2015考研强化班绝密资料 第三讲 矩阵

第三讲矩阵

概念部分

矩阵的乘法

注意点：矩阵的乘法的两个规律，矩阵分解

1.矩阵乘法的定义和规律

乘法三要点：

①条件：矩阵4的列数和夕的行数相等.（左列右行）

如果/是矩阵，则6必须是〃xs矩阵（对m和s没有要求）.

②乘积46是“2xs矩阵.（左行右列）

③的（i,j）位元素=4的第i个行向量和占的第j个列向量对应分量乘积之和.

（左行右列）

应用：线性方程组可以用矩阵乘积表示.

设

/、

仇、为

a\\a\2。13。14

记x="则

b

（刎。21a22a23的42

*3

。32。33。34

|X|+q)X2+。]313+《4%)

。21%]+。22工2+。2313+^2%

AX144

“31*1+”32“2+”33*3+034*4)

AX=/3即

'a^x+ax

x{22+«|3X3+«14X4]

。元。工

a2[X]+a22X2+233+2144也就是

1。31工1+。32工2+。33工3+。34犬4)4

%+a]2X2+《3X3+。14工4=a

a2lxt+a22x2+。23%3+。2|4%4=b2

一31再+”32》2+a33X3+434尤4=hi

称{加?为方程组的矩阵式.

一个向量4是力旃例勺一个解=

矩阵乘法适合以下法则：

①对加法的分配律/（班。={A+B）OA&BC.

②数乘性质（”）庐C（第.

③结合律（A*0A（BO.

④转置律（AB），=B'Ar

⑤行列式性质:若力和8是两个n阶矩阵,则

\ABHA\\B\.

⑥单位律AE^A,EA=A.

但是矩阵的乘法与数的乘法有不同之处,除了有条件外,还要注意两个不同处：

①矩阵乘法无交换律.

如果AB=BA,则说A和8乘法可交换.

②矩阵乘法无消去律,即一般地

由/庐0推不出A=0或庐0.

由4比/C和AH0推不出庐C(无左消去律)

由游。和A/0推不出庐C(无右消去律)

2.n阶矩阵的方琳和多项式

方基设k是正整数，n阶矩阵/的k次方幕A”即k个/的连乘积.规定A°=E.

显然A的任何两个方基都是可交换的，并且方累运算符合指数法则：

①②(A~=A以.

但是一般地(AB)*和屋出不一定相等！

(A3f=ABABAB,AyB3=AAABBB

n阶矩阵的多项式

n,

设/(x)=amX+a,-X+…+卬X+劭，对n阶矩阵力规定

/(A)=A"-+...+a]A+a()E

称为A的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵£

由于交换性的障碍,小代数中的数的因式分解和乘法公式对于n阶矩阵的不再成立.如

等式

A2-B2=(A-B)(A+A2+AB-BA-B2

成立的充分必要条件是AB=BA.

如果所出现的n阶矩阵互相都是乘法可交换的，则乘法公式对矩阵也成立.例如当4和B

可交换时，有：

m

二项展开式成立：(A+B)〃=XC疗4'等等.

尸1

一个n阶矩阵/的多项式总可因式分解.如

E-A3=(E-A^E+A+A2)

同一个n阶矩阵A的两个多项式总是可交换的.

fU)gU)=gU)f(/f).

3.矩阵乘法的两个特殊规律及应用

①如果8=(4&…，氏)，则

AB^(A^,AJ32,---,AJ3SY

②如果4=（4，。2,…a"）/=（优也，…也）'，则=+b2a2+…

设=…，九），以与表示8的（i,j）位元素，则应用这两个性质可以得到:

%=A3=仇臼+b2ia2+…+bnian.

即:乘积矩阵用的第i个列向量九是4的列向量组a,,々，…，4的线性组合,组合系

数就是8的第i个列向量£的各分量.

应用之一：矩阵分解

矩阵分解：当一个矩阵8的每个列向量都是另一个矩阵/的列向量组的线性组合时，可以

构造一个矩阵C,使得斤AC.

