第1章 机 电 控 制 工 程基础

机电控制原理及应用葛为民天津理工大学机械工程学院机械电子工程2/26/20241TianjinUniversityofTechnology第1章基础知识本章概述：

本章主要讨论关于机电控制工程的一些基础知识，阐述有关术语的定义，介绍常见的典型机电控制系统，复习控制工程的基础知识，其中包括系统数学模型(微分方程、状态方程、传递函数、方块图及单位反馈系统模型)，时间响应分析(静态误差、瞬态响应及时域品质指标)，频率响应分析(极坐标图、对数坐标图、频域品质指标及相对稳定性)，常用PID控制器和LL控制器设计以及控制问题的一般解决方法。2/26/20242TianjinUniversityofTechnology

1.1术语定义系统的概念各种数学模型2/26/20243TianjinUniversityofTechnology1．1．1系统与系统分类

广义理解:

系统可以定义为相互作用或相互依存的任何一组形成统一整体的事物。

对于实际应用来说：

系统一般可以定义为任何存在某种因果关系的一组物理元件。原因称为激励或输入，效果叫做响应或输出。通常，输入和输出都是物理变量，例如，温度、压力、液位、电压、电流、位移、速度等。

2/26/20244TianjinUniversityofTechnology数学模型

描述系统输入与输出之间的数学关系式定义为系统的数学模型。根据数学模型的不同，系统可以分为静态系统或动态系统线性系统或非线性系统定常系统或时变系统确定性系统或随机系统集中参数系统和分布参数系统2/26/20245TianjinUniversityofTechnology静态系统或动态系统

静态系统实时输出只与当时的输入有关，描写静态系统的数学模型是代数方程组。动态系统的实时输出不仅与当时的输入有关，而且与过去的输入和输出有关，因此，描写动态系统的数学模型是微分方程组。2/26/20246TianjinUniversityofTechnology线性系统或非线性系与定常系统或时变系统线性系统或非线性系统输入和输出满足线性叠加原理的系统称为线性系统，不满足线性叠加原理的系统则称为非线性系统。定常系统或时变系统

数学模型中的所有系数都为常量(与时间无关)的系统称为定常系统，否则，称为时变系统。2/26/20247TianjinUniversityofTechnology确定性系统或随机系统与

集中参数系统和分布参数系统确定性系统或随机系统在已知输出初值和给定输入的条件下，未来输出可以按照数学模型唯一确定的系统称为确定性系统，反之，则称为随机系统。集中参数系统和分布参数系统集中参数系统是输入作用能够被整个系统同时感受到的系统；而在分布参数系统中，由于分布元件的影响，输入作用不可能被整个系统(例如，具有薄壳结构的机械系统、热传导系统等)同时感受。我们的讨论将主要集中在线性、定常、确定性、集中参数、动态系统。在物理特性上是机械与电子紧密结合的机电系统。2/26/20248TianjinUniversityofTechnology

1．1．2控制与控制系统

所谓控制就是按照预先给定的目标，改变系统行为或性能的方法学。

控制系统是依靠调节能量输入的方法，使得某些物理量受到控制的一类系统。通常，控制系统由控制器、受控对象(亦称为过程)、反馈测量装置以及比较器等部分组成。2/26/20249TianjinUniversityofTechnology控制系统分类1.按照有无反馈测量装置分类2．按照控制器结构分类3．按照信号处理技术分类4．按照应用分类2/26/202410TianjinUniversityofTechnology1.按照有无反馈测量装置分类控制系统可以分为开环控制系统闭环控制系统2/26/202411TianjinUniversityofTechnology2．按照控制器结构分类闭环控制系统按照控制器的结构分类串联的反馈控制系统串并联反馈控制系统复合控制系统2/26/202412TianjinUniversityofTechnology3．按照信号处理技术分类（1）

