高一数学人教B版必修4课时作业2-2-1平面向量基本定理

课时作业18平面向量基本定理(限时：10分钟)1．已知e1，e2是表示平面α内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是()A．e1和e1＋e2B．e1－2e2和e2－2e1C．e1－2e2和4e2－2e1D．e1＋e2和e1－e2解析：由于4e2－2e1＝－2(e1－2e2)，故选C.答案：C2．已知a＝xe1＋2e2与b＝3e1＋ye2共线，且e1、e2不共线，则xy的值为()A．6B.eq\f(2,3)C．－6D．－eq\f(2,3)答案：A3．如图，eq\o(OA,\s\up9(→))、eq\o(OB,\s\up9(→))、eq\o(OC,\s\up9(→))的终点A、B、C在一条直线上，且eq\o(AC,\s\up9(→))＝－3eq\o(CB,\s\up9(→))，设eq\o(OA,\s\up9(→))＝p，eq\o(OB,\s\up9(→))＝q，eq\o(OC,\s\up9(→))＝r，则以下等式成立的是()A．r＝－eq\f(1,2)p＋eq\f(3,2)qB．r＝－p＋2qC．r＝eq\f(3,2)p－eq\f(1,2)qD．r＝－q＋2p答案：A4．如图，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD的中点，EF与AC交于点G，若eq\o(AB,\s\up9(→))＝a，eq\o(AD,\s\up9(→))＝b，用a、b表示eq\o(AG,\s\up9(→))＝________.解析：eq\o(AG,\s\up9(→))＝eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BE,\s\up9(→))＋eq\o(EG,\s\up9(→))＝a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,4)eq\o(BD,\s\up9(→))＝a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,4)b－eq\f(1,4)a＝eq\f(3,4)a＋eq\f(3,4)b.答案：eq\f(3,4)a＋eq\f(3,4)b5．如图，在△ABC中，点D与点E分别在边BC和AC上，且BD＝eq\f(1,3)BC，CE＝eq\f(1,3)CA，AD和BE交于点R.求证：eq\o(RD,\s\up9(→))＝eq\f(1,7)eq\o(AD,\s\up9(→))，eq\o(RE,\s\up9(→))＝eq\f(4,7)eq\o(BE,\s\up9(→)).证明：∵A，R，D三点共线，∴存在实数λ，使eq\o(RD,\s\up9(→))＝λeq\o(AD,\s\up9(→))，则eq\o(AR,\s\up9(→))＝(1－λ)eq\o(AD,\s\up9(→))，∴eq\o(CR,\s\up9(→))＝eq\o(CA,\s\up9(→))＋eq\o(AR,\s\up9(→))＝eq\o(CA,\s\up9(→))＋(1－λ)eq\o(AD,\s\up9(→))＝eq\o(CA,\s\up9(→))＋(1－λ)(eq\o(CD,\s\up9(→))－eq\o(CA,\s\up9(→)))＝λeq\o(CA,\s\up9(→))＋(1－λ)eq\o(CD,\s\up9(→))＝λeq\o(CA,\s\up9(→))＋eq\f(2,3)(1－λ)eq\o(CB,\s\up9(→)).①又∵B，R，E三点共线，∴存在实数μ，使eq\o(RE,\s\up9(→))＝μeq\o(BE,\s\up9(→))，则eq\o(BR,\s\up9(→))＝(1－μ)eq\o(BE,\s\up9(→))，∴eq\o(CR,\s\up9(→))＝eq\o(CB,\s\up9(→))＋eq\o(BR,\s\up9(→))＝eq\o(CB,\s\up9(→))＋(1－μ)eq\o(BE,\s\up9(→))＝eq\o(CB,\s\up9(→))＋(1－μ)(eq\o(CE,\s\up9(→))－eq\o(CB,\s\up9(→)))＝(1－μ)eq\o(CE,\s\up9(→))＋μeq\o(CB,\s\up9(→))＝eq\f(1,3)(1－μ)eq\o(CA,\s\up9(→))＋μeq\o(CB,\s\up9(→)).②由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,3)1－μ，,\f(2,3)1－λ＝μ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,7)，,μ＝\f(4,7).))∴eq\o(RD,\s\up9(→))＝eq\f(1,7)eq\o(AD,\s\up9(→))，eq\o(RE,\s\up9(→))＝eq\f(4,7)eq\o(BE,\s\up9(→)).(限时：30分钟)1．若点G是△ABC的重心，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则eq\o(GA,\s\up9(→))＋eq\o(GB,\s\up9(→))＋eq\o(GC,\s\up9(→))等于()A．6eq\o(GD,\s\up9(→))B．－6eq\o(GD,\s\up9(→))C．－6eq\o(GE,\s\up9(→))D．0解析：在△ABC中，G为重心，∴eq\o(GC,\s\up9(→))＝－2eq\o(GD,\s\up9(→)).又∵eq\o(GA,\s\up9(→))＋eq\o(GB,\s\up9(→))＝2eq\o(GD,\s\up9(→))，∴eq\o(GA,\s\up9(→))＋eq\o(GB,\s\up9(→))＋eq\o(GC,\s\up9(→))＝0，故选D.答案：D2．已知A，B，C三点共线，O是该直线外的一点，且满足meq\o(OA,\s\up9(→))－2eq\o(OB,\s\up9(→))＋eq\o(OC,\s\up9(→))＝0，则m的值为()A．1B．2C．－3D．