专题07二项分布与超几何分布（2个知识点4个拓展1个突破6种题型3个易错点）

专题07二项分布与超几何分布（2个知识点4个拓展1个突破6种题型3个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.n重伯努利试验与二项分布知识点2.超几何分布拓展1.伯努利试验与二项分布拓展2.二项分布和超几何分布拓展3.超几何分布拓展4.与二项分布、超几何分布有关的均值与方差突破：统计与超几何分布的综合问题【方法二】实例探索法题型1.n重伯努利试验题型2.二项分布题型3.二项分布的综合应用题型4.二项分布的均值与方差题型5.超几何分布的综合应用题型6.超几何分布的均值【方法三】差异对比法易错点1.对二项分布理解不透彻致误易错点2.对“至少”与“至多”理解不清楚致误易错点3.容易混淆二项分布和超几何分布【方法四】成果评定法【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.n重伯努利试验与二项分布一、n重伯努利试验及其特征1．n重伯努利试验的概念将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．2．n重伯努利试验的共同特征(1)同一个伯努利试验重复做n次．(2)各次试验的结果相互独立．二、二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．三、二项分布的均值与方差若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．例1．（2024上·甘肃武威·高三统考期末）某单位招聘会设置了笔试、面试两个环节，先笔试后面试.笔试设有三门测试，三门测试相互独立，三门测试至少两门通过即通过笔试，通过笔试后进入面试环节，若不通过，则不予录用.面试只有一次机会，通过后即被录用.已知每一门测试通过的概率均为，面试通过的概率为.(1)求甲通过了笔试的条件下，第三门测试没有通过的概率；(2)已知有100人参加了招聘会，X为被录取的人数，求X的期望.【答案】(1)(2)20【分析】（1）根据条件概率计算即可；（2）易得服从二项分布，再根据二项分布的期望公式计算即可.【详解】（1）设事件为甲通过了笔试，事件为甲第三门测试没有通过，则，，故甲通过了笔试的条件下，第三门测试没有通过的概率为；（2）设某人被录取的概率为，则，由题可知，所以.知识点2.超几何分布超几何分布1．定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．2．均值：E(X)＝eq\f(nM,N).例2．（2024上·辽宁·高二校联考期末）某班要从3名男同学和5名女同学中随机选出4人去参加某项比赛，设抽取的4人中女同学的人数为，则.【答案】/0.5【分析】因抽取的4人中女同学的人数为，每个女同学被抽到的可能性相同，结果有限，故符合超几何分布概率模型，利用包括的情形分别求概率再求和即得.【详解】因.故答案为：.拓展1.伯努利试验与二项分布1．（2023·全国·模拟预测）2023年5月31日，习近平主席在学校考察时指出：“体育锻炼是增强少年儿童体质的最有效手段”．为提升学生身体素质，某班组织投篮比赛，比赛分为，两个项目．（i）选手在每个项目中投篮5次，每个项目中投中3次及以上为合格；（ii）第一个项目投完5次并且合格后可以进入下一个项目，否则该选手结束比赛；（iii）选手进入第二个项目后，投篮5次，无论投中与否均结束比赛．若选手甲在项目比赛中每次投中的概率都是．(1)求选手甲参加项目合格的概率；(2)已知选手甲参加项目合格的概率为．比赛规定每个项目合格得5分，不合格得0分．设累计得分为，为使累计得分的期望最大，选手甲应选择先进行哪个项目的比赛（每个项目合格的概率与次序无关）？并说明理由．【答案】(1)0.5(2)甲选择先进行项目比赛，理由见解析【分析】（1）由二项分布的概率计算公式运算即可求解.（2）分别求出选手甲参加两个项目累计得分的期望值，比较即可得解.【详解】（1）由题意得选手甲参加项目合格的概率为．（2）选手甲应选择先进行项目，理由如下：由题意，若选手甲先参加项目，则的所有可能取值为，则；；，所以累计得分的期望；若选手甲先参加项目，则的所有可能取值为，则；；，所以累计得分的期望，所以为使累计得分的期望最大，选手甲选择先进行项目比赛．拓展2.二项分布和超几何分布2．（2023上·北京西城·高三北师大二附中校考期中）某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中2题便可通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响，求：(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；(2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力.【答案】(1)甲分布列见解析，；乙分布列见解析，；(2)答案不唯一，见解析.【分析】（1）由题意可知，甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数分别服从超几何和二项分布，分别列出分布列，计算均值即可；（2）结合分布列中的数据，分别计算对应的均值、方差及至少正确完成2题的概率比较即可.