例如设A=（“［，々，生），8=（。］,一2a2一。2+“3，卬+。3）令

‘121、

C=-2-10则B=AC

C1"

应用之二:特殊情况下求乘积矩阵的快速计算法

a।,a,^^3

'3-56V101W8-54、

27-3-111=一576

8八001-99

、09「

[=(6-a2,a2,at+a2+%)]

101Y3-56V.(3414)/,+/2

-11127一3y2=-1-11-1-/i+/+乙

98J%

001人098乃310

乘积矩阵的第i个行向量是8的行向量组的线性组合,组合系数就是/的第i个行向

量的各分量.

当两个矩阵中，有一个的元素很简单时，直接利用以上规律写出乘积矩阵的各个列向量

或行向量,从而提高了计算的速度.

4.对角矩阵和初等矩阵的乘法

（1）对角矩阵

'300、

（＜7,a2,a3）070=（3at,7a2,8a3）

1I。04

对角矩阵从右侧乘一个矩阵4相当于用它的对角线上的各元素依次乘1的对应列向量.

对角矩阵从左侧乘一个矩阵4相当于用它的对角线上的各元素依次乘/的对应行向量；

数量矩阵k£乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵.

两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.

求对角矩阵的方募只需把对角线上的每个元素作同次方塞.

(2)初等矩阵

定义:对单位矩阵£作一次初等变换,所得到的矩阵称为初等矩阵.

有三类初等矩阵：

以i,j)：交换£的i,j两行(或列)所得到的矩阵.

,1000、

0001

是4阶的£(2,4)

0010

100,

以i(c)):用非。数C乘£1的第i行(或列)所得到的矩阵.也就是把£■的对角线上的第i

个元素改为c.

’1000、

0100

是4阶的£(3(5))

0050

,0001,

以i,j(c))。声/)把后的(i,j)位的元素改为c.(把K的第j行的c倍加到第i行上所

得到的矩阵;或把第i列的c倍加到第j列上所得到的矩阵.)

000、

010-2

是4阶的£(2,4(-2

0010

,0001?

命题对矩阵/作一次初等行(列)变换相当于在左(右)边用一个相应的初等矩阵乘4

5.乘法的分块法则

矩阵乘法的分块法则是简化矩阵乘法的一种方法.对两个可以相乘的矩阵4和8,可以先

用纵横线把它们切割成分块矩阵(要求/的纵向切割和8的横向切割一致!)，再用它们来作乘

法.

两种常见的矩阵乘法的分块法则

(41A2%812]_jA]1%+4]2约1+绘鸟2

[An^22>1^21^22)1^21^11+^21^12+^22^22

要求4」的列数国和的行数相等.

准对角矩阵的乘法:

00、

,o42•••0

形如A=

0o…4,

的矩阵称为准对角矩阵,其中A,4,4都是方阵.

两个准对角矩阵

M.0•-0、出0•-0

0-00-0

41B2.

4=B二

0•0•

1°-Au•Bk7

7蜴0•-0、

0'Ci,0

如果类型相同，即4和B,阶数相等，则AB=

、00•■4%

二.矩阵方程可逆矩阵伴随矩阵

注意点：初等变换法

1.两种基本矩阵方程

在等式4作C中，如果已知C及A,8中的一个,求另一个.就提出下面两种基本形式的矩

阵方程：

（I）AX=B.（II）XA=B.

这里要求A是n阶矩阵，并且|刘不为0.这是为了这两个方程的解都是存在并且唯一的.

先讨论（DAX=B.

设6是nxs矩阵，则X也是nxs矩阵.

如果s=l,即8只有一列：B=/3,则（I）就是一个线性方程组AX=13.由克莱姆法则知它有唯

一解.此解可以用初等变换法求出：（川月）—（£|心.

如果s>l,设庄（0,饱…，阶,省（从石，…，/）.

贝IJ4上8即

（4儿/曲…,{丛）=（八鱼…,4）

o{/%=w，i=l,2,…，s}

这是s个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯一解,从而4/6有唯一解.

这些方程组系数矩阵都是A,可同时求解：

（川凡人,…，㈤f田儿版…

即得（D的解法：

将4和6并列作矩阵（⑷裂，对它作初等行变换，使得4变为单位矩阵,此时6变为解火

（II）的解法:对两边转置化为（I）的形式:4丁=4.再用解（I）的方法求出/,转置得Z.