控制系统可以分为模拟控制系统数字控制系统凡是采用模拟技术处理信号的控制系统都称为模拟控制系统；而采用数字技术处理信号的控制系统则称为数字控制系统。采用微处理机作为控制器的控制系统亦称为计算机控制系统。通常，受控机械系统是连续的物理过程，而微处理机控制器处理离散的数字信号，二者之间必须通过采样器和数据保持器连接起来。2/26/202413TianjinUniversityofTechnology按照信号处理技术分类（2）

受控过程输出的连续时间信号以周期性时间间隔（采样周期T）采样，并转换为数字信号送入计算机，计算机运算控制规律后产生的数字控制指令，经过数据保持器转换为分段连续的时间信号，加给受控对象。这类计算机控制系统通常称为采样—数据控制系统。2/26/202414TianjinUniversityofTechnology

4．按照应用分类调节系统是在干扰作用下使受控变量保持常数的一种控制系统。跟踪系统是保持其受控变量尽可能接近时变的指令值。伺服系统是一类受控变量为位置、速度或加速度的跟踪系统。温度自动调节系统不是伺服系统，而是过程控制系统。它的受控变量描述了一个热动力学过程。2/26/202415TianjinUniversityofTechnology1.2典型机电控制系统1.伺服系统2.数控机床3.工业机器人4.自动导引车2/26/202416TianjinUniversityofTechnology1.伺服系统伺服系统又叫做伺服机构。它是一种反馈控制系统，它的受控变量是机械运动或者位置。多数伺服系统用来保持运动机械的输出位置紧密对应电的输入参考信号，因而是一种跟踪控制系统。2/26/202417TianjinUniversityofTechnology2.数控机床带有数控(NC，CNC)系统的机床称为数控机床。数控系统是一种利用预先决定的指令控制一系列加工作业的系统。2/26/202418TianjinUniversityofTechnology3.工业机器人（1）工业机器人是另一类数控机器。它是一种可编程机械手，用来通过一系列动作，搬运物料、零件、工具或者其他装置，以实现给定的任务。2/26/202419TianjinUniversityofTechnology工业机器人（2）工业机器人有三个主要组成部件：机械手终端器控制器2/26/202420TianjinUniversityofTechnology4.自动导引车（1）另一种形式的工业机器人是自主式自动导引车(AGV)。它能够跟踪编程路径，电子产品加工工业以及柔性制造系统中，自动导引车物料运输系统已经得到了广泛使用。2/26/202421TianjinUniversityofTechnology自动导引车（2）

AGV、地面控制柜、地板导引线以及通信控制设备组成了自动导引车系统.一个简化的自动导引车系统如图1—11所示。2/26/202422TianjinUniversityofTechnology1．3系统数学模型

1．3．1输入—输出模型

系统的古典表示法是图1—12所示的“黑匣子”。该系统有p个输入(亦称为激励或驱动函数)，以及q个输出（亦称为响应变量）。输入相应于激励源，并且假设是已知的时间函数。输出相应于需要测量或计算的物理变量。2/26/202423TianjinUniversityofTechnology1．3．1输入—输出模型

以输入／输出形式表示的线性系统可以采用微分方程建立其数学模型。由n阶微分方程表示的系统称为n阶系统。一般来说，系统的阶次由系统中独立能量储存元件的数目确定。2/26/202424TianjinUniversityofTechnology1．3．2状态模型（1）

对于多输入—多输出系统，输入/输出模型是不便使用的，而且，在推导输入/输出模型时可能会抑制系统的重要性能。因此，动态系统的“现代”表示法常常采用状态变量模型，简称为状态模型。

状态模型是原始元件物理定律和系统关系式的最大简化，它不会损失有关系统性能的任何信息。对于多输入-多输出系统和应用计算机仿真进行系统分析时，状态模型将提供方便的表示方法。2/26/202425TianjinUniversityofTechnology

状态模型（2）

完整的状态变量模型由两组方程组成：状态方程输出方程。对于线性系统，状态方程具有下列形式：2/26/202426TianjinUniversityofTechnology状态模型（3）输出方程具有下列形式：2/26/202427TianjinUniversityofTechnology