【详解】（1）设考生甲正确完成实验操作的题数为，则的取值范围是，，，，所以的分布列为123则.设考生乙正确完成实验操作的题数为，易知，所以，，，.所以的分布列为0123所以.（2）由（1），知，，，，．所以，，故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当；从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定；从至少正确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大.因此甲的实验操作能力较强.拓展3.超几何分布3．（2024上·北京西城·高三统考期末）生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：跑步软件一跑步软件二跑步软件三跑步软件四中学生80604020大学生30202010假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.(1)从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率；(2)采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人.记为这人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求的分布列和数学期望；(3)记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；，，，，，，，的方差为.写出，，的大小关系.（结论不要求证明）【答案】(1)(2)分布列详见解析，(3)【分析】（1）根据相互独立事件乘法公式求得正确答案.（2）根据分层抽样以及超几何分布的知识求得分布列并计算出数学期望.（3）通过计算，，来确定正确答案.【详解】（1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，这人都最喜爱使用跑步软件一的概率为.（2）因为抽取的人中最喜爱跑步软件二的人数为，所以的所有可能取值为，，所以的分布列为：所以.（3），证明如下：，，所以.，，所以.数据：，，，，，，，，对应的平均数为所以所以.拓展4.与二项分布、超几何分布有关的均值与方差4．（2024上·河南·高二校联考期末）一台机器由于使用时间较长，生产的零件有可能会产生次品.设该机器生产零件的尺寸为，且规定尺寸为正品，其余的为次品.现从该机器生产的零件中随机抽取100件做质量分析，作出的频率分布直方图如图.(1)试估计该机器生产的零件的平均尺寸；(2)如果将每5件零件打包成一箱，若每生产一件正品可获利30元，每生产一件次品亏损80元.若随机取一箱零件，求这箱零件的期望利润.【答案】(1)(2)40元【分析】(1)由频率分布直方图计算平均数即可求解；(2)求出生产线生产的产品次品率、正品率，设这箱零件中的正品数为，由可得期望，从而得到这箱零件获利.【详解】（1）生产线生产的产品平均尺寸为：.（2）次品的尺寸范围，故生产线生产的产品次品率为.设生产一箱零件（5件）中的正品数为，正品率为，故，则.设生产一箱零件获利为元，则，则（元），所以这箱零件的期望利润为40元.突破：统计与超几何分布的综合问题1．（2022上·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期末）《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领.制造业是国民经济的主体，是产国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线，某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测，某日检测抽取的100件产品的柱状图如图所示：(1)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从出厂的所有产品中随机取出3件，求至少有一件产品是一级品的概率；(2)现从样本产品中利用分层抽样的方法随机抽取10件产品，再从这10件中任意抽取3件，设取到一级品的件数为，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）求出一级品的概率，根据对立事件的概率计算公式即可求得答案；（2）确定件产品中一级品件，二级品件，三级品件，即可确定一级品的件数的取值，结合超几何分布的概率求出每个值对应的概率，可得分布列，即可求得数学期望.【详解】（1）抽取的100件产品是一级品的频率是，根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，故从出厂的所有产品中任取件，是一级品的概率是，设从出厂所有产品中随机选件，至少有一件是一级品的事件为，则.（2）由题意可知件产品中一级品件，二级品件，三级品件，故的取值范围是，，，，，的分布列为：3的数学期望为:.【方法二】实例探索法题型1.n重伯努利试验1．