排列组合与概率及排列组合与概率(含习题答案)

..第86课时：第十章排列、组合和概率——随机事件的概率一．课题：TC"§10.3随机事件的概率"随机事件的概率二．教学目标：1．了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；2．掌握等可能事件的概率公式，并能熟练地运用排列组合的知识解决等可能事件的概率问题；三．教学重点：等可能事件的概率的计算．四．教学过程：（一）主要知识：1．随机事件概率的范围；2．等可能事件的概率计算公式；（二）主要方法：1．概率是对大量重复试验来说存在的一种规律性，但对单次试验而言，事件的发生是随机的；2．等可能事件的概率，其中是试验中所有等可能出现的结果（基本事件）的个数，是所研究事件中所包含的等可能出现的结果（基本事件）个数，因此，正确区分并计算的关键是抓住“等可能”，即个基本事件及个基本事件都必须是等可能的；（三）基础训练：1．下列事件中，是随机事件的是（C）

（A）导体通电时，发热；（B）抛一石块，下落；

（C）掷一枚硬币，出现正面；（D）在常温下，焊锡融化。2．在10张奖券中，有4张有奖，从中任抽两张，能中奖的概率为（C）3．6人随意地排成一排，其中甲、乙之间恰有二人的概率为（C）4．有个数字，其中一半是奇数，一半是偶数，从中任取两个数，则所取的两个数之和为偶数的概率为（C）（四）例题分析：例1．袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回抽三次，计算下列事件的概率：（1）三次颜色各不同；（2）三种颜色不全相同；（3）三次取出的球无红色或无黄色；解：基本事件有个，是等可能的，（1）记“三次颜色各不相同”为，；（2）记“三种颜色不全相同”为，；（3）记“三次取出的球无红色或无黄色”为，；例2．将一枚骰子先后掷两次，求所得的点数之和为6的概率。解：掷两次骰子共有36种基本事件，且等可能，其中点数之和为6的有共5种，所以“所得点数和为6”的概率为。例3．某产品中有7个正品，3个次品，每次取一只测试，取后不放回，直到3只次品全被测出为止，求经过5次测试，3只次品恰好全被测出的概率。解：“5次测试”相当于从10只产品中有序的取出5只产品，共有种等可能的基本事件，“3只次品恰好全被测出”指5件中恰有3件次品，且第5件是次品，共有种，所以所求的概率为。例4．从男生和女生共36人的班级中任意选出2人去完成某项任务，这里任何人当选的机会都是相同的，如果选出的2人有相同性别的概率是，求这个班级中的男生，女生各有多少人?解：设此班有男生n人(n∈N,n≤36)，则有女生(36-n)人，从36人中选出有相同性别的2人，只有两种可能，即2人全为男生，或2人全为女生.从36人中选出有相同性别的2人，共有(Cn2+C36-n2)种选法.因此，从36人中选出2人，这2人有相同性别的概率为依题意，有＝经过化简、整理，可以得到n2-36n+315＝0.所以n＝15或n＝21，它们都符合n∈N，n<36.答：此班有男生15人，女生21人；或男生21人，女生15人.五．课后作业：1．100件产品中，95件正品，5件次品，从中抽取6件：至少有1件正品；至少有3件是次品；6件都是次品；有2件次品、4件正品.以上四个事件中，随机事件的个数是()34212．5人随意排成一排，其中甲不在左端，且乙在中间的概率为（）3．抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面，二枚反面的概率等于()4.将8个参赛队伍通过抽签分成A、B两组，每组4队，其中甲、乙两队恰好不在同组的概率为()5.袋中有白球5只，黑球6只，连续取出3只球，则顺序为“黑白黑”的概率为() 6．将骰子抛2次，其中向上的数之和是5的概率是()97７.有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2、3，现在从中任取三面，它们的颜色和号码均不相同的概率为。8.9支球队中，有5支亚洲队，4支非洲队，从中任意抽2队进行比赛，则两洲各有一队的概率是.9.接连三次掷一硬币，正反面轮流出现的概率等于.10.在100个产品中，有10个是次品，若从这100个产品中任取5个，其中恰有2个次品的概率等于.11.4位男运动员和3位女运动员排成一列入场；女运动员排在一起的概率是；男、女各排在一起的概率是；男女间隔排列的概率是.12.从1，2，3，……，9这九个数字中随机抽出数字，如依次抽取，抽后不放回，则抽到四个不同数字的概率是；如依次抽取，抽后放回，则抽到四个不同数字的概率是.13．20个零件中有3个次品，现从中任意取4个，求下列事件的概率：4个全是正品；（2）恰有2个是次品。14.从1，2，3，4，5这五个数字中，先任意抽取一个，然后再从剩下的四个数字中再抽取一个，求下列事件的概率：（1）第一次抽到的是奇数；（2）第二次抽到的是奇数；（3）两次抽到的都是奇数；（4）两次抽到的都是偶数；（5）两次抽到的数字之和是偶数．15．6名同学随意站成一排，求下列各种情况发生的概率：（1）甲站左端；（2）甲站左端，乙站右端；（3）甲、乙两人相邻；（4）甲、乙两人不相邻；（5）甲不站排头、排尾；（6）甲站在乙的左边（可以相邻，也可以不相邻）．2014高三暑期保送复习《排列组合与概率》专题第一讲排列组合与二项式定理【基础梳理】1．排列(1)排列的概念：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Aeq\o\al(m,n)表示．(3)排列数公式Aeq\o\al(m,n)＝(4)全排列数公式Aeq\o\al(n,n)＝(叫做n的阶乘)．2．组合(1)组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号Ceq\o\al(m,n)表示．(3)组合数公式Ceq\o\al(m,n)＝(n，m∈N*，且m≤n)．特别地Ceq\o\al(0,n)＝1.组合数的性质：①Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；②Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).3．二项式定理（1）(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的其中的系数Ceq\o\al(r,n)(r＝0,1，…，n)叫．式中的Ceq\o\al(r,n)an－rbr叫二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr.（2）．二项展开式形式上的特点①项数为.②各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为.③字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增直到n.(4)二项式的系数从Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，一直到Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(n,n).(3)．