一概率论的基本概念

第一章概率论的基本概念第一节样本空间、随机事件第二节概率、古典概型第三节条件概率、全概率公式第四节独立性现实世界的两类现象：确定性现象：在一定的条件下一定会发生的现象。

水在标准大气压下温度持续达到100摄氏度必然沸腾，温度为0摄氏度以下必然结冰；同性电荷相互排斥，异性电荷相互吸引……随机性现象：

在一定的条件下试验有多种可能的结果，但事先又不能预测是哪一种结果。

扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的游戏

在一定条件下，试验有多种可能的结果，但事先又不能预测是哪一种结果的现象称随机现象。概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门基础学科。上一页下一页返回

随机现象有其偶然性一面，也有其必然性一面，这种必然性表现在大量重复试验或观察中随机现象所呈现出的固有规律性，称为随机现象的统计规律性.则把这一试验称为随机试验，常用E表示。对随机现象进行的观察或实验称为试验。（2）每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以知道试验的所有可能结果。（3）进行一次试验之前，不能确定会出现哪一个结果。若一个试验具有下列三个特点：（1）在相同条件下可重复进行。上一页下一页返回1、随机试验第一节样本空间随机事件随机试验的例子：抛一枚硬币，观察正面H和反面T出现的情况；掷两颗骰子，观察出现的点数；在一批电视机中任意抽取一台，测试它的寿命；城市某一交通路口，指定1h内的汽车流量；记录某一地区一昼夜的最高温度和最低温度。上一页下一页返回2、随机事件与样本空间基本结果：（1）每次试验必然出现且只能出现其中一个基本结果。（2）任何结果，都是由其中一些基本结果组成，上一页下一页返回样本空间的元素，即E的每个基本结果，称为样本点。

随机试验E的所有基本结果组成的集合称为样本空间，记为。抛一枚硬币，观察正面H和反面T出现的情况；掷两颗骰子，观察出现的点数；在一批电视机中任意抽取一台，测试它的寿命；城市某一交通路口，指定1h内的汽车流量；记录某一地区一昼夜的最高温度和最低温度。上一页下一页返回随机事件（简称事件）：随机试验E的样本空间

的子集。通常用大写字母A,B,C,…表示.

在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。例如，在掷一次骰子试验中，可以用A表示“出现点数为偶数”这个事件，若试验结果是“出现6点”，就称事件A发生。随机事件中有两个极端情况：每次试验中都必然发生的事件，称为必然事件

。每次试验中都不发生的事件，称为不可能事件

。基本事件是样本空间的单点集。复合事件是由多个样本点组成的集合。必然事件包含一切样本点，它就是样本空间

。不可能事件不含任何样本点，它就是空集

。上一页下一页返回例1:从一批产品中任取8件，观察其中的正品件数，则这一试验的样本空间为：

={0，1，2，3，4，5，6，7，8}引入下列随机事件:A={正品件数不超过3}B={取到2件至3件正品}C={取到2件至5件正品}D={取到的正品数不少于2且不多于5}E={取到的正品数至少为4}F={取到的正品数多于4}上一页下一页返回={0，1，2，3}={2，3}={2，3，4，5}={2，3，4，5}={4，5，6，7，8}={5，6，7，8}三、事件的关系与运算1、事件的包含AB例A={直径不合格}，B={产品不合格}

事件A发生必然导致事件B发生，则称事件A包含于事件B，或称事件B包含事件A，BA2、事件的并(和)“事件A与B至少有一个发生”的事件称为A与B的并(和)。类似的，例有两位战士同时向一个目标各射击一次。A={甲战士击中目标}，B={乙战士击中目标}，C={目标被击中}即事件C发生意味着事件A或事件B至少有一个发生。3、事件的交(积)“事件A与事件B同时发生”这一事件称为事件A与事件B的交(积)事件。BA类似的，4、事件的差“事件A发生而B不发生”的事件称为事件A与B的差。AB5、互不相容事件（互斥事件）如果事件A与B不可能同时发生，则称事件A与B是互不相容事件（互斥）,AB基本事件是两两互不相容的。6、逆事件（对立事件）A

