线性代数 课件 第二章 矩阵

矩阵第二章高等职业教育公共基础课新形态教材线性代数矩阵的概念012.1矩阵的概念定义：由m◊n个数排成的m行n列的数表叫m行n列矩阵，为矩阵A第i行第j列的元素。2.1矩阵的概念在矩阵中，当m=n时，称A为n阶矩阵或n阶方阵，记作；当m=1时，称A为行矩阵，此时矩阵；当n=1时，矩阵称为列矩阵。2.1矩阵的概念主对角线（从左上角到右下角的对角线）上的元素，其余的元素都是零的n阶方阵，叫作对角矩阵。2.1矩阵的概念主对角线上的元素都是1的对角矩阵，叫作单位矩阵，记作I。2.1矩阵的概念主对角线一侧的元素都是零的方阵，叫作三角矩阵。2.1矩阵的概念把矩阵A的行与列依次互换所得的矩阵称为A的转置矩阵，记作。矩阵的性质及运算022.2.1矩阵相等定义1：如果两个矩阵，的行数和列数分别相同，并且各对应元素相等，则称矩阵A与B相等。A=B2.2.2矩阵的运算矩阵的加法和减法：两个m行n列的矩阵和的对应元素相加而得到的矩阵，称为A与B的和，记作A+B。同样，可以定义矩阵A与B的差。2.2.2矩阵的运算两个m行n列的矩阵相加（减）得到的和（差）仍是一个m行n列的矩阵，容易验证，矩阵的加法和减法满足以下规律：①加法交换律：A+B=B+A②加法结合律：（A+B）+C=A+（B+C）③A-B=A+（-B）2.2.2矩阵的运算①分配率：数乘矩阵：数K与矩阵的每个元素相乘所得到的矩阵，称为数K与矩阵A的乘积，记作kA.数乘矩阵满足以下规律：②结合率：2.2.2矩阵的运算矩阵乘法：在进行矩阵乘法运算AB时，只有当左矩阵A的列数与右矩阵B的行数相等才能进行，称为A左乘B，或者B右乘A，并且AB的行数等于A的行数，AB的列数等于B的列数。2.2.2矩阵的运算矩阵A与B的乘法不满足交换律是由：①当AB存在时BA未必存在。②AB与BA均存在，但它们不一定是同阶的。③当AB与BA为同阶方阵时，二者也不一定相等。但是可以证明矩阵的乘法满足下面的规律：①结合律：（AB）C=A（BC）；k(AB)=(kA)B=A(kB)，其中k是任意常数。②分配律：A（B+C）=AB+AC，（B+C）A=BA+CA.2.2.2矩阵的运算对于矩阵乘法还应注意以下几点：①矩阵相乘不满足消去律。②两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。③将k个方阵A相乘，记为。AC=BC，且C≠0，但是A≠B2.2.3矩阵的转置定义2：把矩阵的行列对换所得到的矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为.2.2.3矩阵的转置矩阵的转置满足下列规则：①②③④定义3：若矩阵A满足，则称A为对称矩阵。2.2.4放阵的行列式定义4：设A为n阶方阵，它所对应的n阶行列式称为方阵A的行列式。矩阵的初等变换与矩阵的秩032.3.1矩阵的初等变换将任意一个方程组进行以上三种变换所得到的新方程组与原方程组式同解方程组，这三种变换称为线性方程组的初等变换。求解过程运用一下三种变换方法：①交换两个方程的位置；②用一个非零的数乘以方程；③用一个非零的数乘以某个方程后加到另一个方程上。2.3.1矩阵的初等变换定义1：对矩阵的行（列）做以下三种变换，称为矩阵的初等行（列）变换。①交换矩阵的任意两行（列）；②用一个非零的数乘以矩阵的某一行（列）；③用一个非零的数乘以矩阵的某一行（列）后加到另一个（列）上。矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换。2.3.2矩阵的秩定义2：在m行n列的矩阵A中任取k行k列，由位于这些行、列相交处的元素所构

成的行列式，叫作矩阵A的k阶子式。定义3：矩阵A中不为零的子式的最高阶数r，称为矩阵A的秩，记做R（A）。R（A）=r逆矩阵042.4.1逆矩阵的概念定义1：设n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵C，使得AC=CA=I，则称A是可逆的，

C叫作A的逆矩阵，记作。==I2.4.2逆矩阵的性质①如果A有逆矩阵，则其矩阵是唯一的。逆矩阵的性质：②A的逆矩阵的逆矩阵是A，即③如果n阶矩阵A、B的逆矩阵都存在，那么它们乘积的逆矩阵也存在。2.4.3逆矩阵的求法定义2：如果n阶矩阵A的行列式detA≠0，则称A为非奇异矩阵，否则称A为

奇异矩阵。定理1：n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A为非奇异矩阵，并且式中称为A的

伴随矩阵。是A的元素的代数余子式。2.4.4用逆矩阵解线性方程组对于矩阵方程AX=B，如果存在，那么.=X矩阵的应用052.5.1编制通信密码把英文句子编成密码：TOARMS！2.5.2投入产出分析在从事任何一种经济活动时，必然要投入一定的财