2017-2021年北京高考数学真题分类汇编之函数

2017-2021年北京高考数学真题分类汇编之函数

一.选择题（共6小题）

1.（2021•北京）某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水

平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：〃师）.24/7降雨量的等级划分如下:

等级24力降雨量（精确到0.1）

..........

小雨0.1〜9.9

中雨10.0〜24.9

大雨25.0〜49.9

暴雨50.0—99.9

..........

在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200皿〃，高为300加〃的圆锥形雨量

器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24/?的雨水高度是150〃"〃（如图所示），则这

24/?降雨量的等级是（）

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

2.（2019•北京）下列函数中，在区间（0,+8）上单调递增的是（）

1.1

A.y=x2B.y=2xC.y=log]XD.y-

Tx

3.（2019•北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与

5Ei

亮度满足机2-如=—/g—其中星等为恤的星的亮度为以a=i,2）.已知太阳的

2E?

星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为（)

A.IO10-1B.10.1C.lg\O.\D.10-101

1

4.(2017•北足)已知函数/(x)=3"-(——)*,则f(x)()

3

A.是奇函数，且在R上是增函数

B.是偶函数，且在R上是增函数

C.是奇函数，且在R上是减函数

D.是偶函数，且在R上是减函数

5.(2017•北京)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中

普通物质的原子总数N约为1()8。，则下列各数中与」—最接近的是()

N

(参考数据：/g3po.48)

A.1033B.1()53C.1073D.1093

1

6.(2017•北京)已知函数/(x)=3厂(——)x,则/'(x)()

3

A.是偶函数，且在R上是增函数

B.是奇函数，且在R上是增函数

C.是偶函数，且在R上是减函数

D.是奇函数，且在R上是减函数

二.填空题(共6小题)

7.(2021•北京)已知函数/(x)=|/gx|-fcv-2,给出下列四个结论:

(1)若&=0,则/(x)有2个零点；

(2)存在负数%,使得/(x)恰有1个零点；

(3)存在负数鼠使得了(X)恰有3个零点；

(4)存在正数使得/(x)恰有3个零点.

其中所有正确结论的序号是.

1

8.(2020•北京)函数/.(x)=------F妹的定义域是.

1

9.(2020•北京)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排

放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=/(r),用-

/(b)一的大小评价在3,句这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,

b-a

给出下列四个结论：

①在Z，勿这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在13时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在［0,，，出，勿，山，印这三段时间中,在［0,3的污水治理能力最强.

其中所有正确结论的序号是.

10.(2019•北京)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、

西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这

四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客

网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.

①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的

最大值为.

11.(2018•北京)能说明“若/(x)>f(0)对任意的在(0,2］都成立，则f(x)在［0,

2］上是增函数”为假命题的一个函数是.

12.(2017•北京)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中A,

的横、纵坐标分别为第，•名工人上午的工作时间和加工的零件数，点的横、纵坐标分

别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=l,2,3.

(1)记Q为第，名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，。2,Q3中最大的是.

(2)记p,为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则0,p2,P3中最大的

是

t零件数（件）

A1

B173

•Bi

工作时间（小时）

2017-2021年北京高考数学真题分类汇编之函数

参考答案与试题解析

选择题（共6小题）

1.（2021•北京）某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水

平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：机机）.24力降雨量的等级划分如下:

等级24/1降雨量（精确到0.1）

..........

小雨0.1-9.9

中雨10.0〜24.9

大雨25.0〜49.9

暴雨50.0〜99.9

..........

在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200〃〃"，高为300〃"〃的圆锥形雨量

器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24〃的雨水高度是150〃〃〃（如图所示），则这

24/2降雨量的等级是（）

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

【考点】根据实际问题选择函数类型.

【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算.

【分析】利用圆锥内积水的高度是圆锥总高度的一半，求出圆锥内积水部分的半径，求

出圆锥的体积，求出平面上积水的厚度，由题意即可得到答案.