单选题（2024上·河南·高二校联考期末）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小､质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球.现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为.则下列判断正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分别计算从中随机地无放回摸出3个球、从中随机地有放回摸出3个球的期望、方差，再做比较可得答案.【详解】①从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为的可能取值是，则，故随机变量的概率分布列为0123则数学期望为，方差为.②从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为，则，故，，故.故选：D.题型2.二项分布2．多选题（2024上·辽宁抚顺·高二校联考期末）已知，且，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据二项分布的期望和方差公式，结合期望和方差的性质，即可判断选项.【详解】由题意得.因为函数在上单调递增，且，所以，故A错误；因为，故BC正确；所以，则，故D错误.故选：BC题型3.二项分布的综合应用3．（2024·全国·模拟预测）一次课外活动举行篮球投篮趣味比赛，选手在连续投篮时，第一次投进得1分，并规定：若某次投进，则下一次投进的得分是本次得分的两倍；若某次未投进，则该次得0分，且下一次投进得1分．已知某同学连续投篮n次，总得分为X，每次投进的概率为，且每次投篮相互独立．(1)当时，判断与10的大小，并说明理由；(2)当时，求X的概率分布列和数学期望；(3)记的概率为，求的表达式．【答案】(1)，理由见解析(2)分布列见解析，(3)【分析】（1）依题意可知，若每次投进都得1分，利用二项分布可知，再结合比赛规则可得；（2）易知X的可能取值为0，1，2，3，7，求出对应概率可得分布列和期望；（3）将的所有可能情况进行分类讨论，再由比赛规则和积分方式，利用类二项分布与插空法即可求得的表达式．【详解】（1）．理由如下：记该同学投篮30次投进次数为，则．若每次投进都得1分，则得分的期望为．由题中比赛规则可知连续投进时，得分翻倍，故实际总得分的期望必大于每次都得1分的数学期望．所以．（2）X的可能取值为0，1，2，3，7，其中，，，，，所以X的概率分布列为X01237P所以．（3）投篮n次得分为3分，有如下两种情形：情形一，恰好两次投进，且两次相邻；情形二，恰好三次投进，且任意两次都不相邻．当时，情形二不可能发生，所以；当时，情形一发生的概率为，情形二发生是指，将次未投进的投篮排成一列，共有个空位，选择其中3个空位作为投进的投篮，所以概率为，所以．综上所述，；【点睛】关键点睛：本题第3小问解决的关键是分析的对应情况，再利用插空法解决情形二的概率问题，从而得解.题型4.二项分布的均值与方差4．填空题（2023下·广东肇庆·高二校考期末）设随机变量，，若，则，.【答案】/【分析】根据已知条件，结合二项分布的期望与方差公式求解即可.【详解】随机变量，且，则，解得，所以，又，则，，所以.故答案为：；.题型5.超几何分布的综合应用5．（2023·全国·高三专题练习）某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试.经过一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们的“向量数量积”知识点掌握的情况进行调查，样本调查结果如下表：甲校乙校使用AI作业不使用AI作业使用AI作业不使用AI作业基本掌握32285030没有掌握8141226假设每位学生是否掌握“向量数量积”知识点相互独立.从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，用表示抽取的2名学生中使用“AI作业”的人数，求的分布列和数学期望；【答案】分布列见解析，；【分析】根据题意由表格数据可得使用“AI作业”的人数为20人，不使用“AI作业”的人数为40，利用超几何分布即可求得分布列，得出期望值.【详解】依题意，没有掌握“向量数量积”知识点的学生有60人，其中，使用“AI作业”的人数为20人，不使用“AI作业”的人数为40，易知，1，2，且，，，所以的分布列为：012P故数学期望题型6.超几何分布的均值6．多选题（2024上·河南南阳·高二南阳市第五中学校校联考期末）在一个袋中装有除颜色外其余完全一样的3个黑球，3个白球，现从中任取4个球，设这4个球中黑球的个数为，则（