（川月）—（£/）.

这个方法称为初等变换法.

2.可逆矩阵

（1）定义

定义设力是n阶矩阵，如果存在n阶矩阵〃使得/小£血=£则称/为可逆矩阵.

称H为4的逆矩阵,通常记作下.

（〃是唯一的，如果G也满足ARE,GA=E,则G-GE=GAH二EH=//.）

如果A可逆,则A在乘法中有消去律：

4辰On比0；/比/占庐乙（左消去律）；BA=OnB=O；戌1=。=>庆C（右消去律）

如果4可逆,则{在乘法中可移动（化为逆矩阵移到等号另一边）：

AB-CoB-A'C.BA=C=斤CA'.

由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法：

(I)/庐8的解声/8.(II)的解后员f.

(2)矩阵可逆性的判别,逆矩阵的计算

定理n阶矩阵/可逆

证明“n"对比f'=E两边取行列式，得|川|不|=1,从而141M.(并且|不|=|4尸.)

“<=”在定义中要求的〃是矩阵方程/游后和初=£的公共解.

因为|/及0,矩阵方程4右后和都有唯一解.设B,C分别是它们的解,即AB=E,CA=E.

问题是8,C是是否相同？

B=EB=CAB=CE=Q

计算A'的方法(初等变换法):解矩阵方程A^E,

储㈤f(冏不).

例如初等矩阵都是可逆矩阵,并且

j?(i,j)-£(i,j),Mi(c))--Mi(c-1)),E(i,j(c))-E(i,j(-c)).

以4阶的负2,4(-2))为例

例设46和「都是n阶矩阵，48都可逆，求下列2n阶矩阵的逆矩阵。

®TA0],②『A''.

、0句山0,

推论如果/和8者|5是n阶矩阵,则AB=EoBA=E.

即只要AFE或物=£中的一个式子成立,就得出A和6都可逆并且互为逆矩阵.

(3)可逆矩阵的性质：

①如果/可逆，则不，c/(cM)和才都可逆，并且

(“=(4》(cQ-T=(".

已经规定的矩阵的右肩运算有3种:T,k,-1,它们两两可交换先后次序.

②对于两个n阶矩A和B,

4和6都可逆0/8可逆，并且(/⑸

\A\\B|=|幽,

3.伴随矩阵

若4是n阶矩阵,记A”是|川的(i,j)位元素a“的代数余子式,规定A的伴随矩阵为

41

422

基本公式：

//*二力*4=|4月

。川o…C

0\A\-0

于是对于可逆矩阵A,有A(A*/|A|)=E

1=£/网

因此可通过求4*来计算这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.

和初等变换法比较，伴随矩阵法的计算量要大得多

4*=—十,

意义:用逆矩阵来求伴随矩阵.

力可逆时还有（力/|/|）/*=E.即

（心）T=A/\A\.

问题:右肩运算*与（-1）是否次序可交换？

（不）*=1/1（■『=〃3=a*）T.

利用/*=1划£可以把可逆矩阵的性质转化为伴随矩阵的性质:

①

②(才)*=(/*)1

③(cJ)*=clA*.

④a3*=不承;(/)*=(/*))

⑤(屋)*=1AR2A.

例题部分

计算题

关于方基

例11.设a=(1,2,3,4厂,£=(1,1/2,1/3,1/4Y，A=吵，，求A，.

A6^a/3Ta(3TapTaf3rapTa(3T=公炉式仍a1。'a'pa）。'

=缶，aja0r

11/21/31/4、

212/31/2

=47=45

33/213/4

1J

424/3

规律

（1）如果n阶矩阵A=吵7"，则A*=（夕7a）-A.

（2）n阶矩阵力可写为A=的形式or（A）＜l.

'10-2、

设A204，求A"

J0一2,

(1

A-2(1,0-2)有A"=(_1)"。

⑶乘法结合律的应用:遇到形如（3Ta的地方可把它当作数处理.

例2n维向量a=（〃,0,<0,A=,A”=七一侬丁,求a.