状态模型（4）2/26/202428TianjinUniversityofTechnology1.3.3传递函数

传递函数定义为初始条件为零时，输出拉氏变换与输入拉氏变换之比。因此，系统传递函数G(s)＝Y(s)／U(s)，可以表示为2/26/202429TianjinUniversityofTechnology1.3.4方块图（1）

方块图是分析和设计动态系统的重要工具，因为它为叙述系统变量和元件之间的关系提供了图解方法。方块图由箭头内连接单向方块组成，方块代表特定的系统元件或子系统，箭头代表系统变量。因果性遵循箭头方向，如图1-14所示。2/26/202430TianjinUniversityofTechnology1.3.4方块图（2）

当已知一个系统的所有元件子系统的传递函数时，通过组合变换变量、传递函数及方块图这种图解工具，可以决定整个系统的传递函数。对于线性定常系统，图形表示所涉及的元件子系统有乘法器、卷积分(一般传递函数)、求和器、比较器以及分支点。它们的运算关系和基本方块如表1-1所示。一般系统的传递函数方块图包含了多个方块，通过串并联、求和、分支以及反馈等连接方式组成。方块图变换规则如表1-2所示。利用方块图变换规则，可以将一个由许多子系统组成的复杂系统方块图逐步简化为单个传递函数方块。这就是求复杂系统传递函数的图解法。2/26/202431TianjinUniversityofTechnology2/26/202432TianjinUniversityofTechnology2/26/202433TianjinUniversityofTechnology1.4系统响应

控制系统在输入作用下所产生的输出称为响应。若已知系统的传递函数G(s)和参考输入U(s)，那么，响应可以表示为

Y(s)＝G(s)U(s)

取上式的拉氏反变换，便得到响应的时域表达式y(t)，通常称之为时间响应。如果所考虑的输出是频域表达式(即Y(jω))，则称为频率响应。2/26/202434TianjinUniversityofTechnology1.4.1时间响应

时间响应由瞬态响应和稳态响应(又称静态响应)两部分组成。瞬态响应是指系统由初始状态到最终状态的响应过程，它是输出中随时间前进而衰减为零的部分。稳态响应是指当时间t→∞时系统的输出状态，即所有瞬态响应消失后输出中仍然存在的部分。2/26/202435TianjinUniversityofTechnology1．一阶系统瞬态响应（1）一阶系统输入/输出方程的标准形式为式中τ参数称为系统的时间常数。系统的传递函数为2/26/202436TianjinUniversityofTechnology一阶系统瞬态响应（2）

当输入分别为单位脉冲、单位阶跃以及单位斜坡等函数时，标准一阶系统的时间响应分别为2/26/202437TianjinUniversityofTechnology一阶系统瞬态响应（3）由下图可见，经过3τ时间间隔，单位阶跃响应进入其终值95％的范围以内。因此把ts=3τ，称为(5％)调整时间。2/26/202438TianjinUniversityofTechnology2．二阶系统瞬态响应（1）二阶系统输入/输出方程的标准形式为设输入为单位阶跃R（s）=1/s,那么，输入可表示为2/26/202439TianjinUniversityofTechnology二阶系统瞬态响应（2）经过拉氏反变换后，可得：其中，这个响应为指数衰减正弦振荡，衰减时间常数τ=1/ξωn

2/26/202440TianjinUniversityofTechnology二阶系统瞬态响应（3）

给定不同的ξ值，c(t)与出t的关系曲线族如下页图所示。注意，当0<ξ<1时，响应为衰减振荡，称为欠阻尼系统。当ξ≥1时，振荡消失，响应为两个指数函数的加权和。其中，当ξ>1时，称为过阻尼系统，响应可表示当ξ＝1时，则称为临界阻尼系统，其响应可表示为2/26/202441TianjinUniversityofTechnology二阶系统瞬态响应（4）若ξ＝0，则该系统称为无阻尼系统，响应为等幅正弦振荡。2/26/202442TianjinUniversityofTechnology1．4．2频率响应（1）

