线代教学课件

线代2024-01-24线性方程组与矩阵行列式与矩阵的秩向量与向量空间特征值与特征向量线性变换与矩阵表示二次型与正定矩阵目录01线性方程组与矩阵线性方程组的概念线性方程线性方程组线性方程组的解由两个或两个以上的线性方程组成的方程组。满足方程组中所有方程的未知数的值。方程中未知数的最高次数为一次的方程。由$mtimesn$个数排成的$m$行$n$列的数表称为$m$行$n$列的矩阵，简称$mtimesn$矩阵。矩阵的定义两个矩阵只有当它们的行数相同、列数相同时才能相加，相加时对应位置的元素相加。矩阵的加法数与矩阵相乘时，用该数乘以矩阵中的每一个元素。数与矩阵相乘当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，相乘时对应位置的元素相乘再相加。矩阵的乘法矩阵的定义与性质满足交换律和结合律，即$A+B=B+A$，$(A+B)+C=A+(B+C)$。矩阵的加法运算满足结合律和分配律，即$(lambdamu)A=lambda(muA)$，$(lambda+mu)A=lambdaA+muA$，$lambda(A+B)=lambdaA+lambdaB$。数与矩阵的乘法运算不满足交换律、结合律和消去律，但满足结合律和分配律，即$(AB)C=A(BC)$，$(A+B)C=AC+BC$，$C(A+B)=CA+CB$。矩阵的乘法运算矩阵的运算02行列式与矩阵的秩03特殊行列式如对角行列式、上（下）三角行列式等，具有特殊的计算方法和性质。01行列式的定义对于n阶方阵，其行列式是由n个不同行不同列的元素乘积的代数和。02行列式的性质包括行列式转置不变性、行列式倍乘性质、行列式加减性质、行列式乘法定理等。行列式的定义与性质矩阵秩的定义矩阵A的秩r(A)是A中最大的非零子式的阶数。矩阵秩的性质包括矩阵秩的非负性、矩阵秩的加法性质、矩阵秩的乘法性质等。矩阵秩的求法通过初等变换将矩阵化为行阶梯形矩阵，非零行的行数即为矩阵的秩。矩阵的秩及其求法初等变换的定义初等变换的性质初等变换的应用矩阵的初等变换包括交换矩阵的两行（列）、用一个非零数k乘矩阵的某一行（列）、把矩阵的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上。初等变换不改变矩阵的秩，且任意两个等价矩阵都可以通过初等变换相互转化。在求解线性方程组、求矩阵的逆、求矩阵的特征值等问题中，初等变换是一个重要的工具。03向量与向量空间向量的加法满足平行四边形法则或三角形法则。向量的定义向量是既有大小又有方向的量，常用有向线段表示。向量的数乘实数与向量的乘积，其结果仍为向量。向量的叉积（外积）在三维空间中，两向量的叉积为一个向量，其方向垂直于原两向量构成的平面，大小等于原两向量构成平行四边形的面积。向量的点积（内积）两向量的点积为一个标量，等于两向量的大小与它们夹角的余弦的乘积。向量的概念及运算若干个向量通过线性运算得到的新向量。线性组合极大线性无关组所含向量的个数。向量组的秩若向量组中存在一个向量可以由其他向量线性表示，则称该向量组线性相关；否则称该向量组线性无关。线性相关与线性无关一个向量组中的最大线性无关子组。极大线性无关组向量组的线性相关性向量空间的定义向量空间的基与维数子空间向量空间的同构向量空间的定义与性质满足特定运算规则（加法和数乘）的向量集合。向量空间的一个子集，若它对于加法和数乘运算封闭，则称该子集为原向量空间的一个子空间。向量空间的一个极大线性无关组称为该空间的基，基中向量的个数称为空间的维数。两个向量空间如果存在一个保持运算的双射映射，则称这两个向量空间同构。04特征值与特征向量特征值设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得Ax=mx成立，则称m是A的一个特征值。特征向量对应于特征值m的非零向量x称为A的对应于特征值m的特征向量。特征多项式设A为n阶方阵，则行列式|A-λE|称为A的特征多项式。特征值与特征向量的概念根据定义，通过计算行列式|A-λE|，可以得到特征多项式。