二项式系数的性质①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数即②增减性与最大值：二项式系数Ceq\o\al(k,n)，当k＜eq\f(n＋1,2)时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n是偶数时，中间一项取得最大值；当n是奇数时，中间两项取得最大值．③各二项式系数和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(r,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n；Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝.【基础自测】1．8名运动员参加男子100米的决赛．已知运动场有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字(如：4,5,6)，则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有()．A．360种 B．4320种C．720种 D．2160种2．以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有()．A．200个B．190个C．185个D．180个3．(2010·山东)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有()．A．36种B．42种C．48种D．54种4.如图，将1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有()．123312231A．6种 B．12种C．24种 D．48种某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是________(用数字作答)．6.(2011·福建)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于()．A．80B．40C．20D．107.若(1＋eq\r(2))5＝a＋beq\r(2)(a，b为有理数)，则a＋b＝()．A．45B．55C．70D．808.(人教A版教材习题改编)若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为()．A．9B．8C．7D．69．(2011·重庆)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝()．A．6B．7C．8D．9【例题分析】考向一排列问题【例1】►六个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站在两端；(2)甲、乙必须相邻；(3)甲、乙不相邻；(4)甲、乙之间恰有两人；(5)甲不站在左端，乙不站在右端；(6)甲、乙、丙三人顺序已定．【巩固练习1】用0,1,2,3,4,5六个数字排成没有重复数字的6位数，分别有多少个？(1)0不在个位；(2)1与2相邻；(3)1与2不相邻；(4)0与1之间恰有两个数；(5)1不在个位；(6)偶数数字从左向右从小到大排列．考向二组合问题【例2】►某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？【巩固练习2】甲、乙两人从4门课程中各选修2门，(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种？考向三排列、组合的综合应用【例3】►(1)7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，试问：每个盒子都不空的放法共有多少种？(2)计算x＋y＋z＝6的正整数解有多少组；(3)计算x＋y＋z＝6的非负整数解有多少组．【巩固练习3】有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？(1)分成1本、2本、3本三组；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；(3)分成每组都是2本的三组；(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本．【巩固练习4】►有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有多少种？【巩固练习5】在10名演员中，5人能歌，8人善舞，从中选出5人，使这5人能演出一个由1人独唱4人伴舞的节目，共有几种选法？考向四二项展开式中的特定项或特定项的系数【例4】►已知在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)－\f(3,\r(3,x))))n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．【训练6】(2011·山东)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(a),x2)))6展开式的常数项为60，则常数a的值为________．考向五二项式定理中的赋值【例7】►二项式(2x－3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．【训练7】已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.考向六二项式的和与积【例8】►(1＋2x)3(1－x)4展开式中x项的系数为________．【训练8】(2011·广东)xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,x)))7的展开式中，x4的系数是________(用数字作答)．【巩固作业】一、选择题1AUTONUM\*Arabic．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题）用0,1,,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 （）A．243 B．252 C．261 D．2792AUTONUM\*Arabic．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）满足,且关于x的方程有实数解的有序数对的个数为 （）A．14 B．13 C．12 D．10AUTONUM\*Arabic3．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题）使得 （）A． B． C． D．AUTONUM\*Arabic4．（2013年高考四川卷（理））从这五个数中,每次取出两个不同的数分别为,共可得到的不同值的个数是 （）A． B． C． D．5AUTONUM\*Arabic．（2013年高考陕西卷（理））设函数,则当x>0时,表达式的展开式中常数项为 （）A．-20 B．20 C．-15 D．156AUTONUM\*Arabic．（2013年高考江西卷（理））(x2-)5展开式中的常数项为 （）A．80 B．-80 C．40 D．-40二、填空题7AUTONUM\*Arabic．