）A．服从二项分布 B．的值最小为1C． D．【答案】BCD【分析】随机变量服从超几何分布进而否定选项A；求得随机变量的最小值判断选项B；求得的值判断选项C；求得的值判断选项D.【详解】依题意知随机变量服从参数为6，4，3的超几何分布，故A错误；的所有可能取值为1，2，3，所以的值最小为1，故B正确；，故C正确；，故D正确.故选：BCD【方法三】差异对比法易错点1.对二项分布理解不透彻致误1．（2024·广东惠州·统考一模）有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有6个红球，4个白球．现按照如下规则摸球．从两个盒子中任意选择一个盒子，再从盒中随机摸出2个球，摸球的结果是一红一白．(1)你认为较大可能选择的是哪个盒子?请做出你的判断，并说明理由；(2)如果你根据（1）中的判断，面对相同的情境，作出了5次同样的判断，记判断正确的次数为X，求X的数学期望（实际选择的盒子与你认为较大可能选择的盒子相同时，即为判断正确）．【答案】(1)选择1号盒子(2)【分析】（1）计算出1号盒子和2号盒子中摸出一红一白的概率比较下结论；（2）根据题意得到求解.【详解】（1）解：设选择1号盒子后摸出一红一白的概率为，设选择2号盒子后摸出一红一白的概率为，则，，因为，所以较大可能选择1号盒子；（2）由贝叶斯公式，选择1号盒子后猜中的概率由题意得：，所以.易错点2.对“至少”与“至多”理解不清楚致误3．（2023·全国·模拟预测）课堂上，老师为了讲解“利用组合数计算古典概型的问题”，准备了x（）个不同的盒子，上面标有数字1，2，3，…，每个盒子准备装x张形状相同的卡片，其中一部分卡片写有“巨额奖励”的字样，另一部分卡片写有“谢谢惠顾”的字样．第1个盒子放有1张“巨额奖励”，张“谢谢惠顾”，第2个盒子放有2张“巨额奖励”，张“谢谢惠顾”，…，以此类推．游戏时，老师在所有盒子中随机选取1个盒子后，再让一个同学上台每次从中随机抽取1张卡片，抽取的卡片不再放回，连续抽取3次．(1)若老师选择了第3个盒子，，记摸到“谢谢惠顾”卡片的张数为X，求X的分布列以及数学期望；(2)若，求该同学第3次抽到“谢谢惠顾”的概率．【答案】(1)分布列见解析，(2)【分析】（1）利用超几何分布的知识表示出分布列，计算期望即可;（2）当时，记从第k个盒子中第3次抽到“谢谢惠顾”为事件，结合古典概型，分别计算其对应的概率，即可得到答案，【详解】（1）当时，老师选择第3个盒子，则有3张“巨额奖励”的卡片和4张“谢谢惠顾”的卡片，则X的所有可能取值为，则，，，．X的分布列为X0123P数学期望．（2）当时，记从第k个盒子中第3次抽到“谢谢惠顾”为事件．，，，，．故该同学第3次抽到“谢谢惠顾”的概率．易错点3.容易混淆二项分布和超几何分布3．（2023·江苏苏州·校联考模拟预测）为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性.(1)当时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望；(2)我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑.从N名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作；有二项分布中（即男性员工的人数）男性员工恰有2人的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.（参考数据：）【答案】(1)分布列见解析，数学期望为(2)N至少为145时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布【分析】（1）利用超几何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求数学期望；（2）利用二项分布概率模型和超几何分布概率模型即可求解.【详解】（1）当时，男性员工有8人，女性员工有12人.服从超几何分布，，，，，，∴的分布列为0123数学期望为.（2），，由于，则，即，即，由题意易知，从而，化简得，又，于是.由于函数在处有极小值，从而当时单调递增，又，.因此当时，符合题意，而又考虑到和都是整数，则一定是5的整数倍，于是.即N至少为145，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.【方法四】成果评定法一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知随机变量，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二项分布的期望和方差公式即可求解，进而根据二项分布的概率公式求解即可.【详解】因为，所以，解得，所以．故选：C．2．（2020上·四川眉山·高三仁寿一中校考阶段练习）同时抛掷枚质地均匀的硬币次，设枚硬币恰有一次正面向上的次数为，则的数学期望是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】先求同时抛掷枚质地均匀的硬币1次，枚硬币恰有一次正面向上的概率，再根据二项分布数学期望公式求结果.【详解】同时抛掷枚质地均匀的硬币1次，枚硬币恰有一次正面向上的概率为因为故选：D【点睛】本题考查独立重复试验概率、二项分布数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题.3．箱子中有标号为1，2，3，4，5，6且大小、形状完全相同的6个球，从箱子中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．