线性定常系统对正弦输入的稳态响应称为频率响应。频率响应由系统传递函数G(s)在s＝jω的虚轴上计算。这里，ω是正弦输入的角频率。因此，频率响应可表示为对于给定的ω,G(jω)是一个复数。频率响应G(jω)(0<ω<∞)是一个复函数。它可以进一步表示为2/26/202443TianjinUniversityofTechnology频率响应（2）其中，|G(jω)|和φ(ω)分别为G(jω)的模和幅角。频率响应的模等于输出正弦波的幅值与输人正弦波的幅值之比，幅角等于输出正弦波的相角与输入正弦波的相角之差。根据欧拉公式频率响应G(jω)也可以用实部Re(ω)和虚部Im(ω)表示为为了描写频率响应的特性，经常采用某种形式的图形来表示G(jω)随ω的变化关系。最常用的图形有极坐标图(即耐魁斯特图)和对数坐标图(即伯德图)。2/26/202444TianjinUniversityofTechnology1.极坐标图

极坐标图是当ω由零变化到无限大时矢量|G(jω)|∠G(jω)的轨迹。注意，在极坐标图上，正(或负)相角是从正实轴开始以反时针(或顺时针)旋转来定义的。为了绘制极坐标图，必须对每一个频率直接计算出幅值|G(jω)|和相角∠

G(jω)。考虑一般形式的频率响应：

式中，m<n。2/26/202445TianjinUniversityofTechnology极坐标图的几种形式λ＝0，即0型系统。λ＝1，即I型系统。λ＝2，即Ⅱ型系统。2/26/202446TianjinUniversityofTechnology2.对数坐标图

对数坐标图由两幅图组成：对数幅值坐标图相角图对数幅值的标准表达式为20lg|G(jω)|，单位为分贝，简记为dB。横坐标按频率对数分度，纵坐标的幅值(分贝)和相角(度)都采用线性分度。对数坐标图的主要优点是绘制比较容易。首先，对数幅值坐标图将幅值相乘转化为对数幅值相加；其次，在渐近近似的基础上可以用渐近直线绘制近似对数幅值坐标图；此外，利用对数刻度扩大了实际应用中最重要的低频段特性，这种图形表达方式更为有效。

2/26/202447TianjinUniversityofTechnology几个基本因子（1）

在绘制对数坐标图时，首先，应将频率响应G(jω)分解为下述几个基本因子：(1)增益K

对数幅值曲线是幅值等于20lgK分贝的一条水平直线，相角为零。(2)积分和微分因子(jω)±1对数幅值为士20lgω，这是穿过ω＝1的一条直线，其斜率为土20dB/十倍频程；相角为±90’。对于积分因子取负号，微分因子取正号。(3)一阶因子(1+jωT)±1当ω≤1/T时，对数幅值渐近线是与横坐标一致的直线；当ω≥l／T时，渐近线是经过ω＝1／T的一条直线，其斜率等于±20dB/十倍频程。相角特性渐近线由三段组成：当ω≤o.1／T时，相角渐近线与横坐标一致；当ω≥10/T时，相角渐近线是等于±90°的一条水平直线；当0.1／T≤ω≤10／T时，相角渐近线是连接以上两条渐近线的一条斜线，斜率为±45°/十倍频程。2/26/202448TianjinUniversityofTechnology几个基本因子（2）

一阶因子采用渐近线取代实际曲线，对数幅值图的最大误差发生在ω＝1／T处，等于土3dB，相角曲线的最大误差发生在ω＝0．1／T和10／T处，等于±5.7°。一阶惯性环节1／(1+jωT)的对数坐标图如图所示。2/26/202449TianjinUniversityofTechnology1．5性能指标