（2013年上海市春季高考数学试卷(）36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为,所以36的所有正约数之和为参照上述方法,可求得2000的所有正约数之和为________________________8AUTONUM\*Arabic．（2013年高考四川卷（理））二项式的展开式中,含的项的系数是_________.(用数字作答)9AUTONUM\*Arabic．（2013年上海市春季高考数学试卷(）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动,选出的3人中男女同学都有的概率为________(结果用数值表示).10AUTONUM\*Arabic．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题）将六个字母排成一排,且均在的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答)11AUTONUM\*Arabic．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题）从名骨科.名脑外科和名内科医生中选派人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科.脑外科和内科医生都至少有人的选派方法种数是___________(用数字作答)12AUTONUM\*Arabic．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题）的二项展开式中的常数项为______.第二讲离散型随机变量及其分布列【知识梳理】1．离散型随机变量的分布列(1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y等表示．(2)离散型随机变量对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．(3)分布列设离散型随机变量X可能取得值为x1，x2，…，xi，…xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率为P(X＝xi)＝pi，则称表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．(4)分布列的两个性质①pi≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝_1_.2．两点分布如果随机变量X的分布列为X10Ppq其中0<p<1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布．3．超几何分布列在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为：P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))(k＝0,1,2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，则称分布列X01…mPeq\f(C\o\al(0,M)·C\o\al(n－0,N－M),C\o\al(n,N))eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(m,M)C\o\al(n－m,N－M),C\o\al(n,N))为超几何分布列．【基础自测】1．抛掷均匀硬币一次，随机变量为()．A．出现正面的次数B．出现正面或反面的次数C．掷硬币的次数D．出现正、反面次数之和2．如果X是一个离散型随机变量，那么下列命题中假命题是()．A．X取每个可能值的概率是非负实数B．X取所有可能值的概率之和为1C．X取某2个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和D．X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和3．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝eq\f(1,2k)，k＝1,2，…，则P(2<X≤4)等于（）A.eq\f(3,16)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,16)D.eq\f(5,16)4．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为()．A．25B．10C．7D．65．设某运动员投篮投中的概率为P＝0.3，则一次投篮时投中次数的分布列是________．考点一由统计数据求离散型随机变量的分布列【例1】►(2011·北京改编)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学(1)求这两名同学的植树总棵数y的分布列；(2)每植一棵树可获10元，求这两名同学获得钱数的数学期望．投资成功投资失败192次8次【练习1】某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：则该公司一年后可获收益的分布列是________．考点二由古典概型求离散型随机变量的分布列【例2】►袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为eq\f(1,7).现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X表示取球终止时所需要的取球次数．求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X的分布列；(3)求甲取到白球的概率．【练习2】(2011·江西)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元．令X表示此人选对A饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．(1)求X的分布列；(2)求此员工月工资的期望．考点三由独立事件同时发生的概率求离散型随机变量的分布列【例3】►(2011·浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为eq\f(2,3)，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝eq\f(1,12)，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.【练习3】某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区．B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是eq\f(1,2).同样也假定D受A、B和C感染的概率都是eq\f(1,3).在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量．写出X的分布列(不要求写出计算过程)，并求X的均值(即数学期望)．【练习4】►(本题满分12分)在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记ξ＝|x－2|＋|y－x|.