若有4人参与摸奖，则恰好有3人获奖的概率为A． B． C． D．【答案】B【详解】获奖的概率为，记获奖的人数为，，所以4人中恰好有3人获奖的概率为，故选B.4．（2020上·浙江温州·高二瑞安中学校考期末）已知离散型随机变量服从二项分布且则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由二项分布的性质可知，，故有，应用不等式，求得的最大值.【详解】解：服从二项分布且所以，，则有，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.故选：C5．（2023下·山东·高二校联考阶段练习）甲、乙两人进行射击比赛，他们击中目标的概率分别为和（两人是否击中目标相互独立），若两人各射击2次，则两人击中目标的次数相等的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用互斥事件的概率公式，相互独立事件的概率公式，独立重复试验的概率公式求解即可.【详解】设两人都没击中目标记作事件,两人都击中目标1次记作事件,两人都击中目标2次记作事件,由已知可知,甲没击中目标的概率为,乙没击中目标的概率为,因为两人是否击中目标相互独立，所以，甲击中目标1次的概率为,乙击中目标1次的概率为,因为两人是否击中目标相互独立，所以;甲击中目标2次的概率为,乙击中目标2次的概率为,因为两人是否击中目标相互独立，所以，因为事件互斥，所以,故选：.6．（2023下·江西·高二校联考开学考试）我国古代典籍《艺经》中记载了一种名为“弹棋”的游戏：“弹棋，二人对局，先列棋相当.下呼，上击之.”其规则为：双方各执4子，摆放好后，轮流用己方棋子击打对方棋子，使己方棋子射入对方的圆洞中，先射完全部4子者获胜.现有甲、乙两人对弈，其中甲、乙击中的概率分别为、，甲执先手，则双方共击9次后游戏结束的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据题意得到一定甲获胜，且最后一次甲击中，再求概率即可.【详解】由题知：因为甲执先手，则双方共击9次后游戏结束，所以一定甲获胜，且最后一次甲击中，乙至多击中3次，故概率.故选：C7．（2023·高二课时练习）若，则取得最大值时，（

）A．4 B．5 C．6 D．5或6【答案】B【分析】求得的表达式，结合组合数的性质求得正确答案.【详解】因为，所以，由组合数的性质可知，当时最大，此时取得最大值.故选：B8．（2021上·高二校考单元测试）盒中有10个螺丝钉，其中3个是坏的.现从盒中随机抽取4个，则概率是的事件为（

）A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的【答案】C【分析】利用超几何分布的概率公式，对四个选项一一求概率，进行验证即可.【详解】对于A，事件的概率为；对于B，事件的概率为；对于C，事件的概率为；对于D，事件的概率为.故选：C.二、多选题9．（2021上·辽宁·高二校联考阶段练习）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，在杨辉三角（左图）中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，第n行所有数之和为；右图是英国生物学家高尔顿设计的模型高尔顿板，在一块木板上钉着若干排相互平行且相互错开的圆柱形钉子，钉子之间留有空隙作为通道，让一个小球从高尔顿板上方的入口落下，小球在下落的过程中与钉子碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉到下方的某一球槽内，如图，小球从高尔顿板第1行的第一个缝隙落下的概率是，第二个缝隙落下的概率是；从第2行第一个缝隙落下的概率是，第二个缝腺落下的概率是，第三个缝隙落下的概率是，小球从第n行第m个缝隙落下的概率可以由杨辉三角快速算出，那么小球从第6行某个缝隙落下的概率可能为（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率公式，计算m取各个值的概率即可判断作答.【详解】小球落下要经过6次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为，小球从第6行第m个缝隙落下，则6次碰撞有次向右，其概率为，，于是得，，，，所以选项A，D不可能，选项B，C可能.故选：BC10．（2022·高二课时练习）（多选）下列说法正确的是（

）．A．设为重伯努利试验中事件发生的次数，则B．在重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响C．对于重伯努利试验，各次试验中事件发生的概率可以不同D．如果在次试验中某事件发生的概率是，那么在重伯努利试验中，这个事件恰好发生次的概率，【答案】ABD【分析】根据重伯努利试验的特征和二项分布的定义可依次判断各个选项得到结果.【详解】一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验为重伯努利试验．在重伯努利试验中，各次试验的结果相互之间没有影响，各次试验中事件发生的概率相同．故B正确，C错误．二项分布的定义为：在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则这个事件恰好发生次的概率，．如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作．故A正确，D正确．故选：ABD．11．（2021·高二课时练习）某计算机程序每运行一次都会随机出现一个五位二进制数(例如10100)，其中的各位上的数字出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时(