112

【解答】解：圆锥的体积为y=—Sh=—r兀h，

33

因为圆锥内积水的高度是圆锥总高度的一半，

11

所以圆锥内积水部分的半径为一X——X200=50"〃?，

22

将/'=50,〃=150代入公式可得U=125000TT（W/J?3）,

图上定义的是平地上积水的厚度，即平地上积水的高，

平底上积水的体积为V=S/?,且对于这一块平地的面积，即为圆锥底面圆的面积，

所以兀•乙X元

S=ZOO）?=10（）00（mn?）,

2

125000元

则平地上积水的厚度h=--------=12.5（%相），

10000兀

因为10<12.5<25,

由题意可知，这一天的雨水属于中雨.

故选：B.

【点评】本题考查了空间几何体在实际生活中的应用，解题的关键是掌握锥体和柱体体

积公式的应用，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题.

2.（2019•北京）下列函数中，在区间（0,+8）上单调递增的是（）

11

A.y=x2B.y=2*C.y=logjxD.y=---

Tx

【考点】函数单调性的性质与判断.

【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用.

【分析】判断每个函数在（0,+8）上的单调性即可.

]_1

【解答】解：y=12在（0,+8）上单调递增，y=£:=一在

Tx

（0,+8）上都是减函数.

故选：A.

【点评】考查寻函数、指数函数、对数函数和反比例函数的单调性.

3.（2019•北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与

5Ei

亮度满足机2-如=一心一其中星等为利的星的亮度为&a=i,2).已知太阳的

2E?

星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为()

A.IO10-1B.10.1C./glO.lD.1O10-1

【考点】对数的运算性质.

【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用.

54

【分析】把已知熟记代入加2-〃?1=—收一二，化简后利用对数的运算性质求解.

2E?

【解答】解：设太阳的星等是如=-26.7,天狼星的星等是〃?2=-1.45,

5Ei

由题意可得：一1.45—(一26.7)=—1妖」

2E?

孙2=10/，则'=101°」

5E2

故选：A.

【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题.

1

4.(2017•北京)已知函数/(X)=3"-(——)*,则/(x)()

3

A.是奇函数，且在R上是增函数

B.是偶函数，且在R上是增函数

C.是奇函数，且在R上是减函数

D.是偶函数，且在R上是减函数

【考点】奇偶性与单调性的综合.

【专题】探究型；定义法；函数的性质及应用.

【分析】由已知得/(-X)--f(x),即函数/(x)为奇函数，由函数y=3”为增函数,

1

y=(_)X为减函数，结合“增"-“减”="增”可得答案.

3

【解答】解:f(x)=3X-(―)*=3J3),

3

/./(-%)=3x-3X=-/(x),

即函数/(x)为奇函数,

1

又由函数y=3,为增函数，y=(―)x为减函数，

3

1

故函数/(X)=3'-(―)'为增函数，

3

故选：A.

【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合

应用，难度不大，属于基础题.

5.(2017•北京)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中

普通物质的原子总数N约为1()8。，则下列各数中与上_最接近的是()

N

(参考数据：/g3po.48)

A.1033B.1()53C.1073D.1()93

【考点】对数的运算性质.

【专题】计算题.

【分析】根据对数的性质：T=J°g-T，可得：3=10妒-10。48,代入M将M也化为

10为底的指数形式，进而可得结果.

【解答】解：由题意：M^3361,1()80,

根据对数性质有：3=10/«3^10°-48,

(IO048)361«10173,

173

M1093

N1O60

故选：D.

【点评】本题解题关键是将一个给定正数T写成指数形式：T=J°g-T，考查指数形式

与对数形式的互化，属于简单题.

1

6.(2017•北京)已知函数/(X)=3'-(一)。则()

3

A.是偶函数，且在R上是增函数

B.是奇函数，且在R上是增函数

C.是偶函数，且在R上是减函数

D,是奇函数，且在R上是减函数

【考点】奇偶性与单调性的综合.

【专题】探究型；定义法：函数的性质及应用.

