新版高中数学人教A版选修2-1习题第三章空间向量与立体几何3.2.1

3.2立体几何中的向量方法第1课时用向量方法解决平行问题课时过关·能力提升基础巩固1若a=(1,2,3)是平面γ的一个法向量,则下列向量能作为平面γ的法向量的是()A.(0,1,2) B.(3,6,9)C.(1,2,3) D.(3,6,8)解析:∵选项B中,向量(3,6,9)=3a与a平行,又a为平面γ的法向量,∴向量(3,6,9)也是平面γ的法向量.答案:B2设平面α的法向量为(1,2,2),平面β的法向量为(2,4,k),若α∥β,则k等于()A.2 B.4 C.4 D.2解析:∵α∥β,∴1-2=2-答案:C3若平面α,β的法向量分别为μ=(2,3,5),υ=(3,1,4),则()A.α∥β B.α⊥βC.α,β相交但不垂直 D.以上均不正确解析:∵μ·υ=2×3+3×(1)+(5)×4≠0,且μ≠kυ(k∈R),∴μ与υ既不垂直也不平行.∴α与β相交但不垂直.答案:C4若两个不同的平面α与β的法向量分别是a=(1,0,2),b=(1,0,2),则平面α与平面β的关系是()A.平行 B.垂直C.相交不垂直 D.无法判断解析:∵a=b,∴a∥b,∴α∥β.答案:A5若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为u,则能使l∥α的是()A.a=(1,0,0),u=(2,0,0) B.a=(1,3,5),u=(1,0,1)C.a=(0,2,1),u=(1,0,1) D.a=(1,1,3),u=(0,3,1)解析:∵l∥α,∴a⊥u,即a·u=0.故选D.答案:D6已知两个不同的平面α与β有公共的法向量n=(1,1,1),则平面α,β的位置关系为.

答案:α∥β7如图,在正三棱锥SABC中,点O是△ABC的外心,点D是棱BC的中点,则平面ABC的一个法向量可以是,平面SAD的一个法向量可以是.

答案:OSBC(8已知a=(3λ,6,λ+6),b=(λ+1,3,2λ)为两个平行平面的法向量,则λ=.

答案:29已知在长方体ABCDA1B1C1D1中,E,M,N分别是BC,AE,CD1的中点,AD=AA1=a,AB=2a.求证:MN∥平面ADD1A1.证明以D为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(a,0,0),B(a,2a,0),C(0,2a,0),D1(0,0,a),E12∵M,N分别为AE,CD1的中点,∴M34a,a∴MN=-34a显然n⊥平面A1D1DA,且MN·n=0,∴MN⊥n.又MN⊄平面ADD1A1,∴MN∥平面ADD1A1.10如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=π4,PA⊥底面ABCD,PA=2,点M为PA的中点,点N为BC的中点.AF⊥CD于点F,如图建立空间直角坐标系.求出平面PCD的一个法向量并证明MN∥平面PCD.解:由题设知,在Rt△AFD中,AF=FD=22,A(0,0,0),B(1,0,0),F0,22,0,D-22MN=PD=设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),则n令z=2,得n=(0,4,2).因为MN·n=1-24,24,-1·(0,4,2)=0,且MN⊄平面能力提升1已知直线l的方向向量a=2,3,13,平面α的法向量为n=6,λ,-12,若lA.4 B.7118 C.253 D解析:∵l∥α,∴a⊥n,即a·n=0,∴2×6+3λ16=0,解得λ=71答案:B2给出下列命题:①若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则n1∥n2⇔α∥β;②若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α∥β⇔n1·n2=0;③若n是平面α的法向量,且向量a与平面α共面,则a·n=0.其中正确命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.0解析:①中,α与β可能重合;②中,α∥β可得到n1∥n2.答案:A3在三棱锥PABC中,CP,CA,CB两两垂直,AC=CB=1,PC=2,在如图所示的坐标系下,下列向量是平面PAB的法向量的是()A.1,1,12 C.(1,1,1) D.(2,2,1)解析:PA=(1,0,2),AB=(1,1,0).设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,1),则x-2=0,-x又1,1,12=答案:A4已知直线a,b的方向向量分别为m=(4,k,k1)和n=k,k+3,32,若a∥b,解析:①当k=0时,a与b不平行.②当k≠0时,由4k=kk+3答案:25已知向量a=(1,3,5),b=(2,4,6),若n与x轴垂直,且a·n=12,n·b=14,则n=.

解析:设n=(0,y,z),由题意得3故n=(0,1,3).答案:(0,1,3)6已知平面α内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的法向量为n=(1,1,1),且β与α不重合,则αβ.(填“⊥”或“∥”)

解析:AB=(0,1,1),AC=(1,0,1),则n·AB=1×0+(1)×1+(1)×(1)=0,n·AC=1×1+(1)×0+(1)×(1)=0.又α与β不重合,故α∥β.答案:∥7在长方体ABCDA1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分别是棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点,求证:平面AMN∥平面EFBD.证法一建立如图所示的空间直角坐标系,取MN,DB及EF的中点R,T,S,连接RA,ST,则A(2,0,0),M(1,0,4),N2,32,4,D(0,0,0),B(2,3,0),E0,32,4,F∴MN=AR=∴MN=∴MN∥EF,AR∥TS,∴MN∥平面EFBD,AR∥平面EFBD.又MN∩AR=R,∴平面AMN∥平面EFBD.证法二由证法一可知,A(2,0,0),M(1,0,4),N2,32,4,D(0,0,0),则AM=(1,0,4),AN=DE=0,设平面AMN,平面EFBD的法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),则n令x1=1,得z1=14,y1=2又n令y2=1,得z2=38,x2=3∴n1=1,-23,14∴n2=32n1,得n1∥n2∴平面AMN∥平面EFBD.★8如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,EF∥AB,EF⊥FB,AB=2EF,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点,求证:FH∥平面EDB.证明∵四边形ABCD为正方形,∴AB⊥BC.又EF∥AB,∴EF⊥BC.又EF⊥FB,FB∩BC=B,∴EF⊥平面BFC,∴EF⊥FH.∴AB⊥FH.又BF=FC,H为BC的中点,∴FH⊥BC.又AB∩BC=B,∴FH⊥平面ABC.以H为坐标原点,HB为x轴正方向