机械工程控制基础学习指导 课件 第二章 拉普拉斯变换的数学方法

机械工程控制基础学习指导高等院校公共课系列精品教材拉普拉斯变换的数学方法第二章内容摘要01复数和复变函数1.复数复数s=σ+jw,其中σ,w均为实数，分别称为s的实部和虚部，记作σ=Re(s)a=Im(s)

为虚单位。2.复数表示法有四种(1)点表示法：复数s=σ+jw可以用复平面中坐标为(σ,w)的点来表示。(2)向量表示法：复数s=σ+jw可以用从原点指向点(σ,w)的向量来表示，向量的长度称为复数s的模或绝对值，表示为

;向量与σ轴的夹角0称为复数s辅角，即

。(3)三角表示法：s=σ+jw=r(cosθ+jsinθ)。(4)指数表示法：由欧拉公式eJ⁰=cosθ+jsinθ,故复数s的指数表示为s=rej⁰。复数和复变函数3.复变函数对于复数s=o+jo,若以s为自变量，按某一确定法则构成的函数G(s)称为复变函数，G(s)可写成,u,v分别为复变函数的实部和虚部。当s=Z₁,…,zm时，G(s)=0,则称z,…,zm为G(s)的零点；当S=P1,…,Pn时，G(s)=∞，则称P₁,…,Pm为G(s)的极点。拉氏变换与拉氏反变换的定义1.拉氏变换有时间函数f(t),t≥0,则f(t)的拉氏变换记作L[f(t)]或F(s),并定义为s为复数称f(t)为原函数，F(s)为象函数。(1)在任意一个有限区间上，f(t)分段连续，只有有限个间断点。(2)当→…时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即满足|f(1)|≤Me“,式中M,a均为实常数。2.拉氏反变换当已知f(t)的拉氏变换F(s),欲求原函数f(1)时，称为拉氏反变换，记作,并定义为如下积分式中，σ为大于F(s)所有奇异点实部的实常数。(奇异点，即F(s)在该点不解析，也就是说在该点及其领域不处处可导)。典型时间函数的拉氏变换1.单位阶跃函数

3.单位斜坡函数2.单位脉冲函数4.指数函数5.正弦函数6.余玄函数7.幂函数拉氏变换的性质1.线性性质拉氏变换是一个线性变换，已知函数f(1),f₂(1)的拉氏变换分别为F(s),F2(s),若有常数K,K,则L[Kf(t)+K,f₂(1)]=K,F(s)+K₂F₂(s)。2.实数域的位值定理(延时定理)若f(1)的拉氏变换为F(s),则对任意正实数a,有

。f(t-a)是函数f(1)在时间上延迟了α秒的延时函数。当t<a时，f(t-a)=0。拉氏变换的性质3.复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任意常数a(实数或复数),有:

L[e"f(4]=F(s+a)4.微分定理若时间函数f(t)的拉氏变换为F(s),且其一阶导函数f(t)存在，则为由正向使t→0时的f(t)值。拉氏变换的性质5.积分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则式中，在t→0时的值。6.初值定理若函数f(t)及其一阶导数是可拉氏变换的，则函数f(1)的初值为即原函数f(t)在自变量t趋于零(从正向趋向于零)时的极限值，取决于其象函数F(s)的自变量s趋于无穷大时sF(s)的极限值。拉氏变换的性质7.终值定理若函数f(t)及其一阶导数是可拉氏变换的，并且除在原点处有唯一的极点外，sF(s)在包含ja轴的右半s平面内是解析的(即当t→…时f(1)趋于一个确定的值),则函数f(t)的终值为。8.卷积定理若F(s)=L[f[1]],G(s)=L[g(1)],则有式中，积分,称为f(t)和g(t)的卷积。拉氏变换的数学方法已知象函数F(s),求原函数f(t)的方法如下：(1)查表法，即直接利用常用时间函数的拉氏变换对照表，查出相应的原函数，这种方法适用于比较简单的象函数。(2)有理函数法，它根据拉氏反变换的公式求解，由于公式中的被积函数是一个复变函数，所以须用复变函数中的留数定理求解。(3)部分分式法，它是通过代数运算，先将一个复杂的象函数化为数个简单的部分分式之和，再分别求出各个分式的原函数，这样总的原函数即可求得。(4)使用MatLab函数求解原函数。拉氏变换的数学方法1.部分分式法求原函数(1)F(s)无重极点的情况将F(s)展开成简单的部分分式之和。式中，K₁,K₂,…,K,为待定系数。求得系数后，则F(s)可用部分分式表示为F(s)的原函数为。

(2)F(s)有重极点的情况假如F(s)有r个重极点P₁，其余极点均不相同。F(s)的部分分式展开式为式中，的求法如下。拉氏变换的数学方法(2)F(s)有重极点的情况其余系数

的求法与F(s)无重极点的情况所述的方法相同，即

求得所有的待定系数后，F(s)的反变换为2.使用MatLab函数求解原函数利用MatLab函数residue完成原函数展开成部分分式，将原函数的有理分式的分子和分母多项式的系数作为输入数据，调用resid