高中数学人教A版选修2-1测评3-2第2课时利用向量证明空间中的垂直关系

第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法第2课时利用向量证明空间中的垂直关系课后篇巩固提升基础巩固1.若直线l的方向向量为a=(1,2,3),平面α的法向量为n=(3,6,9),则()A.l⊂α B.l∥αC.l⊥α D.l与α相交解析∵直线l的方向向量为a=(1,2,3),平面α的法向量为n=(3,6,9),∴a=13n,∴a∥n,∴l⊥α.故选C答案C2.已知平面α的法向量为a=(1,2,2),平面β的法向量为b=(2,4,k),若α⊥β,则k=()A.4 B.4 C.5 D.5解析∵α⊥β,∴a⊥b,∴a·b=282k=0.∴k=5.答案D3.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,则(A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面解析建立分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴的空间直角坐标系(图略),不妨设正方体的棱长为1,则DA1=(1,0,1),AC=(1,1,0),E13,0,13,F23,13,0,EF=13,13,13,∴EF·DA1=0,EF·AC=0,∴EF⊥A∴BD1=3EF,即EF与BD1答案B4.在菱形ABCD中,若PA是平面ABCD的法向量,则以下等式中可能不成立的是()A.PA·AB=0 B.PCC.PC·AB=0 D.PA解析∵PA⊥平面ABCD,∴BD⊥PA.又∵AC⊥BD,∴PC⊥BD.故选项B正确,选项A和D显然成立.故选C.答案C5.已知a=(0,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1)分别是平面α,β,γ的法向量,则α,β,γ三个平面中互相垂直的有对.

解析∵a·b=(0,1,1)·(1,1,0)=1≠0,a·c=(0,1,1)·(1,0,1)=1≠0,b·c=(1,1,0)·(1,0,1)=1≠0,∴a,b,c中任意两个都不垂直,即α,β,γ中任意两个都不垂直.答案06.已知AB=(1,5,2),BC=(3,1,z),BP=(x1,y,3),若AB⊥BC,且BP⊥平面ABC,则BP=解析∵AB=(1,5,2),BC=(3,1,z),AB⊥则AB·BC=82z=0,解得z=4,∴BC=∵BP⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,所以,BP⊥AB,BP⊥BC.则BP·AB故BP=答案337.如图所示,已知矩形ABCD,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等于.

解析以A为原点,建立如图所示坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,a,0),C(1,a,0),设Q(1,x,0),P(0,0,z),PQ=(1,x,z),QD=(1,ax,0).由PQ·QD=0,得1+x(ax)=0,即x2ax+1=0.当Δ=a24=0,即a=2时,点Q答案28.在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中,E,F分别是AB,BC上的动点,且AE=BF,求证:A1F⊥C1E.证明以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(a,0,a),C1(0,a,a).设AE=BF=x,则E(a,x,0),F(ax,a,0).所以A1F=(x,a,a),C1E=(a,xa因为A1F·C1E=(x,a,a)·(a,xa,a)=ax+axa2+a2=0,所以A1F⊥C9.如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.求证:CD⊥平面PAE.证明如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设PA=h,则A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).易知CD=(4,2,0),AE=(2,4,0),AP=(0,0,h).∵CD·AE=8+8+0=0,CD∴CD⊥AE,CD⊥AP.∵AP∩AE=A,∴CD⊥平面PAE.10.如图所示,△ABC是一个正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD.求证:平面DEA⊥平面ECA.证明建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,不妨设CA=2,则CE=2,BD=1,C(0,0,0),A(3,1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1).所以EA=(3,1,2),CE=(0,0,2),ED=(0,2,1).分别设平面ECA与平面DEA的法向量是n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),则n解得y即3x2不妨取n1=(1,3,0),n2=(3,1,2),因为n1·n2=0,所以n1⊥n2.所以平面DEA⊥平面ECA.能力提升1.在正方体ABCDA1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于()A.BD B.AC C.A1D D.A1A解析以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示,设正方体的棱长为1,则C(0,1,0),B(1,1,0),A(1,0,0),D(0,0,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1),E12所以CE=12,-12,1,AC=(1,1,0),BD=(1,因为CE·BD=0,CE·ACCE·A1D=32≠0,所以CE⊥BD.故选A.答案A2.如图所示,四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的正方形,PD⊥底面ABCD,且PD=1,若点E,F分别为PB,AD中点,则直线EF与平面PBC的位置关系是.

解析以D为原点,DA,DC,DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则E12,12,12,F12,0,0,∴EF=0,12,12,平面PBC的一个法向量n=(0,1,1),∵EF=12n,∴EF∥n,∴答案垂直3.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点E在棱AA1上,要使CE⊥平面B1DE,则AE=.

解析建立如图所示的坐标系,则B1(0,0,3a),D2a2,2a2,设点E的坐标为(2a,0,z),则CE=(2a,2a,z),B1E=(2a,0,z3a),B1D=2a2,2a故要使CE⊥平面B1DE,则需CE⊥B1E,即CE·B1E=0,故2a2+z23答案a或2a4.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是棱BC的中点,试在棱CC1上求一点P,使得平面A1B1P⊥平面C1DE.解如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,P(0,1,a),则A1(1,0,1),B1(1,1,1),E12,1,0,C1(0,1,1),A1B1=(0,1,0),A1设平面A1B1P的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),则n令z1=1,得x1=a1,∴n1=(a1,0,1).设平面C1DE的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),则n令y2=1,得x2=2,z2=1,∴n2=(2,1,1).∵平面A1B1P⊥平面C1DE,∴n1⊥n2,即n1·n2=0.∴2(a1)+0+(1)=0,∴a=12故P0,1,12.即P5.如图,已知直三棱柱ABCA1B1C1中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB1.求证:(1)BC1⊥AB1;(2)BC1∥平面CA1D.证明如图,以C1点为原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设AC=BC=BB1=2,则A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),C1(0,0,0),D(1,1,2).(1)因为BC1=(0,2,2),AB1所以BC1·AB1=因此BC1⊥AB1,故(2)由于CA1=(2,0,2),CD若设BC1=xCA则得2x+即BC1=CA12CD,所以BC1,CA6.如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,侧面PAD⊥底面ABCD.若PA=AB=BC=12AD(1)求证:CD⊥平面PAC;(2)侧棱PA上是否存在点E,使得BE∥平面PCD?若存在,指出点E的位置并证明,若不存在,请说明理由.解因为∠PAD=90°,所以PA⊥AD.又因为侧面PAD⊥底面ABCD,且侧面PAD∩底面ABCD=AD,所以PA⊥底面ABCD.∠BAD=90°,所以AB,AD,AP两两垂直.分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AD=2,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1).(1)证明:AP=(0,0,1),AC=(1,1,0),CD=(1,1,0),可得AP·CD=0,AC·CD=0,所以AP⊥CD,又因为AP∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.(