则称事件A与B互为逆事件(对立事件).A的对立事件.对立事件与互不相容事件的区别ABABA、B对立A、B互不相容互不相容对

立实例

“骰子出现1点”“骰子不出现1点”对立“骰子出现1点”“骰子出现2点”互不相容例A,B,C为三个事件，用A,B,C的运算式表示下列事件：1）只有C发生；2）A发生而B与C不发生；3）三个事件都不发生；4）三个事件至少有一个不发生；5）三个事件至少有二个发生；6）三个事件恰好有二个不发生；7）三个事件多于两个发生；8）三个事件不少于一个发生。例在数学系的学生中任选一名学生。若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。（1）叙述的意义。（2）在什么条件下成立？（3）在什么条件下成立？解（1）该生是三年级男生，但不是运动员。（2）全系运动员都是三年级男生。（3）全系女生都在三年级。事件的运算律（1）交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A（2）结合律（A∪B）∪C=A∪（B∪C）（3）分配律：A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C

）（A∩B）∩C=A∩（B∩C）A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）推广到有穷或无穷的情况：（5）德·摩根律（DeMorgan）：（4）推广到有穷或无穷的情况：AB解设B={甲种产品畅销}，C={乙种产品滞销}，则A=BC={甲种产品滞销或乙种产品畅销}例设事件A表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，求其对立事件。

练习:

设A,B,C为三个事件，试用A,B,C表示下列事件：（1）A发生且B与C至少有一个发生；（2）A与B都发生而C不发生；（3）A,B,C恰有一个发生；（4）A,B,C中不多于一个发生；（5）A,B,C不都发生；（6）A,B,C中至少有两个发生。例

设A,B,C表示三个随机事件,试将下列事件用A,B,C表示出来.(1)A出现,B,C不出现;(5)三个事件都不出现;(2)A,B都出现,C不出现;(3)三个事件都出现;(4)三个事件至少有一个出现;(6)不多于一个事件出现;(7)不多于两个事件出现；(8)三个事件至少有两个出现；(9)A,B至少有一个出现，C不出现；(10)A,B,C恰好有两个出现。第二节概率、古典概率1、频率定义1:在相同条件下，进行了n次试验.若随机事件A在这n次试验中发生了k次，则比值称为事件A在n次实验中发生的频率，记为频率具有下列性质：(1)对于任一事件A，有(2)上一页下一页返回上一页下一页返回

历史上著名的统计学家德·摩根（DeMorgan）、蒲丰（Buffon）和皮尔逊（Pearson）曾进行过大量抛硬币的试验，其结果如表所示.实验者nkf德·摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069K·皮尔逊1200060190.5016K·皮尔逊24000120120.5005可见出现正面的频率总在0.5附近摆动.随着试验次数的增加,它会逐渐稳定于0.5.上一页下一页返回定义2:设事件A在n次重复试验中发生了k次,n很大时,频率稳定在某一数值p的附近波动,而随着试验次数n的增加，波动的幅度越来越小，则称p为事件A发生的概率，记为上一页下一页返回定义3：2、概率的公理化定义上一页下一页返回注：不可能事件的概率为0，但逆命题不一定成立。概率的性质：证明注：综合性质1有，必然事件的概率为1，但反之不成立。证明由图可得又由性质4得因此得推广三个事件并的情况解推广到n个事件并的情况解转习题册3、古典概型1、古典概型的定义定义若一随机试验E满足以下条件：（1）试验的样本空间中只有有限个样本点，即（2）试验中每个基本事件的发生是等可能的，即则称此试验为古典概型，或称为等可能概型.计算公式：又每个基本事件发生的可能性相同，有从而设事件A包含k个基本事件，即则有由此得古典概型中事件A的概率计算公式：例1

将一枚硬币抛掷3次，求（1）恰好一次出现正面的概率；（2）至少有一次出现正面的概率。解将一枚硬币抛掷3次的样本空间（1）设A表示“恰好一次出现正面”，则故有（2）设B表示“至少有一次出现正面”，由得知识回顾1、乘法原理与加法原理（1）乘法原理

若一件事可通过接连r个动作完成，而完成第一个动作有m1种方法，完成第二个动作有m2种方法…完成第r个动作有mr种方法，则完成这件事的总方法数为这种方法称为乘法原理.（2）加法原理

若一件事有r类方式，且任一类方式的一种方法都能完成这件事，已知完成这件事的第一类方式有m1种方法，完成这件事的第二类方式中有m2种方法…完成这件事的第r类方式中有mr种方法，则完成这件事的总方法数为这种方法称为加法原理.2、排列与组合（1）不允许重复的排列