－4解析：∵meq\o(OA,\s\up9(→))－2eq\o(OB,\s\up9(→))＋eq\o(OC,\s\up9(→))＝0，∴eq\o(OC,\s\up9(→))＝2eq\o(OB,\s\up9(→))－meq\o(OA,\s\up9(→)).∵A、B、C三点共线，∴由共线向量定理的推论知m＝1.答案：A3．已知eq\o(OA,\s\up9(→))·x2＋eq\o(OB,\s\up9(→))·x－eq\o(OC,\s\up9(→))＝0(x∈R)，其中A，B，C三点共线，O是直线外一点，则满足上述条件的x值的情况为()A．不存在B．有一个C．有两个D．以上情况均有可能解析：由eq\o(OA,\s\up9(→))·x2＋eq\o(OB,\s\up9(→))·x－eq\o(OC,\s\up9(→))＝0可得eq\o(OA,\s\up9(→))·x2＋eq\o(OB,\s\up9(→))·x＝eq\o(OC,\s\up9(→))，再由A、B、C三点共线，O是线外一点，可得x2＋x＝1，此方程有两个根，故满足条件的x值有两个．答案：C4．设O，A，M，B为平面上四点，eq\o(OM,\s\up9(→))＝λeq\o(OB,\s\up9(→))＋(1－λ)·eq\o(OA,\s\up9(→))，且λ∈(1,2)，则()A．点M在线段AB上B．点B在线段AM上C．点A在线段BM上D．O、A、B、M四点共线解析：由eq\o(OM,\s\up9(→))＝λeq\o(OB,\s\up9(→))＋(1－λ)eq\o(OA,\s\up9(→))，得eq\o(OM,\s\up9(→))－eq\o(OA,\s\up9(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up9(→))－eq\o(OA,\s\up9(→)))，即eq\o(AM,\s\up9(→))＝λeq\o(AB,\s\up9(→)).又因为λ∈(1,2)，所以点B在线段AM上．答案：B5．已知平面内不共线的四点O，A，B，C满足eq\o(OB,\s\up9(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up9(→))，则|eq\o(AB,\s\up9(→))|∶|eq\o(BC,\s\up9(→))|＝()A．1∶3B．3∶1C．1∶2D．2∶1解析：∵eq\o(OB,\s\up9(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up9(→))，∴eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up9(→))－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up9(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up9(→))－eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up9(→))，即eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up9(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up9(→))，也就是eq\o(AB,\s\up9(→))＝2eq\o(BC,\s\up9(→))，∴|eq\o(AB,\s\up9(→))|∶|eq\o(BC,\s\up9(→))|＝2∶1.答案：D6．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于点H，记eq\o(AB,\s\up9(→))，eq\o(BC,\s\up9(→))分别为a，b，则eq\o(AH,\s\up9(→))＝()A.eq\f(2,5)a－eq\f(4,5)bB.eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)bC．－eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)bD．－eq\f(2,5)a－eq\f(4,5)b解析：设eq\o(AH,\s\up9(→))＝λeq\o(AF,\s\up9(→))，eq\o(DH,\s\up9(→))＝μeq\o(DE,\s\up9(→)).∵F为CD的中点，∴eq\o(AF,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→)))．∴eq\o(AH,\s\up9(→))＝eq\f(λ,2)(eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→)))＝eq\f(λ,2)(eq\o(AB,\s\up9(→))＋2eq\o(BC,\s\up9(→)))＝eq\f(λ,2)eq\o(AB,\s\up9(→))＋λeq\o(BC,\s\up9(→)).eq\o(AH,\s\up9(→))＝eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(DH,\s\up9(→))＝eq\o(AD,\s\up9(→))＋μeq\o(DE,\s\up9(→))＝eq\o(AD,\s\up9(→))＋μ(eq\o(AE,\s\up9(→))－eq\o(AD,\s\up9(→)))＝(1－μ)eq\o(BC,\s\up9(→))＋μ(eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up9(→)))＝μeq\o(AB,\s\up9(→))＋(1－eq\f(μ,2))eq\o(BC,\s\up9(→)).根据平面向量基本定理有eq\f(λ,2)＝μ，λ＝1－eq\f(μ,2).解得μ＝eq\f(2,5)，λ＝eq\f(4,5).因此有eq\o(AH,\s\up9(→))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)b.故选B.答案：B7．已知数轴上点A，B的坐标分别是－8，－3，则eq\o(AB,\s\up9(→))的坐标为________，长度为________．