{E-aaT^E+a~xaaT>]=A4-1=E

Ej-+,a-1aaT-aaT-aaaTaaT-E

cTxaal-aa1-cTxaa1aa1-0,\aa1=2a2]

（a~[-l-2a）aar=0

ax-1-2〃=0

a—2a2=0,。=—1

例3A=E-a/3T，其中a,4都是n维非零列向量，已知A?=3E—2A，求a%.

A2=3E-2A

A2+2A-3E^0

（A+3E）（A-E）=0

（4E-明'）（-奶’）=0

Aa（3T-a（3T-af3T=0

（A-pTa）apT=Q

[a,/3都是非零列向量，a（3T不是零矩阵]

=4-夕a=0,"'a=4

aTp=pTa=4

（\01丫

例4求020

JoL

解记此矩阵为4先求它的低次方塞，找出规

’10ivion’202]

律.A?=020020040=2A

JUob

J0302,

则A"=A"TA=2"TA.

，oioV0"

例5求-101

、0T0,

'01oYo10、'-101、

解记此矩阵为4A2=-101-1010-20

,0-10人0T0,、1Of

-10、010、fo-201

A3=0-20-10I20-2-2A即A2A=—2A

10-1人0-102OJ

’100、

则A20"=(A2)'°°5A=(-2),005A=-2I005A.A=101

、01o>

’100、

例6设A=101(1)证明当〃>1时A"=A"-2+A2—£.(2)求A”.

、010,

解(1)A"=A"-2+A2-E即

A"-A"-2=A2

2222

A"-(A-£)=A-A(A-E)=A2-E

直接检验A（A2-£）=A?—E

’10oYI00、100、q00、'100、00()、

A2-E=10i101010i10010100

、01o101300bj0b(001J10OJ

’1ooYooo）,000、

A（A2-E）=101100100=T-E

、010人10ojJ00,

（2）利用公式求A"=An-2+A2-E.

n是偶数时：A'°=A*5+A?-E=A*+2（A2-E）=A4+3（A2-£）=A2+4（A2-E）

=5（A2-E）+E

一般地屋*=k（A2-E）+E.

n是奇数时：A2k+l=A4（A2-E）+A=k/（A2-E）+A.

ri23y

例7求012

、001,

r023]

解记此矩阵为4则4=002+E=B+E

00,

因为6和£乘积可交换,对A10=伊+E)10.可用二项展开式

10

(8+。。=£。；06g.

/=I

注意矩阵6满足：

’004、

B2=000，而当〃〉2时8”是零矩阵.

、000,

w2

A=Cf0B+Cf0B+E

'120210、

=45B2+10B+E=0120

0007

推广:本题的方法适用于对角线元素相等的上（下）三角矩阵.

0OY''2"00、

例8证明a10=。(2"-1)10

0b02"-l)01

97

解方法一用归纳法.

n=l时显然对.

如果对k对,证明对k+1也对.

’200?(2k00、

a10=a(2k-1)10

1J1)

001

/

ooV+,'2k00、’200、'2kx200、

则a1010a10=a(2k-l)x2+«10

oU1)01/901,-l)x2+b01

'2*x200、

=a(2k-1)10

02*—1)01,

方法二用二项展开式

’200、’100、

a10=A+E,其中A=a00

0b300,

注意到A?=A,从而A"=A(对所有正整数k).则

「200、/、

〃(n\、

a10=(A+©"=Z。；A+E=(2"-')A+E

’2"00、

=a(2"-1)10

、伙2"-1)01,

矩阵分解

例9设4为3阶矩阵，是线性无关的3维列向量组,满足

A%=%+%+%，A%=2a2+%，A%=2a2+3%・

求作矩阵8,使得(%，。2，。3)8.

解A(al,a2,a3)=(<Aal,Aa2,Aa?t)=(a]+a2+a3,2a2+a3,2a2+a3)

<100、

=(%+%+%)122.

11―

例10已知四,七都是3阶矩阵力的特征向量,特征值分别为-1和1,又3维向量出满足

]

Aa3=%+%P=求PAP,

解记3=P-AP,BPAP=PB，或4(%,%，％)=(%，％，%)8.

Aat=-a^Aa2=a2,Aa3=a2+6z3.

A(<al,a2,a3)=(Aal,Aa2,Aa3]=(<-al,a2,a2+%)

p00、

={a1,a2,aA011.

