弹性力学平面问题教学课件

弹性力学平面问题教学课件目录引言弹性力学基础理论平面问题的数学模型弹性力学问题的求解方法平面问题的实例分析总结与展望CONTENTS01引言CHAPTER弹性力学是研究物体在弹性范围内的应力、应变和位移关系的学科。弹性力学平面问题是经典弹性力学问题的一种，主要研究二维平面上应力和位移的变化。课程旨在帮助学生掌握弹性力学平面问题的基本理论和方法，为后续的学习和实践打下基础。课程背景介绍弹性力学的基本概念包括应力和应变。应力是指物体内部单位面积上所承受的力，通常用符号“σ”表示。应变是指物体在受力作用下的变形量，通常用符号“ε”表示。应变与应力之间的关系可以通过材料的弹性常数来描述。01020304弹性力学基本概念平面问题是指只在二维平面上存在的弹性力学问题。无限平面问题是指物体边界无限扩展，只在内部存在受力的情况。平面问题可以分为两大类：无限平面问题和有限平面问题。有限平面问题是指物体的边界是有限的，受到边界条件的影响。平面问题的定义与分类02弹性力学基础理论CHAPTER物体受力后，其形状和大小会发生变化，这种变化称为应变。应变位移应变与位移的关系物体受力后，其位置会发生移动，这种移动称为位移。物体的应变和位移是相互关联的，可以通过几何方程来描述。030201应变与位移关系物体内部单位面积上所受的力称为应力。应力作用在物体外部的力称为外力。外力物体的应力与外力是相互关联的，可以通过物理方程来描述。应力与外力的关系应力与外力关系描述物体在受力平衡时的状态，可以求解物体内部的应力分布。平衡方程描述物体的应变和位移之间的关系，可以求解物体的形状和大小变化。几何方程描述物体的应力与外力之间的关系，可以求解物体受到外部作用时的响应。物理方程弹性力学基本方程03平面问题的数学模型CHAPTER平衡方程01在直角坐标系下，弹性体的平衡方程为$\nabla\cdot\sigma=0$，其中$\sigma$为应力向量。几何方程02描述应变与位移的关系，用Green和Rivlin的形式表示为$\varepsilon=\frac{1}{2}(\nablau+\nablau^T)$，其中$\varepsilon$为应变张量，$u$为位移向量。物理方程03描述应力与应变的关系，根据Hooke定律，我们有$\sigma=\lambda\text{tr}(\varepsilon)I+2\mu\varepsilon$，其中$\lambda$和$\mu$是拉梅常数。直角坐标系下的基本方程在极坐标系下，弹性体的平衡方程为$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partialr}(r\sigma_{rr})+\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sigma_{\thetar}-\sigma_{rr})=0$。平衡方程在极坐标系下，应变与位移的关系仍然可以用Green和Rivlin的形式表示为$\varepsilon=\frac{1}{2}(\frac{\partialu}{\partialr}+\frac{\partialu^T}{\partialr})$。几何方程在极坐标系下，应力与应变的关系仍然满足Hooke定律，即$\sigma=\lambda\text{tr}(\varepsilon)I+2\mu\varepsilon$。物理方程极坐标系下的基本方程通常给定在边界上的位移、应力或力。例如，在某个边界上给定$u=g(x,y)$，而在另一个边界上给定$\sigma_{nn}=f(x,y)$。边界条件描述系统在初始时刻的状态。例如，在某个初始时刻$t=0$，给定$u(x,y,0)$和$\frac{\partialu}{\partialt}(x,y,0)$。初始条件边界条件与初始条件04弹性力学问题的求解方法CHAPTER解初值和边界条件根据问题的初值和边界条件，解出微分方程的解。定义变量和方程根据问题的性质，定义适当的变量，并建立描述问题的微分方程。分析解的性质对解进行进一步的分析，如分析解的稳定性、收敛性和误差等。解析法划分网格建立方程解方程分析结果有限元法01020304将问题所涉及的区域划分为由有限个单元组成的网格。根据问题的性质，建立每个单元的方程，并将其组合成总体方程。解总体方程，得到每个节点的数值解。对结果进行后处理，如分析应力、应变等物理量在单元之间的变化情况。将连续的问题离散化为由有限个离散点组成的集合。离散化根据问题的性质，建立每个离散点的方程，并将其组合成总体方程。建立方程采用适当的数值方法解总体方程，得到每个离散点的数值解。解方程对结果进行后处理，如绘制应力、应变等物理量的分布图。分析结果数值解法05平面问题的实例分析CHAPTER受均布荷载的简支梁是指一端固定，另一端简支，且在整个梁上受到均布荷载作用的梁。定义模型建立解析解法结果展示利用弹性力学基本方程，包括平衡方程、几何方程和物理方程，建立该问题的数学模型。通过解析方法求解该问题的应力、应变和位移分布。将解析结果以图表或数值的形式展示，便于学生直观理解。受均布荷载的简支梁01020304定义受集中荷载的悬臂梁是指一端固定，另一端自由，且在自由端受到集中荷载作用的梁。模型建立根据集中荷载的位置和大小，建立该问题的数学模型。解析解法通过解析方法求解该问题的应力、应变和位移分布。结果展示将解析结果以图表或数值的形式展示，便于学生直观理解。受集中荷载的悬臂梁圆筒形容器是指由圆筒形材料构成的容器，常用于盛装液体或气体。定义根据圆筒形容器的形状和所承受的压力，建立该问题的数学模型。模型建立通过解析方法求解该问题的应力分布。解析解法将解析结果以图表或数值的形式展示，便于学生直观理解。结果展示圆筒形容器的应力分析06总结与展望CHAPTER回顾平面问题的基本概念，如应力和应变、弹性模量和泊松比等。重点概念复习平面问题的基本方程，如平衡方程、几何方程和物理方程等。重点方程总结各种求解平面问题的解法，如解析法、有限元法和边