答案：558．设a，b是两个不共线的非零向量，若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k答案：－49．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M、N分别是CD和AB的中点，若eq\o(AB,\s\up9(→))＝a，eq\o(AD,\s\up9(→))＝b，试用a、b表示eq\o(BC,\s\up9(→))和eq\o(MN,\s\up9(→))，则eq\o(BC,\s\up9(→))＝________，eq\o(MN,\s\up9(→))＝________.解析：如图，则有eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(CD,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up9(→))＝eq\o(AD,\s\up9(→))＝b，eq\o(AC,\s\up9(→))＝b－eq\f(1,2)a.∴eq\o(BC,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))－eq\o(AB,\s\up9(→))＝b－eq\f(3,2)a.eq\o(MN,\s\up9(→))＝eq\o(MC,\s\up9(→))＋eq\o(CA,\s\up9(→))＋eq\o(AN,\s\up9(→))＝－eq\f(1,4)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a－b))＋eq\f(1,2)a＝eq\f(3,4)a－b.答案：b－eq\f(3,2)a，eq\f(3,4)a－b10．如图，在△ABC中，eq\o(BD,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up9(→))，eq\o(AE,\s\up9(→))＝3eq\o(ED,\s\up9(→))，若eq\o(AB,\s\up9(→))＝a，eq\o(AC,\s\up9(→))＝b，试用a与b表示eq\o(BE,\s\up9(→)).解析：eq\o(BE,\s\up9(→))＝eq\o(AE,\s\up9(→))－eq\o(AB,\s\up9(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up9(→))－eq\o(AB,\s\up9(→))＝eq\f(3,4)(eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BD,\s\up9(→)))－eq\o(AB,\s\up9(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(3,4)×eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up9(→))－eq\o(AB,\s\up9(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(AC,\s\up9(→))－eq\o(AB,\s\up9(→)))－eq\o(AB,\s\up9(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up9(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b.11．如图，在△AOB中，eq\o(OA,\s\up9(→))＝a，eq\o(OB,\s\up9(→))＝b，设eq\o(AM,\s\up9(→))＝2eq\o(MB,\s\up9(→))，eq\o(ON,\s\up9(→))＝3eq\o(NA,\s\up9(→))，而OM与BN相交于点P，试用a，b表示向量eq\o(OP,\s\up9(→)).解析：eq\o(OM,\s\up9(→))＝eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\o(AM,\s\up9(→))＝eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up9(→))＝eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OB,\s\up9(→))－eq\o(OA,\s\up9(→)))＝a＋eq\f(2,3)(b－a)＝eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b.因为eq\o(OP,\s\up9(→))与eq\o(OM,\s\up9(→))共线，令eq\o(OP,\s\up9(→))＝teq\o(OM,\s\up9(→))，则eq\o(OP,\s\up9(→))＝teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a＋\f(2,3)b)).又设eq\o(OP,\s\up9(→))＝(1－m)eq\o(ON,\s\up9(→))＋meq\o(OB,\s\up9(→))＝eq\f(3,4)(1－m)a＋mb所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(t,3)＝\f(3,4)1－m，,\f(2,3)t＝m，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,t＝\f(9,10).))所以eq\o(OP,\s\up9(→))＝eq\f(3,10)a＋eq\f(3,5)b.12．P是△ABC内一点，且满足条件eq\o(AP,\s\up9(→))＋2eq\o(BP,\s\up9(→))＋3eq\o(CP,\s\up9(→))＝0，设Q为CP延长线与AB的交点，令eq\o(CP,\s\up9(→))＝p，用p表示eq\o(CQ,\s\up9(→)).解析：如图：因为eq\o(AP,\s\up9