[o0b

例11设3阶矩阵

4=(，，02，03),|4=1,8=(%+a2+a3,a}+2a2+36^,4+4a2+9<z3),求

\B\.

WB=(%+er2+&3，%+2a2+3a3,%+4a2+9a3)

(\11、

=(a],a2,a3,j124

1139)

11

24=2

39

例12«3是线性无关的3维向量组，3阶矩阵4满足

Aal=ax+2a2,Aa2=oc2+2«3,=cr3+2%求|/|

解4(%,a2,a3)=(Aai,Aa2,Aa3)=(al+2a?,a2+2a3,a3+2%)

P02、

=(«|,«2,«31210

1021,

111

同1%,02，4|=lai，%，%1124

139

111

.|A|=124=9

139

作业题

/4XaA4-他2仇+〃C]2Cj+/nax

已知ab"2+业?a

22Ab2+/JC24c2+P2

b

“33Aa3+即劝3+“3AC3+jLia3

例133维向量外,。2，%，/1，尸2，，3满足

a\+a：&2/3\_/?2-0,3al-汲+万一四=0,-磁+公一氏+/?k0,

已知Q,«2,圆|刊求四，仇,向|.

解。\+。沪-2%+仇,3al-公=一乃+四，-a力B「仇、

（ai+aj,3«1-«2,一酸+磁）二（一24+四,一夕1+四，仇邛〉

01(-2

-1=(以血血)101

1J〔o1-L

130-2-10

(%,%,%)0-1-1=(A，&四)1o1

10101-1

0"fi'--4a.

例14设4是3阶矩阵，a是3维列向量，使得/Ha,Aa,才a)可逆,

并且A'a=3Aa~2jfa.

⑴求8,使得去阳，.

⑵求㈤£|.

解⑴炉必产即止=%或4(a,4a,#a)=(a,la,1a)8.

/I(a,Aa,/a)=(4a,/a,A'a)=(/la,/fa,3/«-2#a)

'000、

=(0,4%笛£：]03

、01_2,

(2)A+斤PBP'+PP'=?(加£)尸.则

100

\A+E\=\B^E\=113=-5

01-2

关于乘法的分块法则

例15设4和6都是n阶矩阵.记

月弋*=（：

⑴求价和GIL

（2）证明|£T8|=|氏以|.

解（1）利用矩阵乘法的分块法则:

”G弋X-；)=(：E>

E—AYEA\_(E-AB

GH=

0EBE旦B9

⑵②1=1加G|=|G|㈤=|第，而

\IIG\=\E-BA\,\GH\=\E-AB\.

(1)如果；1=0显然卜阴=|一刚

RA

(2)如果/IwO左边;)右边4元'(1一8一)

AA

关于逆矩阵的计算，矩阵方程求解

16A,B和C都是n阶矩阵,A.B都可逆，求下列2n阶矩阵的伴随矩阵.

A、

0,

解因为A,8都可逆,所以这几个矩阵都可逆.于是可利用它们的逆矩阵来求伴随矩阵.

①0]的逆矩阵可用初等变换法计算：

[0乌

70E0、E0A-10)

->

oB0E0E0

\)

foo忸|A*o、

9IWJ=l0\A\B\

②F力,逆矩阵也可用初等变换法计算:

[o力a。[a。。后]rE00

U00£」一＞[04EoJf〔OEAoJ

ro勺的逆矩阵为roB'、

〔8oj〔4工

15oj=d)n|j||5|/'oj=(l)"||5|/l*0J

③T4G的逆矩阵用”待定系数法”力算：即设它的逆矩阵为「为近

，求4

0BD）\D2,2

A6^Di=rAD\\^CIh\AD\2^CDr>、=ao]

0BjD2ABDz\BD2.20E

则劭2=0,得。尸0（因为夕可逆）.

盟2二£得打2二3二

力为+微尸七得〃尸力二

加2+勿2=0,得。2二-不CB1

{

cAqT,力7-ACB<

[0句二[0B~]J.

CAfr\B\J*-*朋、

〔0B\=Io\A\B^o

④

例17

3-5r

设3阶矩阵，A=1-10A'XA=XA+2A,求X.