1.5．1稳定性和稳态误差（1）

对于任意一个高阶系统，在输入r(t)的作用下，由下式可知，输出响应为根据输入—输出有界稳定性的定义：若输入r(t)有界，输出C(t)也为有界，那么称该系统是有界输入-有界输出稳定系统。2/26/202450TianjinUniversityofTechnology稳定性和稳态误差（2）对于一个稳定系统，稳态误差(或称静态误差)是系统响应在t→∞时的性能度量。对于单位反馈系统(如下图所示)，稳态误差可以用公式表示为ess=lime(t)，e(t)是E(s)的拉氏反变换。该系统具有两个输入，即参考信号R(s)和干扰信号D(s)。对于调节系统，R(s)通常为设定常数，主要考虑干扰D(s)对输出C(s)的影响。2/26/202451TianjinUniversityofTechnology稳定性和稳态误差（3）

下面，我们集中考虑参考输入R(s)的作用(对于干扰输入的分析方法是类似的)。系统响应的拉氏变换表达式为系统误差可以表示为2/26/202452TianjinUniversityofTechnology稳定性和稳态误差（4）

如果系统是稳定的，稳态误差ess，可以由拉氏变换的终值定理表示如下：2/26/202453TianjinUniversityofTechnology稳定性和稳态误差（5）由上式表达式可以看出，系统的稳态误差不仅取决于系统本身，而且取决于输入作用。如果系统的开环传递函数Gc(s)Gp(s)可以表示为S-nG(s)，则称该系统为n型系统。当n＝0，1，2时，分别定义位置、速度及加速度误差系数为2/26/202454TianjinUniversityofTechnology稳定性和稳态误差（6）

那么，对于单位阶跃、单位斜坡以及单位抛物线输入，各型系统的稳态误差可分别由以上公式求取，其结果如下表所示。2/26/202455TianjinUniversityofTechnology1．5．2瞬态响应指标

瞬态响应是控制系统短时间响应特性的度量。为了具体地表征瞬态响应特性，需要定义一些定量指标——品质指标。

1.对于时间响应采用时域指标，

2.对于频率响应则采用频域指标或相对稳定性。显然，对于同一个控制系统，时域指标、频域指标及相对稳定性是互相相关的，相互之间具有一定的折合关系。2/26/202456TianjinUniversityofTechnology1．时域指标

讨论时域指标通常采用单位阶跃响应。典型的控制系统单位阶跃响应曲线如图所示。2/26/202457TianjinUniversityofTechnology时域品质指标td——延迟时间，等于输出c(t)到达其希望终值的50％所需要的时间。tr——上升时间，等于输出c(t)由其希望终值的10％到达90％所需要的时间。σ——最大超调量，表示c(t)在其希望终值以上的最大偏移△p，通常以百分比表示：

△p=0.25则表示σ=25%ts——调整时间，表示c(t)到达并保留在其终值的土5％(或土2％)误差带以内所需要的时间。2/26/202458TianjinUniversityofTechnology

2．频域指标控制系统的频域指标采用闭环频率响应。典型的闭环频率响应曲线如图所示。

2/26/202459TianjinUniversityofTechnology有关的频域指标定义如下：Mp——振荡度，闭环幅频特性的谐振峰值。通常，Mp越大，对应的超调量σ越大。ωp——谐振频率，等于谐振峰值出现时的频率。BW——通频带宽度，闭环幅频特性下降到零频率幅值的0．707(或者由零频率增益下降3dB)时的频率。2/26/202460TianjinUniversityofTechnology3．相对稳定性(1)利用相对稳定性的概念也可以描述控制系统的瞬态响应特性。相对稳定性通常采用开环频率响应的极坐标图。典型的开环系统频率响应Gc(jω)Gp(jω)对数坐标图如图所示。

2/26/202461TianjinUniversityofTechnology相对稳定性(2)

相对稳定性指标用稳定裕量(又称稳定储备)来表征,它们定义如下：

GM——增益稳定裕量，系统抵达不稳定边界容许开环回路增益增加的分贝数，即ΦM——相角稳定裕量，开环幅频特性等于1时所对应的相位与-180°之间的差角，即ωc——剪切频率，开环幅频特性等于1(0dB)时的频率。2/26/202462TianjinUniversityofTechnology4．二阶系统品质指标