(1)求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；(2)求随机变量ξ的分布列．【练习5】某射手进行射击练习，假设每次射击击中目标的概率为eq\f(3,5)，且各次射击的结果互不影响．(1)求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率(用数字作答)；(2)求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率(用数字作答)；(3)设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．【】【巩固作业】w。w-w*k&s%5￥u1、如果是一个离散型随机变量，则假命题是()A.取每一个可能值的概率都是非负数；B.取所有可能值的概率之和为1；C.取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D.在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和2①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数；②在区间内随机的取一个数；③某超市一天中的顾客量其中的是离散型随机变量的是（）A．①；B．②；C．③；D．①③3、设离散型随机变量的概率分布如下，则的值为（）X1234PA．B．C．D．4、设随机变量的分布列为，则的值为（）A．1；B．；C．；D．5．给出下列四个命题：①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；②在一段时间内，某侯车室内侯车的旅客人数是随机变量；③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．其中正确的个数是（D）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．46、设随机变量等可能取1、2、3...值，如果,则值为（）A.4B.6C.10D.无法确定7、投掷两枚骰子，所得点数之和记为，那么表示的随机实验结果是（）A.一枚是3点，一枚是1点B.两枚都是2点C.两枚都是4点D.一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点8．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是eq\f(3,10)的事件为()A．恰有1只是坏的B．4只全是好的C．恰有2只是好的D．至多有2只是坏的9.(2007年湖北卷第1题)如果的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为A.3B.5C.6D.1010.（2007年湖北卷第9题）连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为θ，则的概率是A.B.C.D.11.（2007年北京卷第5题）记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一行，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有A．1440种B.960种C．720种D.480种12.(2007年全国卷Ⅱ第10题)从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有(A)40种 (B) 60种 (C)100种 (D)120种13、下列表中能成为随机变量的分布列的是（把全部正确的答案序号填上）-1-1010.30.40.41230.40.7-0.150-50.30.60.1①②③④④⑤14、已知为离散型随机变量，的取值为，则的取值为15、一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数可能取值为16.(2007年重庆卷第4题)若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为_____18、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数的分布列．分析：欲写出ξ的分布列，要先求出ξ的所有取值，以及ξ取每一值时的概率．19.(2007年重庆卷第6题)从张元，张元，张元的奥运预赛门票中任取张，则所取张中至少有张价格相同的概率(2007年辽宁卷)一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球.若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为多少一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止．设分裂次终止的概率是(=1,2,3,…)．记为原物体在分裂终止后所生成的子块数目，求.22．(本题满分12分)(2010·浙江杭州高二检测)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)设随机变量X为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求X的分布列．高中数学系列2—3单元测试题（2.1）参考答案一、选择题：1、D2、D3、C4、B5、D6、C7、D8、C9、B10、C11、B12、B二、填空题：13、③④14、15、16、20三、解答题：17、解：(1)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2(2)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15．所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟．18、解：设黄球的个数为，由题意知绿球个数为，红球个数为，盒中的总数为．∴，，．所以从该盒中随机取出一球所得分数的分布列为10－119、解从总数为10的门票中任取3张，总的基本事件数是C=120，而“至少有2张价格相同”则包括了“恰有2张价格相同”和“恰有3张价格相同”，即C+C（种）.所以，所求概率为20解P（A）=.21、解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的数目的分布列为24816．．．．．．．．．．．．∴．22.[解析](1)记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，那么P(EA)＝eq\f(A\o\al(3,3),C\o\al(2,5)A\o\al(4,4))＝eq\f(1,40).即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是eq\f(1,40).(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，那么P(E)＝eq\f(A\o\al(4,4),C\o\al(2,5)A\o\al(4,4))＝eq\f(1,10).