-102,

A-'XA^XA+2A

A-'X=X+2E

X^AX+2A

（E-A）X=2A

-25-16-102、

（E-A|2A）=-1202-20

0-1-202

7、

（-\202-20、r-i202-20

01-12-62f010-242

02-10-24001-4100

77

100-6104、-6104、

010-242X=-242

001-4100-410

7o>

例184阶矩阵A,6满足/劭T=Hf'+3£已知

（\000、

00

，求B

10

（0-308,

解：ABA'=BA'+3E

AB=B+3A

A*AB=AtB+3A，A

忸=A*3+3|HE

|A*|=8=|A|3网=2

2B=A*B+6E

B=6(2£-A*)T

'10001000、

01000100

4*忖=

-10100010

、030-60001/

"10001000、"10001000、

0100010001000100

->—>

0010101000101010

、000-60-301,、000101/20-1/6,

'6000、

0600

B=

0060

,030-1,

'100](100、

例19设A=020,B=2-10,月=6月求了

、00-JQi1>

X=BAB】

x4=(BAR1)4=(BAR'\BAB'\BAB'\BAB')

=BA48TX4B=BAi

‘100、

A4=0160

、001,

(122122、’1001-3030、

747

(B|AB)=o-110-1616->010016-15

00100b01001)

'1-3030](100、

(X，T=016-15,所以X4=-30160

1J(30-15

、00L

'324、‘1-20、2、

例20已知，A=032,B=167,c=21%4=2不叨求XC.

、003>(4-22JJ0J

X(A—2E)=8先求出Y,后得C=(A—2E)Y,则XC=BY

’12432、(\00-10、

(A-2E\C)=01221f01001

11oj10011

0

‘-10、(1-20-10、f-1-2、

Y=01XC=16706

J0,(4-221-2-2>

例21设3阶矩阵4的各行元素之和都为2,向量4=(-1,11)，4=(2,-1,1)”都是齐

次线性方程组AX=0的解.

求A.

a\।“12。13

解:方法一：设人=

a2la22%3，则

«31。32。33J

an+《2+《3=2

+a,2+=2

a3i+ai2+a3i=2

—Q[]++。13=0

<一。21+。22+。23=0

一。31+a32+。33=°

2。“一。12+。13=0

24]一出)+。23=0

2%]-%。+。33=0

(-1、

A1

J

0O'

00

00,

‘111222

f022222

-31-4-4-4y

"100111]pool11'

f011111f0103/23/23/2

-1J1^001-1/2

000-1-1-1/2-1/2,

q3/2-1/2、

A=13/2-1/2

J3/2-1/2,

二.概念与论证

例22设/是3阶矩阵,交换1的1,2列得B,再把8的第2列加到第3列上,得C求

Q,使得OAQ.

’000、(\00]仅1oYio0)仅11、

8=A100C=B011100011=A100

01)[o0山0J1。

0"1°0b

‘011、

Q=100

、0。L

(令一方法：设4=(%,%，%)B=(a2,a{,ay)

p11、

C=100)

〔001,

例23设/是3阶可逆矩阵,交换力的1,2行得氏则

(A)交换/*的1,2行得到毋.

(B)交换/*的1,2列得到声.

(0交换4*的1,2行得到-加.

(D)交换4*的1,2列得至卜炉.

答案:D.利用伴随矩阵与逆矩阵的关系，A*=|HAT

’010、010<0ioY1

8=100AB*=|B|B-110O|A|A-'100

110

、00b000L

’010、‘010、

=-|A|AT]00=-A*100

、00L、0o1>

例24设/是n阶非零实矩阵,满足力*=/.证明：

(1)|/f|>0.

(2)如果n>2,则H|=l.

A*=(4)•A*=A'O(4)'=(%)'O&=aij

■I222

⑴园=qA+•••+%“&“=即+%2+-••+«,„

222

|A|=a(1+a,.2+---+a(>,,i=

因为A不等于0,总有元素RO则

।I2222

I川=%-+…+%+'"+akn-akl>0

(2)AA，=AA*=ME得图T=in|H=i

例25设3阶非零实矩阵A满足4*=/,a产a,a12=a31-2a,求a.

A*=A，=4Vi,j

|A|=+a21A2i+a3,Ai="i：+々2:+"3「