设有n个不同的元素，从中选取r个不同的元素排成一列，这种排列的总个数为(n个不同元素的全排列)（2）允许重复的排列

若排列中的元素可重复，从n个不同的元素选取r个元素(允许重复选取)排成一列，这种排列的总个数为（3）组合

从n个不同的元素中任取r个不同的元素构成一组，不考虑这r个元素的顺序，其不同的组合法的组合个数记为例2

某袋中装有6只球，其中有4只白球2只红球，从袋中每次取一球，接连取两次（每球被取到的可能性相同），观察球的颜色，试就放回抽样（第一次取一球观察颜色后放回袋中）与不放回抽样（第一次取一球观察颜色后不放回袋中）两种情况，求：（1）取到的球都是白球的概率；（2）取到的球颜色相同的概率；（3）取到的球至少有一只是白球的概率。解放回抽样的情况：样本空间所含基本事件的总数为6×6=36.（1）设A={取出的球都是白球}A中包含的基本事件总个数为4×4=16，故（2）设B={取出的球都是红球}，C={取出的球颜色相同}B中包含的基本事件总个数为2×2=4，（3）设D={取出的球至少有一只是白球}，它的对立事件正好是B，故不放回抽样的情况：样本空间所含基本事件的总数为6×5=30.（1）A中包含的基本事件总个数为4×3=12，故（2）C中包含的基本事件总个数为4×3+2×1=14，故（3）例3

从52张扑克牌中任意抽出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？多少种取法即多少个基本事件解

例4

箱中装有a只白球，b只黑球，现作不放回抽取，每次一只，求：（1）任取m+n只，恰有m只白球，n只黑球的概率；（2）第k次才取到白球的概率；（3）第k次恰取到白球的概率。解(与k无关)例5

两封信任意地向标号为1,2,3,4的四个邮筒投寄，求1）第3个邮筒恰好投入1封信的概率；

2）有两个邮筒各有一封信的概率。解

1)设事件A表示“第三个邮筒只投入1封信”两封信任意投入4个邮筒，共有种而事件A的不同投法有2)设事件B表示“有两个邮筒各有1封信”故有例6：从0,1,2,…,9共10个数字中随机地有放回地接连取4个数字,并按其出现的先后排成一行.试求下列事件的概率解

因为是有放回抽样，所以样本空间中样本点总数为10×10×10×10.若使4个数字组成偶数，则只需末位数字为偶数即可。这有5种可能：0，2，4，6，8而前面3个数字是任意的。于是例710把钥匙有3把能打开门，今任取2把，求能将门打开的概率。解法一：设A表示“能将门打开”

因为“取出的两把钥匙能打开门”是“恰有一把钥匙能打开”与“两把钥匙都能打开门”这两个互斥事件的并事件。所以A所包含的样本点数为样本空间所包含的样本点数为故法二：

表“取出的两把钥匙都不能打开门”解设A=｛某指定的n个格子中各有一球｝B=｛任何n个格子中各有一球｝例8例1012名新生中有3名优秀生，将他们随机地平均分配到3个班中去，试求：（1）每班各分配到一名优秀生的概率；（2）3名优秀生分配到同一个班的概率。解（1）设A表示“每班各分配到一名优秀生”（2）设B表示“3名优秀生分到同一班”例12从5双不同尺码的鞋中任取4只，求以下事件的概率：（1）4只鞋不成双；（2）4只鞋只成一双。解设A={4只鞋不成双}，B={4只鞋只成一双}（即从5双中任取4双，再从取出的任一双中任取1只）（从5双中先取出1双，再从剩下的4双中取2只并不成双）故若试验具有如下特征:20

等可能性：向区域Ω内投一点，落在区域内任一点处都是“等可能的”.或者设落在Ω中的区域A内的可能性与A的度量m(A)成正比，与A的位置和形状无关.10

无限性：样本空间Ω是一个几何区域，这个区域大小可以度量（如长度、面积、体积等），并把Ω的度量记做m(Ω).三、几何概型A称为几何概率。例

某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，某乘客到达汽车站的时间是任意的，求该乘客候车时间不超过3分钟的概率。解

设x表示汽车到站后乘客到站的时刻。A=｛该候车时间不超过3分钟｝=｛x|2≤

x≤5｝

={x|0≤

x

≤5}例解设在(0,1)内任取两个数为x,y，则令A表示“两个数乘积小于”，则则所求概率为例

(约会问题)甲、乙两人相约在下午2点到3点之间于某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就离去,求甲乙两人能会面的概率.(假定他们在指定的1小时内任一时刻到达是等可能的)解故练习：第三节条件概率、全概率公式引入例：某班40个学生，班干10人，现从班中任取一人，设A={此人是班长}，B={此人是班干}，求P(B),P(AB)和