所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P(eq\x\to(E))＝1－P(E)＝eq\f(9,10).(3)随机变量X可能取的值为1,2，事件“X＝2”是指有两人同时参加A岗位服务，则P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,5)A\o\al(3,3),C\o\al(2,5)A\o\al(4,4))＝eq\f(1,4).所以P(X＝1)＝1－P(X＝2)＝eq\f(3,4)，X的分布列为：X12Peq\f(3,4)eq\f(1,4)第三讲随机变量的数字特征【基础梳理】1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝(2)条件概率具有的性质：①0≤P(B|A)≤1；②如果B和C是两互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．2．相互独立事件(1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝，P(AB)＝(3)若A与B相互独立，则A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与B，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)也都相互独立．(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是的．(2)二项分布在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为k，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．4.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn三种分布(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；(2)X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)；(3)若X服从超几何分布，则E(X)＝neq\f(M,N).期望和方差性质(1)E(C)＝C(C为常数)(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a、b为常数)(3)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2(4)D(aX＋b)＝a2·D(X)【基础自测】1．(2010·山东)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为()．A.eq\r(\f(6,5))B.eq\f(6,5)C.eq\r(2)D．22．(2010·湖北)某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________．A．0.4B．0.6C．0.7D．0.93．(2010·上海)随机变量ξ的概率分布列由下表给出：ξ78910P0.30.350.20.15该随机变量ξ的均值是________．4．小王通过英语听力测试的概率是eq\f(1,3)，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是()．A.eq\f(4,9)B.eq\f(2,9)C.eq\f(4,27)D.eq\f(2,27)5．如果X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15，\f(1,4)))，则使P(X＝k)取最大值的k值为()．A．3B．4C．5D．3或46．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)等于()．A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,8)考点一离散型随机变量的均值和方差【例1】►A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：对阵队员A队队员胜的概率A队队员负的概率A1和B1eq\f(2,3)eq\f(1,3)A2和B2eq\f(2,5)eq\f(3,5)A3和B3eq\f(2,5)eq\f(3,5)现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A队，B队最后所得总分分别为X，Y求X，Y的分布列；(2)求E(X)，E(Y)．【练习1】(2011·四川)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为eq\f(1,4)，eq\f(1,2)；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为eq\f(1,2)，eq\f(1,4)；两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．考点二均值与方差性质的应用【例2】►设随机变量X具有分布P(X＝k)＝eq\f(1,5)，k＝1,2,3,4,5，求E(X＋2)2，D(2X－1)，eq\r(DX－1).【练习2】袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若η＝aX＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．考点三均值与方差的实际应用X15678P0.4ab0.1【例3】►(2011·福建)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：且X1的数学期望E(X1)＝6，求a，b的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．(3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：(1)产品的“性价比”＝eq\f(产品的等级系数的数学期望,产品的零售价)；“性价比”大的产品更具可购买性．【练习3】某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,4)；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β(α＋β＝1)．(1)如果把10万元投资甲项目，用X表示投资收益(收益＝回收资金－投资资金)，求X的概率分布及E(X)；(2)若把10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．考点四条件概率【例4】►(2011·辽宁)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于()．eq\f(1,8)B.eq\f(1,4)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,2)【练习4】(2011·湖南高考)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则(