数值分析复习题答案

INDEX数值分析复习题一、填空Chapter1绪论近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有3位有效数字.用近似真值1000时，其有效数字有4位，准确值x*与其有t位有效数字的近似值的绝对误差为。设是真值的近似值，那么有3位有效数字。设一近似数x*=2.5231具有5位有效数字，那么其相对误差限是，其绝对误差限是。当很大时，为防止损失有效数字，应该使。Chapter2插值方法设，那么3。假设那么0。对,差商0。设，那么差商1。y=f(x)的均差,,f[x4,x3,x2]=14，f[x0,x3,x2]=8,.那么均差f[x4,x2,x0]=9。〔交换不变性〕设有数据那么其2次Larange插值多项式为，2次拟合多项式为〔最正确平方逼近可求〕。？？？以n+1个整数点k(k=0,1,2,…,n)为节点的Lagrange插值基函数为(k=0,1,2,…,n)，那么x。？？〔注：，那么有拉格朗日插值公式：，即：〕假设是三次样条函数，那么：a=_3_,b=_3_,c=0。三次样条函数S(x)满足：S(x)在区间[a,b]内二阶连续可导，S(xk)=yk()，k=0,1,2,…,n，且满足S(x)在每个子区间[xk,xk+1]上是不超过三次的多项式。过(0，1)，(2，4)，(3，1)点的分段线性插值函数P(x)=设有函数表如：，那么可利用分段三次Hermite插值，其插值多项式的次方为三次.？？Chapter3函数的最正确平方逼近无Chapter4数值积分与数值微分牛顿—柯特斯求积公式的系数和积分区间的长度〔b-a〕。〔验证梯形、辛普森、科特斯公式满足〕？？数值求积公式的代数精度为：2次代数精度。〔依次将函数代入验证是否满足，可得代数精度〕求积公式的代数精度为：3次代数精度。求积分的近似值，其辛卜生公式为.求积分的近似值，其复化梯形公式为设，那么用梯形公式得近似值为n点高斯型求积公式其代数精度是2n-1。如5点高斯求积公式，其代数精度为9。Chapter5线性方程组的直接解法能用高斯消元法求解的充要条件是A的各阶顺序主子式不为零〔P113〕,当满足条件时(各阶顺序主子式不为零),可作LU分解,当满足条件时〔A为n阶对称正定矩阵〕,必有分解式,其中是对角元素为正的下三角阵。Chapter6线性方程组的迭代解法设，那么17，设A＝，那么＝20。设有矩阵，那么10，。A＝，x＝，那么45。设，，那么：。方阵A的谱半径是指矩阵的条件数是指。非奇异矩阵A的条件数Cond(A)＝？？，A是病态是指条件数数值很大。？？9。Chapter8非线性方程的数值解法解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数(x)满足在有根区间内，那么在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛。利用二分法求在上根的近似值，误差限为。设f(x)可微，那么求方程x2=f(x)根的牛顿迭代格式为。求的近似值，其牛顿迭代格式为。求的近似值，其牛顿迭代格式是。求解方程的Newton迭代公式为，割线公式为。序列满足递推关系：，假设有误差,这个计算过程不稳定。Chapter9常微分方程初值问题的数值解法微分方程数值解的几何意义是指用直线代替曲线。？？求解常微分方程处值问题的改良Euler〔梯形法〕公式为，它是二阶方法(二阶精度)。Euler法是一阶方法(一阶精度)。P218解常微分方程初值问题的改良欧拉法预报---校正公式是。预报值：，校正值：。计算题Chapter1绪论无Chapter2插值方法一、求一个次数不高于4的多项式p4(x)，满足以下插值条件：解：设：根据条件〔五个未知数五个条件〕解方程组可得：即：二、设在上具有三阶连续导数，且，是区间的中点，是经过点的二次多项式。试证明对任意有，其中。