求特征多项式令特征多项式为0，解出方程即可得到特征值。求特征值将求得的每一个特征值代入方程组(A-λE)X=0，解出对应的非零向量即为特征向量。求特征向量特征值与特征向量的求法特征值与特征向量的应用判断矩阵是否可对角化求解微分方程数据降维量子力学如果n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则A可对角化。对于某些线性微分方程，可以通过求解其特征值和特征向量来得到通解。在机器学习和数据处理中，常常利用特征值和特征向量进行主成分分析（PCA）以实现数据降维。在量子力学中，特征值和特征向量被用来描述量子系统的状态和能量级别。05线性变换与矩阵表示线性变换的定义与性质设V和W是数域F上的线性空间，T是从V到W的映射，如果T满足T(α+β)=T(α)+T(β)和T(kα)=kT(α)，其中α，β∈V，k∈F，则称T是V到W的线性变换。线性变换的性质线性变换保持向量的加法与数乘运算，即T(α+β)=T(α)+T(β)和T(kα)=kT(α)。线性变换的核与象设T是V到W的线性变换，称集合{α∈V|T(α)=0}为T的核，记作ker(T)；称集合{T(α)|α∈V}为T的象，记作Im(T)。线性变换的定义线性变换的矩阵表示设V和W是数域F上的n维线性空间，T是从V到W的线性变换，在V中取定一组基α1，α2，…，αn，在W中取定一组基β1，β2，…，βn，则存在唯一的F上的n阶矩阵A，使得T(αi)=Aβi对任意i=1,2,…,n成立。称A为线性变换T在基α1，α2，…，αn和基β1，β2，…，βn下的矩阵表示。线性变换在基下的矩阵表示设V和W是数域F上的n维线性空间，T是从V到W的线性变换，在V中有两组基α1，α2，…，αn和γ1，γ2，…，γn，在W中有两组基β1，β2，…，βn和δ1，δ2，…，δn。如果A是T在基α1，α2，…，αn和基β1，β2，…，βn下的矩阵表示，B是T在基γ1，γ2，…，γn和基δ1，δ2，…，δn下的矩阵表示，P是从基α1，α2，…，αn到基γ1，γ2，…，γn的过渡矩阵，Q是从基β1，β2，…，βn到基δ1，δ2，…，δn的过渡矩阵，则有B=QAP。线性变换在不同基下的矩阵表示的关系几何变换01在解析几何中，许多几何变换如平移、旋转、缩放等都可以表示为线性变换。例如，在二维平面上绕原点逆时针旋转θ角度的变换可以表示为矩阵[cosθ-sinθ;sinθcosθ]。微分方程02在常微分方程中，许多方程的解可以通过线性变换转化为更简单的形式。例如，对于一阶常系数线性微分方程y'+p(x)y=q(x)，可以通过适当的线性变换将其转化为y'+y=f(x)的形式进行求解。量子力学03在量子力学中波函数满足薛定谔方程iℏ∂ψ/∂t=Hψ其中H是哈密顿算符表示能量对应于经典力学的哈密顿函数。薛定谔方程是线性方程因此量子态的叠加原理成立。线性变换的应用举例06二次型与正定矩阵二次型的定义二次型是一个二次齐次多项式，可以表示为$f(x_1,x_2,...,x_n)=X^TAX$，其中$A$是一个$ntimesn$的对称矩阵，$X$是一个$ntimes1$的列向量。二次型的标准形通过坐标变换，二次型可以化为标准形$f=y_1^2+y_2^2+...+y_n^2$，其中$y_i$是新的坐标变量。二次型的规范形在标准形的基础上，通过进一步的线性变换，可以得到二次型的规范形$f=lambda_1z_1^2+lambda_2z_2^2+...+lambda_nz_n^2$，其中$lambda_i$是矩阵$A$的特征值。二次型的概念及标准形010405060302正定矩阵的定义：对于任意非零向量$X$，都有$X^TAX>0$，则称对称矩阵$A$为正定矩阵。正定矩阵的性质正定矩阵的行列式大于0。正定矩阵的所有主子式都大于0。正定矩阵的特征值都大于0。正定矩阵一定可逆，且其逆矩阵也是正定的。正定矩阵的定义与性质顺序主子式法判断对称矩阵的所有顺序主子式是否都大于0，若都大于0，则该矩阵为正定矩阵。合同变换法通过合同