(1)时域指标(1)已知标准二阶系统的单位阶跃响应为其中，根据上式，可得如下行性能指标最大超调量的时刻：最大超调量2/26/202463TianjinUniversityofTechnology时域指标(2)此外，延迟时间td、上升时间tr，以及调整时间ts：有下列近似表达式以上关系式表明，延迟时间td、上升时间tr以及调整时间ts，除了与阻尼比ξ有关以外，全部都与自然频率ωn成反比。在多数控制系统中，总是希望上升时间快，超调量比较低，因此经常选择最佳阻尼比ξ=0.707。不过，在有些机电控制系统中，例如某些工业机器人，不容许有超调量存在，因而应该选用临界阻尼比ξ＝1。2/26/202464TianjinUniversityofTechnology(2)频域指标二阶系统闭环频率响应为幅频特性为（1-46）取方程(1-46)对ω的导数，令结果等于零，可解得谐振频率为

(1-47)将式(1-47)代人式(1-46)，简化后可得振荡度为令M(ω)＝0.707，求解方程(1-46)可得系统通频带宽度为2/26/202465TianjinUniversityofTechnology(3)二阶系统的相对稳定性令开环幅频特性等于1，即可以解得剪切频率为由此，相角裕量可以表示为2/26/202466TianjinUniversityofTechnology为了查阅方便起见，下表列写了阻尼比、自然频率与几项品质指标的定量关系。

2/26/202467TianjinUniversityofTechnology标准二阶系统品质指标曲线根据上表所列数据，绘制σ，Mp以及φM相对ξ的关系曲线，如图1—30所示。不难看出，标准二阶系统的时域指标和频域指标存在着简单的对应关系。当ξ由1下降时，时域的最大超调量σ增加，上升时间tr加快，频域的振荡度Mp和通频带宽BW加大，相角裕量φM减小而剪切频率ωc增加。这就是说，大的超调量对应大的振荡度和小的相角稳定量；同时，快的上升时间对应宽的通频带和大的剪切频率。2/26/202468TianjinUniversityofTechnology1．6控制器设计概述一般来说，任何一个控制系统的性能都是通过设计合适的控制器而最终实现的。在这一节中，我们将集中讨论在机电控制系统中最常用的比例（proportion)-积分(integral)-微分(derivative)控制器(简记为PID控制器)及相位超前lead)—滞后(1ate)控制器(简记为LL控制器)的设计。2/26/202469TianjinUniversityofTechnology1.6.1PID控制器的作用(1)

一般的PID控制器由三部分并联组成，如图1—31所示。其中KP，KI，KD分别代表比例、积分以及微分增益。2/26/202470TianjinUniversityofTechnologyPID控制器的作用(2)

PID控制器的传递函数可表示为

KI的作用是增加积分增益，但是使系统相角稳定裕量减小；KP的作用是增大系统通频带，但是也会使系统稳定性变差；KD的作用是给系统提供阻尼，改善系统稳定性，但同时放大了高频噪声。所以，PID控制器的三个增益必须根据实际情况进行折衷选择。2/26/202471TianjinUniversityofTechnology1.6.2PID控制算法的其他形式(表示方法)标准的或非内作用PID控制器其中，Kp=K,KI=K/Ti,KD=KTd

名词“非内作用”的原由是：在该式中，积分时间Ti不影响导数部分，微分时间Td也不影响积分部分。这种算法容许选用复数零点，因而对于校正具有振荡极点的受控对象是有好处的。

串联或内作用PID控制器2/26/202472TianjinUniversityofTechnology1.6.3相位超前—滞后控制器（1）

在实现完整的PID控制器时，一个最主要的问题是存在导数项。它的增益是随着频率增加而增加的，因而会放大高频噪声。这在实际系统中往往是不允许的。解决这一矛盾的最好方法是采用速度负反馈取代导数项，如图所示。它的控制作用可以表示如下：式中e(t)=r(t)-c(t)----控制误差；r(t)-----参考输入；c(t)----系统输