【分析】由已知得/(-x)=-/(尤)，即函数/(x)为奇函数，由函数y=3*为增函数,

1

y=(一)X为减函数，结合“增"-“减”="增”可得答案.

3

1

【解答】解：/(x)=3J-(——)*=3*-3),

3

(-%)=3-3*=-f(x),

即函数f(x)为奇函数，

1

又由函数y=3*为增函数，y=(——)x为减函数，

3

1

故函数/(x)=3'-(―)'为增函数，

3

故选:B.

【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合

应用，难度不大，属于基础题.

二.填空题(共6小题)

7.(2021•北京)已知函数/(x)=|/gx|-履-2,给出下列四个结论：

(1)若％=0,则/1(x)有2个零点：

(2)存在负数也使得f(x)恰有1个零点；

(3)存在负数%,使得了(X)恰有3个零点；

(4)存在正数上使得/(x)恰有3个零点.

其中所有正确结论的序号是(1)(2)(4).

【考点】命题的真假判断与应用.

【专题】作图题；数形结合；转化思想；数形结合法；转化法；函数的性质及应用；简

易逻辑：数学建模；直观想象.

【分析】函数/(*)=|/gx|-日-2的零点的个数可转化为函数y=|/gx|与直线y=&+2的

交点的个数；从而作图，结合图象依次判断即可.

【解答】解：函数/(%)=|则-履-2的零点的个数可转化为函数)，=|3|与直线y=kx+2

的交点的个数；

作函数y=|/gx|与直线y=fcv+2的图象如右图，

若k=0,则函数与直线y=fcv+2的图象在（0,1）与（1,+8）上各有一个交点,

如直线/1，则f（x）有两个零点，故（1）正确；

当火=-2时,,当（0,1］时，/（》）=-四%+21:-2,

11

/（10'2）=2+——-2>0,/（10-1）=1+--2<0,

505

故/G）在（W2,101）上至少有一个零点，

又/（1）=0,结合图象知，/（x）在（0,1］上有两个零点，

即y=|/gx|与y=-2x+2有两个不同的交点，故当直线绕点（0,2）顺时针旋转时，

存在直线），=后+2与函数y=|/gx|与直线的图象相切，即/（X）有一个零点，如直线自

故（2）正确；

当上<0时，函数》=|/gx|与直线），=履+2的图象至多有两个交点，故（3）不正确；

当k>0且4足够小时，函数y=|/gx|与直线y=fcc+2的图象在（0,1）与（1,+8）上分

别有1个、2个交点，如直线包故（4）正确；

故答案为：（1）（2）（4）.

【点评】本题考查了命题真假性的判断，同时考查了函数的零点与函数的图象的关系应

用，考查了转化、数形结合等思想方法的应用，属于中档题.

1

8.（2020•北京）函数/（x）=----------+/nx的定义域是（.也>0}.

1

【考点】函数的定义域及其求法.

【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】根据函数成立的条件建立不等式组，解不等式即可.

【解答】解：要使函数有意义，则4,

x>0

'勺¥­］

所以，，所以x>0,

x>0

所以函数的定义域为{x|x>0},

故答案为：{xk>0}.

【点评】本题主要考查函数定义域的求解，根据函数成立的条件建立不等式是解决本题

的关键.比较基础.

9.（2020•北京）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排

放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=/（r）,用-

.“一八°）,的大小评价在口,句这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内，

b-a

甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.

给出下列四个结论：

①在S，0这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在/2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在f3时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在［0,3，m，3，32,⑶这三段时间中，在［0,川的污水治理能力最强.

其中所有正确结论的序号是①②③.

【考点】函数的图象与图象的变换.

【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；直观想象.

【分析】由两个企业污水排放量W与时间t的关系图象结合平均变化率与瞬时变化率逐

一分析四个命题得答案.

【解答】解：设甲企业的污水排放量W与时间f的关系为卬=f（f）,乙企业的污水排放

量W与时间/的关系为W=g(r).

