2024年高考第一次模拟考试数学（新高考Ⅱ卷02）（全解全析）

2024年高考数学第一次模拟考试数学（新高考Ⅱ卷）·全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．设全集U=R，集合A={x||A．{x|-3<xC．{x|1<x【答案】A【分析】解不等式确定集合A,B，再根据集合运算的法则计算．【详解】因为∁UB={x|(x+3)(x-2)<0}={x|-3<x<2}，所以∁U故选：A.2．已知z=5+5i2+i（i为虚数单位），则zA．4 B．3 C．32 D．【答案】C【分析】根据复数的除法运算以及共轭复数的概念，即可由模长公式求解.【详解】因为z=5+5i2+i=则z-2z=3+i-23-i故选:C．3．已知正三棱锥P-ABC的侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=1A．36 B．33 C．32【答案】B【分析】球的半径相当于点P到底面ABC的距离，运用等体积法即可求解.【详解】设球的半径为r，由题可知AB=AC=BC=2，S所以13⋅r⋅故选：B.4．若sinπ2+α+A．-33 B．-13 C．【答案】C【分析】按照两角和的余弦公式及诱导公式化简条件，再利用辅助角公式变形，进一步计算即可.【详解】方法一∵sin=∴cosα+∴cos11π故选：C.方法二∵sin=∴sinα-令β=α-π3，则α=β+π∴cos11π故选：C.5．在正方形ABCD的每一个顶点处分别标上1,2,3,4中的某一个数字（可以重复），则顶点A,B处的数字都大于顶点C,A．36种 B．48种 C．24种 D．26种【答案】D【分析】按顶点A,B处标注的数字分类讨论，利用分类加法和乘法计数原理即可求解.【详解】按顶点A,B处标注的数字分类，有如下几种情况：若A,B处都标注的是4，则C,D处的标注方法有3×3=9（种）；若A,B处都标注的是3，则C,D处的标注方法有2×2=4（种）；若A,B处都标注的是2，则C,D处的标注方法有1种；若A,B处标注的是4和3两个数字，则C,D处的标注方法有2×2=4（种），不同的标注方法共有2×4=8（种）；若A,B处标注的是4和2两个数字，则C,D处的标注方法有1种，不同的标注方法共有2×1=2（种）；若A,B处标注的是3和2两个数字，则C,D处的标注方法有1种，不同的标注方法共有2×1=2（种）.由分类加法计数原理可知，顶点A,B处的数字都大于顶点C,D处的数字的标注方法共有9+4+1+8+2+2=26（种）.故选:D.6．已知第一象限内的点P在双曲线C:x216-y29=1的渐近线上，O为坐标原点，FA．503 B．1003 C．758【答案】C【分析】根据双曲线的渐近线方程可设Pt,34t【详解】由题意，F5,0，双曲线的渐近线为y=±由点P在第一象限，可设Pt,则PO=54所以PFPO所以当t=5时，PFPO此时P5,此时△POF的面积S△POF故选：C.7．在△ABC中，BD=13BC，E是线段AD上的动点（与端点不重合），设CEA．3 B．1 C．2 D．4【答案】D【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得x+32y=1，x>0,y>0【详解】

