高中数学必修2课时素养评价9-3-2-2向量数量积的坐标表示

课时素养评价七向量数量积的坐标表示(15分钟30分)1.已知两个非零向量a,b满足2a+b=(4,5),a2b=(3,5),则a·bA.1 B.-1 C.0 D.2【解析】选B.因为2a+b=(4,5),a2b=(3,5),所以5a=2QUOTE+QUOTE=QUOTE,所以a=QUOTE,所以b=(4,5)2(1,3)=(2,1),所以a·b=23=1.2.(2019·全国Ⅱ卷)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|ab|= ()A.QUOTE B.2 C.5QUOTE D.50【解析】选A.由向量a=(2,3),b=(3,2),可得ab=(1,1),所以|ab|=QUOTE=QUOTE.【补偿训练】已知向量a=(1,2),b=(1,x),若a∥b,则|b|= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.5【解析】选C.因为向量a=(1,2),b=(1,x),a∥b,所以QUOTE=QUOTE,解得x=2,所以|b|=QUOTE=QUOTE.3.若向量a=(1,2),b=(1,1),则2a+b与abA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.2a+bab=(1,2)(1,1)=(0,3),(2a+b)·(ab)=9,|2a+b|=3QUOTE,|ab|=3.设所求两向量的夹角为α,则cosα=QUOTE=QUOTE,因为0≤α≤π,所以α=QUOTE.4.在△ABC中,∠C=90°,=(k,1),=(2,3),则k的值为________.

【解析】因为==(2,3)(k,1)=(2k,2),=(2,3),所以·=2(2k)+6=0,所以k=5.答案:55.在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(0,1),C(2,5),求:(1)2+的模;(2)cos∠BAC.【解析】(1)如图,=(1,1),=(1,5),故2+=(2,2)+(1,5)=(1,7),故|2+|=QUOTE=5QUOTE;(2)cos∠BAC==QUOTE=QUOTE=QUOTE.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共20分,其中多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则·的取值范围是 ()A.(2,6) B.(6,2) C.(2,4) D.(4,6)【解析】选A.设P(x,y),建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),=(x,y),=(2,0),所以·=2x,由题意可得点C的横坐标为3,点F的横坐标为1,所以1<x<3,所以2<·<6.2.已知=(3,1),n=(2,1)且n·=7,则n·= ()A.2 B.2 C.2或2 【解析】选B.n·=n·()=n·n·=7(2,1)·(3,1)=7(61)=2.3.(2020·岳阳高一检测)设向量a=(3,4),向量b与向量a方向相反,且|b|=10,则向量b的坐标为 ()A.(6,8) B.(6,8)C.(6,8) D.(8,6)【解析】选A.向量a=(3,4),向量b与向量a方向相反,设b=(3x,4x),x<0,则|b|=QUOTE=5x=10,解得x=2,所以向量b的坐标为(6,8).4.(多选题)设向量a=QUOTE,b=QUOTE,则下列叙述错误的是 ()A.若k<2,则a与b的夹角为钝角B.QUOTE的最小值为2C.与b共线的单位向量只有一个为QUOTED.若QUOTE=2QUOTE,则k=2QUOTE或2QUOTE【解析】选CD.对于选项A,若a与b的夹角为钝角,则a·b<0且a与b不共线,则k2<0且k≠2,解得k<2且k≠2,故选项A正确,不符合题意;对于选项B,QUOTE=QUOTE≥2,当且仅当k=0时,等号成立,故选项B正确,不符合题意;对于选项C,QUOTE=QUOTE,与b共线的单位向量为±QUOTE,即与b共线的单位向量为QUOTE或QUOTE,故选项C错误,符合题意;对于选项D,QUOTE=2QUOTE=2QUOTE,即QUOTE=2QUOTE,解得k=±2,故选项D错误,符合题意.二、填空题(每小题5分,共10分)5.点M是边长为2的正方形ABCD内或边界上一动点,N是边BC的中点,则·的最大值是________.

【解析】以A为坐标原点,AD所在直线为x轴,AB所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,那么有=(1,2),设M点坐标为(x,y),则=(x,y),其中0≤x≤2,2≤y≤0,·=x2y,当x取得最大值2,y取得最小值2时,·取得最大值6.答案:66.设平面向量a=(cosα,sinα)(0≤α<2π),b=QUOTE,若两个向量QUOTEa+b与aQUOTEb的模相等,则角α=__________.

【解析】|a|=1,|b|=1,由题意知(QUOTEa+b)2=(aQUOTEb)2,化简得a·b=0,所以QUOTEcosα+QUOTEsinα=0,所以tanα=QUOTE.又0≤α<2π,所以α=QUOTE或α=QUOTE.答案:QUOTE或QUOTE【补偿训练】已知向量a=(λ,2),b=(1,1),若QUOTE=QUOTE,则λ的值为________.

【解析】结合条件可知,QUOTE=QUOTE,得到a·b=0,代入坐标,得到λ×QUOTE+2=0,解得λ=2.答案:2三、解答题7.(10分)已知向量a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,1).(1)若|c|=3QUOTE,且c∥a,求向量c的坐标;(2)若b是单位向量,且a⊥(a2b),求a与b的夹角θ.【解析】(1)设c=(x,y),由|c|=3QUOTE,c∥a可得QUOT