2T储)

对于①，在山，切这段时间内，甲企业的污水治理能力为一......—1

品一八

g(t2)-g(t.)

乙企业的污水治理能力为-——......-.

f2-fl

了。2)一必)

由图可知，/⑺)-fCt2)>g(n)-g“2),••----------------->-——.......—,

t2Tlt2Tl

即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；

对于②，由图可知，/(/)在/2时刻的切线的斜率小于g(?)在，2时刻的切线的斜率，

但两切线斜率均为负值，

在及时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故②正确；

对于③，在73时刻，甲，乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，

...在73时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标，故③正确；

对于④，由图可知，甲企业在［0,川，①，出，上2，印这三段时间中，在用，出的污水

治理能力最强，

故④错误.

，正确结论的序号是①②③.

故答案为：①②③.

【点评】本题考查利用数学解决实际生活问题，考查学生的读图视图能力，是中档题.

10.(2019•北京)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、

西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这

四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客

网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.

①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付130元:

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的

最大值为15.

【考点】简单线性规划.

【专题】方程思想；分析法；不等式的解法及应用.

【分析】①由题意可得顾客一次购买的总金额，减去x,可得所求值；

②在促销活动中，设订单总金额为m元，可得Cm-x)X80%\”?X70%,解不等式,

结合恒成立思想，可得X的最大值.

【解答】解：①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60+80=140(元)，

即有顾客需要支付140-10=130(元)；

②在促销活动中，设订单总金额为胆元，

可得(w-x)X80%》机X70%,

m

即有xW——恒成立，

8

若m<120,可得到支付款为80%〃?；

当机2120,

可得xW工2_=15,

8

则x的最大值为15元.

故答案为：130,15

【点评】本题考查不等式在实际问题的应用，考查化简运算能力，属于中档题.

11.(2018•北京)能说明“若/(x)>f(0)对任意的账(0,2］都成立，则/(x)在［0,

2］上是增函数”为假命题的一个函数是f(x)=siru.

【考点】命题的否定.

【专题】计算题；对应思想；转化法；函数的性质及应用.

【分析】本题答案不唯一，符合要求即可.

【解答】解：例如f(x)—sinx,

尽管/(x)>/(0)对任意的在(0,2］都成立，

当xe［0,——)上为增函数，在(——，2］为减函数，

22

故答案为：f(x)=siax.

【点评】本题考查了函数的单调性，属于基础题.

12.(2017•北京)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中Ai

的横、纵坐标分别为第，名工人上午的工作时间和加工的零件数，点用的横、纵坐标分

别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=l,2,3.

(1)记0,•为第，・名工人在这一天中加工的零件总数，则Q”。2,。3中最大的是。1.

(2)记Pi为第，・名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则0,P2,P3中最大的是

i22_.

A零件数（件）

Al

Bi•&

A*l

•Bi

A*3

°工作时间（小时）

【考点】函数的图象与图象的变换.

【专题】计算题；图表型；转化思想；函数的性质及应用.

【分析】（1）若。i为第，.名工人在这一天中加工的零件总数，则。•的综坐标+5的

纵坐标；进而得到答案.

（2）若为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p,为48中点与原点连

线的斜率；进而得到答案.

【解答】解：（1）若为第，・名工人在这一天中加工的零件总数，

Qi=A\的纵坐标+Bi的纵坐标；

。2=42的纵坐标+&的纵坐标，

。3=43的纵坐标+83的纵坐标，

由已知中图象可得：21，。2，。3中最大的是Q，

（2）若Pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，

则Pi为AiBi中点与原点连线的斜率，

故Pl，P2,心中最大的是〃2

故答案为：Ql，P2

【点评】本题考查的知识点是函数的图象，分析出Q和的几何意义，是解答的关键.