)A．服从二项分布 B． C． D．【答案】AC【分析】分别写出的可能值，并计算其概率，然后判断的概率分布类型，并通过数学期望和方差公式计算期望和公差即可.【详解】由二进制数的特点，知后4位上的数字的填法有5类：①后4位上的数字均为0，则，；②后4位上的数字中只出现1个1，则，；③后4位上的数字中出现2个1，则，；④后4位上的数字中出现3个1，则，；⑤后4位上的数字均为1，则，.由上述可知，故A正确；易知B错误；，故C正确；，故D错误.故选:AC.12．（2023下·高二单元测试）已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中正确的有（

）A． B．时，C．时，随着的增大而增大 D．时，随着的增大而减小【答案】ABC【分析】选项A利用概率的基本性质即可，B选项由条件可知满足二项分布，利用二项分布进行分析，选项C，D根据题意把的表达式写出，然后利用单调性分析即可.【详解】对于A选项，由概率的基本性质可知，，故A正确，对于B选项，由时，离散型随机变量服从二项分布，则，所以，，所以，故B正确，对于C,D选项，，当时，为正项且单调递增的数列，故随着的增大而增大故选项C正确，当时，为正负交替的摆动数列，故选项D不正确.故选：ABC.三、填空题13．（2021上·高二校考单元测试）若随机变量，则.【答案】【分析】利用二项分布的概率公式求即可.【详解】由知，.故答案为：14．（2023·上海黄浦·统考二模）若每经过一天某种物品的价格变为原来的1.02倍的概率为0.5，变为原来的0.98倍的概率也为0.5，则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为．【答案】【分析】先判断价格比原来的升降情况，然后利用二项分布的知识求解，即得结果.【详解】设物品原价格为1，因为，，，，故经过6天该物品的价格较原来价格增加的情况是6天中恰好是4天升高2天降低，5天升高1天降低和6天升高,则经过6天该物品的价格较原来价格增加的概率为.故答案为：.15．一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个题目选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分．某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为．【答案】60，96【详解】设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数（成绩）为Y，则Y＝4X，由题意知X～B（25,0.6），所以E（X）＝25×0.6＝15，D（X）＝25×0.6×0.4＝6，E（Y）＝E（4X）＝4E（X）＝60，D（Y）＝D（4X）＝42×D（X）＝16×6＝96，所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96.考点：二项分布的期望与方差.16．（2024上·全国·高三专题练习）某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个.从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为，则黑球的个数为.若记取出3个球中黑球的个数为，则.【答案】3/0.36【分析】该事件服从超几何分布，由其概率计算公式求出黑球个数，并列出分布列，再由分布列与方差的计算公式求得方差.【详解】设袋中黑球有n个，则从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为，可得，该事件服从超几何分布，由题可知，取出3个球中黑球的个数的可能取值为1，2，3，由超几何分布事件分别计算对应概率，，，可得分布列如下：123则，.故答案为：;四、解答题17．（2024上·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末）某学校高一，高二，高三三个年级的学生人数之比为，该校用分层抽样的方法抽取7名学生来了解学生的睡眠情况.(1)应从高一､高二､高三三个年级的学生中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足①若从这7人中随机抽取3人做进一步的身体健康检查.用X表示抽取的3人中“睡眠不足”的学生人数，求随机变量X的分布列：②将这7名学生中“睡眠不足”的频率视为该学校学生中“睡眠不足”的概率，若从该学校全体学生（人数较多）中随机抽取3人做进一步的身体健康检查.记Y表示抽到“睡眠不足”学生的人数，求Y的期望和方差：【答案】(1)3人，2人，2人.