证明：由于，是经过点那么可以构造出二次牛顿插值或拉格朗日插值，其误差均为：此题中，，，其中：。所以：三、作一个三次多项式使满足：。解：为二次牛顿插值多项式，建立差商表，如以下图所示：可得：，令那么，因为，解得最后得满足条件的三次多项式：。四、对于积分，假设取节点试推导一个插值型求积公式，并用这个公式求的近似值。P74解：1、构造出三节点的拉格朗日插值多项式的基函数，如下：2、先计算系数，具体过程如下：然后构造出积分公式：3、根据构造的积分公式，计算，具体过程如下：五、给定数据试求的3次Newton插值多项式，并写出插值余项。解：求解差商，如下表所示：那么：插值余项：Chapter3函数的最正确平方逼近一、观测数据〔1，-5〕，〔2，0〕，〔4，5〕，〔5，6〕，试用最小二乘法求形如的经验公式。〔10分〕解：二、求上的一次最正确平方逼近多项式及平方误差。解：取；；分别计算：根据代入求解得：即得：为在多项式集合的最正确平方逼近。平方误差：三、设，试求的一次最正确平方逼近多项式，并估计误差。解：方法同上四、设，试求的一次最正确平方逼近多项式，并估计误差。解：方法同上五、设试在中求在区间上的最正确平方逼近元。解：取；；分别计算：根据代入求解得：即得：为在多项式集合的最正确平方逼近。六、用最小二乘法确定一条经过原点的二次曲线，使之拟合以下数据x01.02.03.0y0.20.51.01.2解：因为过原点，所以取；；二次曲线为：，，，由：，可得：即得：为在多项式集合的最小二乘法拟合曲线。平方误差：七、求解矛盾方程组：解：，，，由：，可得：Chapter4数值积分与数值微分一、把区间分成两等份，用复合辛卜生公式计算的近似值。保存小数点后四位，并说明误差是多少。解：根据复合辛卜生公式误差分析：二、如果，证明用梯形公式计算积分所得结果比准确值大，并说明其几何意义。证明：1、梯形积分公式余项：，因为，所以，根据：，可得用梯形公式计算积分所得结果比准确值大。2、几何意义：？？？？？？利用梯形的面积近似的代替曲边梯形的面积。〔如上图所示〕三、给定数据1.301.321.341.361.383.6020103.903304.255604.673445.17744用Simpson公式计算的近似值，并估计误差。解：？？？？？1、将进行n=2等分，那么根据复合辛普森公式可计算，计算过程如下：复化的Simpson公式：〔注：(0.4/6)*(3.602010+5.17744+2*4.2556+4*3.9033+4*4.67344)〕2、误差估计：此题中：，，设及其各阶导数的函数值在区间内不产生较大的变化，因而利用各点间的斜率代替曲线切线，最后计算取，可得：四、给定求积公式，试决定使它的代数精度尽可能得高。解：1、由于该求积公式有三个未知系数可以确定，根据代数精度的定义，可知，该求积公式至少是2次精度，那么将分别取代入该求积公式可得三个等式，从而确定系数A、B、C，具体过程如下：2、将代入求得的积分公式进行验证，假设成立而不成立，那么该公式为m次代数精度，具体过程如下：，精确成立；，不能精确成立；所以：求得的积分公式为，具有3次代数精度。四、设四阶连续可导，试建立如下数值微分公式：并推导该公式的截断误差。P100解：由条件得：其中为中间点，分别为的左右等距点，利用泰勒公式展开得：〔注：四阶连续可导，展开公式有四项〕将(1)、〔2〕两式相加得：将(1)、〔2〕两式相减得：两个公式精度均为。Chapter5线性方程组的直接解法Chapter6线性方程组的迭代解法一、写出计算线性方程组的高斯—赛德尔迭代格式，并分析此格式的收敛性.解：1、高斯—赛德尔迭代格式为：，2、判断该高斯—赛德尔迭代格式的收敛性：迭代公式的矩阵形式：，其中：，求得：，计算：所以，该迭代公式不收敛(即：发散)。二、对下述方程组直接应用高斯—塞德尔迭代法求解是否收敛？如果不收敛试设法给出收敛的迭代公式，并简述理由。解：1、迭代公式的矩阵形式：，其中：，求得：，计算：，所以该迭代公式不收敛(即：发散)。