解1、条件概率的定义上一页下一页返回上一页下一页返回对于概率已证明的结果都适用于条件概率，例如例某电子元件厂有职工180人，男职工有100人，女职工有80人，男女职工中非熟练工人分别有20人与5人.现从该厂中任选一名职工，求（1）该职工为非熟练工人的概率是多少？（2）若已知被选出的是女职工，她是非熟练工人的概率又是多少？

解设A={任选一名职工为非熟练工人}，

B={选出女职工}此题也可考虑用缩小样本空间的方法来做，例某科动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56,求现年为20岁的动物活到25岁的概率.解

设A={活到20岁以上}，

B={活到25岁以上},则有设P(A)>0，则有P(AB)=P(A)P(B│A)2、乘法定理推广：同样，当P(B)>0时，有P(AB)=P(B)P(A│B)（或交换次序）关键是谁影响谁例

设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.解B={透镜落下三次而未打破}

一个罐子中包含n个白球和m个红球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进k个与所抽出的球具有相同颜色的球.这种手续进行四次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率.

例（波里亚罐子模型）n个白球,m个红球n个白球,m个红球

随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进k个与所抽出的球具有相同颜色的球.于是表示事件“连续取四个球，第一、第二个是红球，第三、四个是白球.

”

解设={第i次取出是红球},i=1,2,3,4={第j次取出是白球},j=1,2,3,4用乘法公式容易求出

当k>0时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率.这是一个传染病模型.每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.n个白球,m个红球3、全概率公式与贝叶斯公式上一页下一页返回全概率公式上一页下一页返回

即某一事件B的发生有各种可能的原因，如果B是由原因Ai(i=1,2,…,n)所引起，则B发生的概率是

每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式.P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)直观解释：对一个试验，某结果的发生可能有多种原因，每一个原因对这个结果的发生作出一定的“贡献”，这结果发生的可能性与各种原因的“贡献”大小有关。

由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系.诸Ai是原因B是结果例设甲箱中有a个白球，b个红球（a>0,b>0）乙箱中c个白球，d个红球。从甲箱中任取一球放入乙箱，然后再从乙箱中任取一球，试求从乙箱中取到的球为白球的概率。解：B={从乙箱中取到的球为白球}

A1={从甲箱中取到的球为白球}

A2={从甲箱中取到的球为红球}由全概率公式：练习册贝叶斯公式上一页下一页返回例设某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%，现在从一批产品中检查出1个次品，问该次品是由哪个车间生产的可能性最大？解

由全概率公式得由贝叶斯公式得由此可见，该次品由甲车间生产的可能性最大.解由已知，例由贝叶斯公式得所求概率为说明：已知某些原因，问这些原因导致某种结果的概率利用全概率公式；假如已知试验结果，要找某种原因发生的可能性，即已知信息，问信息来自何方的问题，利用贝叶斯公式。习题解例

由贝叶斯公式得所求概率为上题中概率0.95是由以往的数据分析得到的,叫做先验概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率0.97叫做后验概率.先验概率与后验概率练习某工厂由甲,乙,丙三台机器生产同一型号的产品,它们的产量各占30%,35%,35%,废品率分别5%,4%,3%.产品混在一起.（1）从该厂的产品任取一件,求它是废品的概率.（2）若取出产品是废品,求它是由甲,乙,丙三台机器生产的概率各是多少?解由已知，由全概率公式，得由贝叶斯公式，得左右两边同乘以P(A)有：事件A的发生不影响事件B的发生1、事件的独立性四、独立性定义定理证定理互斥：AB=Ф

，有P(AB)=0独立：P(AB)=P(B)P(A)AB不一定为Ф

注意互斥与独立的区别：二者之间没有必然联系例甲、乙两人独立地向同一目标射击，甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.4，求此目标被击中的概率。解设A={甲击中目标}，B={乙击中目标}，

C={目标被击中}，则故定义定义注：1、共有等式2、若n个事件相互独立，则将其中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的n个事件仍相互独立.例三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？

解所求为P(A1∪A2∪A3)记Ai={第i个人破译出密码}i=1,2,3已知,P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4

P(A1∪

A2∪

A3)例