(2)①答案见解析；②，【分析】（1）根据各组人数和抽样比,即可求得各组抽取的人数.（2）①本小问符合超几何分布可以根据超几何分布公式求随机变量X的分布列.②本小问符合二项分布可以根据二项分布公式求Y的期望和方差.【详解】（1）由已知选取的三个年级的人数之比为，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从高一､高二､高三三个年级的学生中分别抽取3人，2人，2人.（2）①随机变量X符合超几何分布，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.则所以，随机变量的分布列为0123②取一个学生就是一次试验，有“睡眠不足”和“睡眠充足”两个结果，抽3个学生相当于3次独立重复抽一个学生的试验，于是符合二项分布，所以18．（2021上·山东潍坊·高三统考阶段练习）智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测.调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差.对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”否则，我们认为智能体温计“测温失误”.现在某社区随机抽取了人用两种体温计进行体温检测，数据如下:序号智能体温计测温水银体温计测温序号智能体温计测温水银体温计测温0111021203130414051506160717081809191020（1）试估计用智能体温计测量该社区人“测温准确”的概率;（2）从该社区中任意抽查人用智能体温计测量体温，设随机变量为使用智能体温计“测温准确”的人数，求的分布列与数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【分析】（1）观察表中数据，找出测温结果相同的序号数量，根据古典概型的公式求解即可；（2）随机变量X的所有可能取值为，求出对应概率，列表，求出期望.【详解】解:表中人的体温数据中，用智能体温计与水银体温计测温结果相同的序号是共有种情况由此估计所求概率为.(2）随机变量X的所有可能取值为由(1)可知，用智能体温计测量该社区人“测温准确”的概率为所以所以的分布列为故的数学期望19．（2022上·广东广州·高三广州六中校考期末）某地区共有200个村庄，根据扶贫政策的标准，划分为贫困村与非贫困村.为了分析2018年度该地区的（国内生产总值）（单位：万元）情况，利用分层抽样的方法，从中抽取一个容量为20的样本，并绘成如图所示的茎叶图.(1)（i）分别求样本中非贫困村与贫困村的的平均值；（ii）利用样本平均值来估算该地区2018年度的的总值.(2)若从样本中的贫困村中随机抽取4个村进行调研，设表示被调研的村中低于（i）中贫困村平均值的村的个数，求的分布列及数学期望.【答案】(1)（i）非贫困村的的平均值为万元；贫困村的的平均值为万元；（ii）万元(2)分布列见解析，数学期望为【分析】（1）（i）由平均数公式求解即可；（ii）由题意直接列式计算即可；（2）首先结合超几何分布的概率公式求概率，进而可得分布列，再由数学期望公式求数学期望即可.【详解】（1）（i）非贫困村的GDP的平均值为（万元）.贫困村的GDP的平均值为（万元）.（ii）∵贫困村与非贫困村的抽样比为2∶3，∴该地区贫困村的个数为80，非贫困村的个数为120，∴该地区2018年度的GDP的总值约为（万元）.（2）由题意及（i）知GDP低于贫困村GDP平均值的村有3个，则X的所有可能取值为0，1，2，3，则，，，，∴X的分布列为X0123P.20．（2023·贵州·清华中学校联考模拟预测）某工厂的质检部门对拟购买的一批原料进行抽样检验，以判定是接收还是拒收这批原料.现有如下两种抽样检验方案：方案一：随机抽取一个容量为10的样本，并全部检验，若样本中不合格数不超过1个，则认为这批原料合格，予以接收；方案二：先随机抽取一个容量为5的样本，全部检验，若都合格，则予以接收；若样本中不合格数超过1个，则拒收；若样本中不合格数为1个，则再抽取一个容量为5的样本，并全部检验，且只有第二批样本全部合格才予以接收.假设拟购进的这批原料的合格率为，并用作为原料中每件产品是合格品的概率.若每件产品所需的检验费用为3元，且费用由工厂承担.(1)若，即方案二中所需的检验费用为随机变量，求的分布列与期望；(2)分别计算两种方案中这批原料通过检验的概率，若你是原料供应商，你希望质检部门采取哪种检验方案?说明理由.【答案】(1)分布列见解析，(2)方案一的概率为，方案二的概率为；采取方案二，理由见解析.【分析】（1）随机变量X的值可能取值是15,30，分别求出概率即可求出分布列，进而可求出数学期望；（2）分别求出方案一和方案二的概率，由作差法可得，利用导数讨论函数的性质，即可求解.【详解】（1）由题意，随机变量X的值可能取值是15,30，对应的事件是随机抽取一个容量为5的样本，全部检验，都合格或不合格品件数超过1个，对应的事件是随机抽取一个容量为5的样本，全部检验，出现了1个不合格品然后又抽取了容量为5的样本，全部检验，所以，，X的分布列为：X1530P所以；（2）方案一通过检验的概率为，方案二通过检验的概率为，，其中，