因为BD=13因为CE=xCA+y因为A,D,E三点共线，所以x+32y=1所以2x+3y=2x3y+1+1+3y2x≥22x3y所以2x+3y3xy的最小值是4故选：D8．已知a=13e，b=A．b<c<C．c<a<【答案】D【分析】根据正弦函数和余弦函数单调性得到c=sin(cos1.1)<sin12，再构造函数fx=x-sinx，得到其单调性，得到c=sin(cos1.1)<sin12<1【详解】因为1.1>π3，而y=cosx在故cos1.1<cosπ又y=sinx在x∈0,故c=sin(cos1.1)<sin1令fx=x-sinx，则f'x故fx=x-sinx在x∈0,故f12>0故c=sin(cos1.1)<sin1又a=13e则g'x=ex-1故g-13因为23<32，所以因为y=log3x故log3又log32>log故c<b<a故选：D【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知圆C:x-22A．存在实数k，使得直线l与圆C相切B．若直线l与圆C交于A，B两点，则AB的最大值为4C．当k=-1时，圆C上存在4个点到直线l的距离为D．当k=1时，对任意λ∈R，曲线E:x【答案】BCD【分析】根据直线与圆的位置关系逐项判断即可.【详解】C:x-22+y2因为直线l:y=kx过定点O0,0，且点O在圆上，若直线l与圆C相切，则直线l的斜率不存在，即x=0，故A当直线l经过圆心时，AB取最大值即圆的直径2r=2×2=4，故B正确；当k=-1时，直线l:x+y=0，因为圆心C到直线l的距离d=22=所以圆C上有4个点到直线的距离为12，故C当k=1时，直线l:x-y=0，曲线E:x即x2+y2-4x-λx-y故选：BCD．10．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)=12，PA．P(ABC．P(A|【答案】AB【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式求解即可.【详解】因为P(A)=12，P(B)=1124，所以因为AB与AB为互斥事件，所以所以P(=P(B)-P(AB)+P(A)-P(AB)=12+所以P(AB)=1故P(AB)=P(B)-P(AB)=11P(A+B)=P(AP(A|B)=P(AB)P(B)=1P(A|B)=P(所以P(A|B)≠P(B|A)故选:AB.11．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，ABA．当B1P//平面A1BD时，B．当λ=μ时，|C．若B1P与平面CC1D1D．当λ=1时，正方体经过点A1【答案】AC【分析】A选项，当点P与点D1重合时，满足B1P//平面A1BD，B1P与CD1所成夹角为π3，A正确；B选项，将两图形展开到同一平面内，由三点共线得到|DP|+|A1P|的最小值，由余弦定理求出最小值；C选项，作出【详解】如图1，因为CP=λCD+μ所以P点在正方形CDD当点P与点D1重合时，B因为B1P⊄平面A1BD，所以B1P//平面此时B1C=B故B1P与CD1所成夹角为

当λ=μ时，点P在对角线CD将矩形A1BCD1和等腰直角三角形

连接A1D与D1由三点共线可知，|DP|+|A其中A1D1由余弦定理得A1D=AC选项，如图3，以C1为圆心，CC1的长为半径作圆，与正方形CD

此时满足B1P与平面CC故则点P的轨迹长度等于14×2π×1=πD选项，如图4，当λ=1时，CP=CD+μCC1故点P在线段DD在BB1上取点H，使得B1则可证得A1H=PC,CH=A故正方体经过点A1,P,C的截面为平行四边形以A为坐标原点，AB,AD,AA1所在直线分别为则A10,0,1,C其中m=A1PA则PA则点P到直线A1C=2因为μ∈[0,1]，所以d=2

故截面面积为d⋅A1C=故选：AC【点睛】方法点睛：立体几何中截面的处理思路：（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；（3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.12．已知函数f(x)=x2-8A．f(xB．实数m的取值范围为(6C．曲线y=f(xD．x【答案】ABD【分析】求出导数，研究函数f(x)的单调性及极值可能判断A、B两项，由导数的几何意义可以判断C项，构造函数F(x)=f(x)-f(2-x)，x∈(0,1)，可以判断D项.【详解】解：对于A，由题设得，函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且f'当x∈(0,1)∪(3,+∞)时，f'(x)>0；当x∈(1,3)时，所以f(x)的单调递增区间为(0,1),(3,+∞)，单调递减区间为(1,3)，故A正确．对于B，因为函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增，所以f(x)的极大值为f(1)=1-8+0=-7，极小值为f3当x趋向于0时，f(x)趋向负无穷，当x趋向于正无穷时，f(x)趋向于正无穷．由于函数g(x)=f(x)-m有三个零点，因此6ln3-15<m<-7，故B正确．对于C，由已知条件，得f2=6ln2-12，所以切线方程为y=-x-2+6ln2-12，即y=-x+6ln2-10，故对于D，由选项B的分析知，0<x构造函数F(x)=f(x)-f(2-x)，x∈(0,1)，则F'所以F'x>0在(0,1)上恒成立，即F(x)=f(x)-f(2-x)所以F(x)<F(1)=0，即f(x)<f(2-x)在(0,1)上恒成立．又x1∈(0,1)，所以又x2,2-x1∈(1,3)所以x2>2-x1，即故选：ABD．第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若3x-1xn的展开式的二项式系数之和为16，则3【答案】56【分析】通过二项式系数和求出n=4，然后求出3x+【详解】由3x-1xn的展开式的二项式系数之和为16则3x+1令8-4r3=-4，解得r=5，故3x+1故答案为：5614．抛物线y2=2pxp>0的焦点为F，准线为l，A,B是抛物线上的两个动点，且满足AF⋅FB=0.设线段AB的中点M在【答案】2【分析】根据抛物线的定义和几何性质，可得AB2=AF2+BF2，MN【详解】

