得结果.【详解】翻折前，设点、，则，直线的方程为，联立可得或，即点、，易知点，翻折后，以原坐标原点为原点，原纵轴的负半轴所在直线为轴，直线所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线作轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，设四棱锥的外接球球心为，由题意可得，解得，所以，球心为，所以，球的半径为，因此，球的表面积为.故答案为：.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.15．(1)(2)【分析】（1）根据题意列式求，进而可得通项公式；（2）根据题意分析可知数列是以首项为，公比为的等比数列，结合等比数列求和分析求解.【详解】（1）设等比数列的公比为q，由题意可得，则，即，解得，所以.（2）因为，则，且，即数列是以首项为，公比为的等比数列，所以．16．(1)不能据此判断(2)(3)0.72【分析】（1）由题干无法得出各成绩层次近视率的情况即可判断结果；（2）先估算出第85百分位数所在的组别，再运用所占比率即可算得结果；（3）明确此题为条件概率，需要求积事件的概率，而这可以用乘法公式进行转化，即可求得.【详解】（1）因从题干频率分布直方图不可以看到，不同成绩层次的同学近视率的情况，故不能据此判断学生的学习成绩与视力状况相关；（2）由频率分布直方图可知，成绩90分以下所占比例为，因此第85百分位数一定位于内，由，可以估计该地区近视学生的学习成绩的第85百分位数约为；（3）设“该地区近视学生”，“该地区优秀学生”，由频率分布直方图可得,,，所以.即若此人的成绩为优秀，则此人近视的概率为0.72.17．(1)(2)不存在，理由见解析【分析】（1）由题意可建立相应空间直角坐标系，结合空间向量计算即可得；（2）假设存在，可设，，，，结合空间向量解出、，可得其与假设矛盾，故不存在.【详解】（1）由平面，、平面，故、，又底面为正方形，故，即、、两两垂直，故可以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，，，，，，设平面的法向量，则，即，可取，因为，所以与平面所成角的正弦值为；

（2）假设截面内存在点满足条件，设，，，，有，，，所以，因为平面，所以，所以，解得，这与假设矛盾，所以不存在点，使平面．18．(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据条件列出方程组，解出即可；（2）设直线，联立直线和椭圆方程，消元后，利用，建立方程，解出后验证即可；（3）设直线，联立直线和椭圆方程，消元后，利用韦达定理得到条件，利用进行计算，换元法求值域即可.【详解】（1）由题设得，解得，所以的方程为；（2）由题意可设，设，，由，整理得，．由韦达定理得，，由得，即，整理得，因为，得，解得或，时，直线过定点，不合题意，舍去；时，满足，所以直线过定点．（3））由（2）得直线，所以，由，整