2、构造收敛的迭代公式？？？将化为：那么可得到新的：为严格对角占优矩阵，所以采用雅可比和高斯塞德尔迭代都收敛！三、用迭代公式，其中：。求解问取什么实数可使迭代收敛，什么可使迭代收敛最快。解：1、将化为标准形式令，可得：由已经条件可得：，解得：根据迭代法收敛的充要条件：可得关于的不等式：，所以在时，，即迭代收敛。2、求解可使迭代收敛最快：题三示意图分别将作出曲线图，如上图所示。在的区间内，的曲线为黑色粗线，那么为折线的最低点〔红点〕，即为曲线和的交点，求得：，使得最小。判断，越小收敛精度越高。当时，，所以迭代收敛最快。四、给定线性方程组用列主元消元法求解所给线性方程组。写出Gauss－Seidel迭代格式，并分析该迭代格式是否收敛。解：1、用列主元消元法求解所给线性方程组。增广矩阵为：对其进行列主元消元：2、检验高斯－赛德尔迭代，，其中：其过程同下题六〔2〕！五、给定线性方程组〔1〕写出Gauss－Seidel迭代格式；〔2〕分析该迭代格式是否收敛。解：检验高斯－赛德尔迭代，，其中：其过程同下题六〔2〕！六、给定线性方程组Ax＝b，其中A＝，证明雅可比迭代法发散，而高斯－赛德尔迭代法收敛。证明：迭代公式的矩阵形式：，分别检验，进行敛散性判断。1、检验雅可比迭代，，其中：，，求解得：，所以雅可比迭代发散！2、检验高斯－赛德尔迭代，，其中：，求解得：，，所以雅可比迭代收敛！七、设有个正的实的特征值试证当时迭代公式收敛。解：利用：，那么：，求解的特征值，可求得只需证明即可证明收敛。过程同上！八、给定线性方程组，其中，用迭代公式求解，问取什么实数可使迭代收敛，什么可使迭代收敛最快。解：同题三！Chapter8非线性方程的数值解法一、在求非线性f(x)=0根的近似值时，论证简单迭代法一般为线性收敛，而牛顿迭代法为平方收敛。P200证明：？？？？？？1、一般迭代法：，由于，，所以，，因而假设，且，那么简单迭代法为线性收敛！2、牛顿法，迭代格式为：，对求导，得：上式中，所以当时，，牛顿法为平方收敛。〔注：P201，一般情况下，，而，称在附近为p阶收敛〕二、考虑求解方程的迭代公式〔1〕试证：对任意初始值，该方法收敛。〔2〕写出用牛顿迭代法求解此方程的迭代公式。解：1、证明：由条件，迭代函数为可得：，所以，对于任意的初始值，该方法收敛。2、令：，那么其导数，由牛顿迭代公式可得：三、给定方程分析该方程存在几个根，并构造求近似根的迭代公式，证明所用的迭代公式是收敛的。解：1、令：，令，解得在为增函数，为减函数，为减函数，具体函数形状如图a所示，又由于，建立坐标系，从图中可以看出，为局部最大值，，图中可知该方程有一个根。图a图b2、由于，可知：，，构造牛顿迭代公式，证明：验证迭代公式是否满足以下条件：？？？？？(1)在上，、存在且符号不变，满足条件；(2)，满足条件；(3)假设要，由于，应使，比方，即可假设满足条件；综上，可知该迭代公式收敛！五、给定方程。〔1〕分析该方程存在几个根，找出每个根所在的区间；〔2〕构造求近似根的迭代公式，并证明所用的迭代公式是收敛的。解：方法同上下题！四、给定方程。分析该方程存在几个根；用迭代法求出这些根，精确至四位有效数；证明所试用的格式是收敛的。解：1、分析方程存在几个根：，所以在上为增函数，同时，所以存在一个根。2、用迭代法求解：迭代格式为：，由于，取，计算过程如下：，具有四位有效数字，所以。3、证明：迭代函数，，检验是否满足一下条件，(1)在上存在且连续，满足条件；(2)在上为减函数，因而，可得：，满足条件；(3)，满足条件；综上，可知该迭代公式收敛！Chapter9常微分方程初值问题的数值解法一、用预估一校正法求初值问题在x=0.2处的数值解，步长取h=0.1。〔要求保存小数点后4位〕解：预估—校正公式如下：二、假设用梯形公式求的近似解，其中，试证明：〔1〕〔其中为步长〕。〔2〕对固定的，当时，收敛于准确解。解：〔1