如图，过A点作AC⊥l，过B作BD⊥l，设AF=m，BF则由抛物线的定义知BD=BF=n由题意知MN=因AF⋅FB=0AB2因m2+n2≥所以AB2≥2MN所以2MN故答案为：215．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为a，在线段AB上取两个点C，D，使得AC=DB=14AB，以CD为一边在线段AB的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2记第n个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为Sn，现给出有关数列S①数列Sn②数列Sn③存在最小的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn>2018④存在最大的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn其中真命题的序号是（请写出所有真命题的序号）.【答案】②④【分析】通过分析图1到图4，猜想归纳出其递推规律，再判断该数列的性质，即可求解．【详解】由题意，得图1中线段为a，即S1图2中正六边形边长为a2，则S图3中的最小正六边形边长为a4，则S图4中的最小正六边形边长为a8，则S由此类推，Sn所以Sn为递增数列，但不是等比数列，即①错误，②因为S=a+2a(1-即存在最大的正数a=20185，使得对任意的正整数n，都有即④正确；③错误，综上可知正确的由②④．【点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论．16．已知函数fx=x2-6x,x≤3kx-3【答案】2【分析】先通过对题目的分析，令gx=fx+9，将题目简单化，并转化为等价形式；再根据函数y=gx与y=m的图象有两个交点，数形结合可判断k>0；最后结合图形分析得出y=kx-3与y=【详解】令gx=fx则原问题等价于存在m∈2,8使得y=gx与y=m的图象有两个交点且两交点的横坐标之和为6则k>0，作出函数y=gx与y=m的图象设两图象交点的横坐标分别为x1,x故两个交点关于二次函数y=x-32的图象的对称轴设点P为y=kx-3与y=x-32x>3联立y=kx-3与y=x-32x>3，解得故2<k2<8k>0，解得2<k<22故答案为：2,2【点睛】关键点点睛：根据两个实数根之和为6得到两个交点关于直线x=3对称是解决本题的关键.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。17．（10分）记数列an的前n项和为Sn，已知a1(1)求数列an(2)记数列bn的前n项和为Tn，若b3n=2n-【答案】(1)a(2)-36672【分析】（1）利用an=S（2）求出b3n+【详解】（1）因为Sn+1+Sn+a两式相减可得an+1+a且当n=1时，S2+S所以an是首项为-6，公比为所以an即an（2）因为b3n则T=-3×=-3×218．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知4(1)求角C的大小；(2)若S△ABC=2+【答案】(1)C=(2)1【分析】（1）利用三角恒等变换对原式化简，结合三角形的内角和为π，即可求解；（2）根据面积公式求得ab=2+3，再利用余弦定理以及基本不等式可得出c的取值范围，即可得解【详解】（1）由题意知，原式可化为2cosA-B即2cosAcosB+sinAsinB整理可得：2cosA+B=-3又因为A+B+C=π，则0<C<π，所以cosC=32，故（2）因为S△ABC=1由余弦定理和基本不等式可得：c2当且仅当a=b=2+所以c≥1，故c的最小值为1.19．（12分）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AD⊥AB，BC=2AD=6，AB=3，AC与BD交于点M，将△

(1)证明：BD⊥(2)若平面PBC与平面PBD的夹角的余弦值为77，求三棱锥P-【答案】(1)证明见解析(2)3210【分析】（1）求得tan∠ADB=tan∠CAB，进而得到AC⊥BD（2）以M为坐标原点建立空间直角坐标系M-xyz，设P0,cosθ,sinθ，由平面PBC与平面PBD的夹角的余弦值为77，解得cosθ，sinθ【详解】（1）∵tan∠ADB=ABAD=∵∠ADB,∠CAB∈(0,∴∠ADB=∠CAB，∴∠ADB+∠MAD=∠CAB+∠MAD=π∴AC⊥BD，即AM⊥BD，CM⊥BD，∴PM⊥BD，CM⊥BD，又PM∩CM=M，PM,CM⊂平面PMC，∴BD⊥平面PMC，PC⊂平面PMC，∴BD⊥PC；（2）直角△ABC中，AC=A∵AD∥BC，∴AM∴AM=1，CM=2，BM=A则BD=由（1）BD⊥平面PMC，以M为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系M-xyz，

则B2,0,0，C0,2,0设P0,cosθ,sinθ，其中0<θ<π所以MB=2,0,0，CB设平面PBD的一个法向量为n=则n⋅取y1=sinθ，设平面PBC的一个法向量为m=则m⋅取y2=sinθ，则cosm解得cosθ=45，sinθ=35或则P0,4故VP-BCD=120．（12分）已知某工厂加工5G手机的某种精密配件的合格率为p0<p<1，若加工后的30件这种精密配件中恰有6件不合格的概率为fp(1)求p0(2)设该工厂加工5G手机的这种精密配件的合格率为p0，在合格品中，优等品的概率为①从加工后的这种精密配件中随机抽取若干件，设其中优等品有X件，若PX②已知某5G手机生产商向该工厂提供这种精密配件的原料，经过该工厂加工后，每件优等品、合格品分别以150元、100元被该5G手机生产商回收，同时该工厂对不合格品进行复修，每件不合格品只能复修为合格品或不合格品，且复修为合格品和不合格品的概率均为0.5，复修后的合格品按合格品的价格被回收，复修后的不合格品按废品处理掉，且每件不合格品还需要向该5G手机生产商赔偿原料费30【答案】(1)p(2)①最多有16件；②加工费最高为47.5元【分析】（1）根据条件，建立函数关系式fp=C（2）①建立二项分布模型，直接利用二项分布的概率计算公式，建立不等式组，解出即可；②求出该工厂加工一个这种精密配件获利Y元的分布列及数学期望，根据题意列不等式，通过解不等式解决问题即可.【详解】（1）由题意可知，这种精密配件的不合格率为1-p，则加工后的30件这种精密配件中恰有6件不合格的概率fp则f'令f'p>0，解得0<p<0.8，令f所以fp在0,0.8上单调递增，在0.8,1所以当p=0.8时，fp取得极大值，故p（2）①从加工后的这种精密配件中随机抽取一件为优等品的概率为0.8×0.5=0.4设从加工后的这种精密配件中随机抽取n件，由题意可知，X∼Bn,0.4且PX=k由题意可知，P(X=5)≤P(X=6)P(X=7)≤P(X=6)即Cn解得14≤n≤16.5，又n∈N，所以n的最大值为16，故抽取的这种精密配件最多有16件．②设该工厂加工一个这种精密配件获利Y元，加工费与复修费均为m元，由题意可知，Y的可能取值为150-m,100-m,100-2m,-30-2m，则随机变量Y的分布列为Y150-m100-m100-2m-P0.40.40.10.1则EY由题意可知，107-1.2m≥50，解得m≤47.5，所以一个配件的加工费最高为47.5元．21．（12分）已知椭圆C:x2a2(1)求椭圆C的标准方程.(2)已知过右焦点F的直线l与C交于A,B两点，在x轴上是否存在一个定点P，使∠OPA=∠【答案】(1)x(2)存在，P(4,0)【分析】（1）由离心率32与定点-3,-（2）由∠OPA=∠OPB条件转化为kPA+kPB=0，设直线l的方程为x=my+3,Ax1,y1,B【详解】（1）因为e=ca=所以椭圆C的方程为x2因为点-3,-32在椭圆C上，所以所以a2所以椭圆C的标准方程为x2（