考点卡片

1.命题的否定

【知识点的认识】

命题的否定就是对这个命题的结论进行否认.（命题的否定与原命题真假性相反）命题的否

命题就是对这个命题的条件和结论进行否认.（否命题与原命题的真假性没有必然联系）.rP

不是命题P的否命题，而是命题尸的否定形式.对命题“若P则Q”来说，rP是“若P则

非0"；P的否命题是“若非P则非Q”

注意两个否定：“不一定是”的否定是“一定是”；

“一定不是”的否定是“一定是

【解题方法点拨】若P则4,那么它的否命题是：若Y则rq,命题的否定是：若?则rq.注

意两者的区别.

全（特）称命题的否定命题的格式和方法；要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只

对结论进行否定.将量词“V”与“于‘互换，同时结论否定.

【命题方向】命题存在中学数学的任意位置，因此命题的范围比较广，涉及知识点多，多以

小题形式出现，是课改地区常考题型.

2.命题的真假判断与应用

【知识点的认识】

判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非P的真假，然后由

真值表判断复合命题的真假.

注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2-2x+l=0的两根都不是实根”,

因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分.

【解题方法点拨】

1.判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的

真假，最后由真值表得出复合命题的真假.

2.判断一个“若p则形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”,

则“若p则q”为真；而要确定“若p则为假，只需举出一个反例说明即可.

3.判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命

题与否命题同真同假这一关系进行转化判断.

【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且

全，多以小题形式出现.

3.函数的定义域及其求法

【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围.

求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；

②根式（开偶次方）被开方式20；

③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；

④指数为零时，底数不为零.

⑤实际问题中函数的定义域；

【解题方法点拨】

求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组.（1）当函数是由解析式给出时，其定义

域是使解析式有意义的自变量的取值集合.（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确

定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然

数等）.（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这

几个函数有意义的不等式组的解集.若函数定义域为空集，则函数不存在.（4）抽象函数的

定义域：①对在同一对应法则f下的量“x”“x+a”“x-所要满足的范围是一样的；②函

数g（X）中的自变量是X,所以求g（x）的定义域应求g（X）中的X的范围.

【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题.

4.函数的图象与图象的变换

【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）

连线.

解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法

则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）.

命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，

有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题.

【图象的变换】

1.利用描点法作函数图象

其基本步骤是列表、描点、连线.

首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周

期性、对称性等).

其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，

连线.

2.利用图象变换法作函数的图象

(1)平移变换：

y=f(x)a>0,右移a个单位(〃<0,左移同个单位)=y=/(x-a)；

y—f(x)b>0,上移6个单位(b<0,下移|6|个单位)(x)+b.

(2)伸缩变换：

伸长为原来的5倍

y=f(x)-3,缩短一来》一‘产”四)；

y=f(x)A>1,伸为原来的A倍(0VAV1,缩为原来的A倍)=y=A_/'(x).

(3)对称变换：

y=f(x)关于x轴对称=y=~f(x)；

y=f(x)关于y轴对称=y=/(-x)；

y=f(x)关于原点对称用=-f(-x).

(4)翻折变换：

y=fCx)去掉)，轴左边图，保留)，轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边=.y=/(R)；

y=f(x)留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y=，(x)|.

解题方法点拨

1、画函数图象的一般方法

(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的

曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出.

(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利

用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移

变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.

(3)描点法：当上面两种方法都失效时;则可采用描点法.为了通过描少量点，就能得到

比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论.

2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法

(1)知图选式：

①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域;

②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；

③从图象的劝称性方面，观察函数的奇偶性；

④从图象的循环往复，观察函数的周期性.

利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项.

(2)知式选图：

①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置：

②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

③从函数的奇偶性，判断图象的对称性.

④从函数的周期性，判断图象的循环往复.

利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项.

注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口.

3、(1)利有函数的图象研究函数的性质

从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；

从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等.

(2)利用函数的图象研究方程根的个数

有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数;利用此法也可由解的个数求

参数值.

4、方法归纳：

(1)1个易错点--图象变换中的易错点

在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x,y变换”的原则，写出

每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错.

(2)3个关键点--正确作出函数图象的三个关键点

为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：

①正确求出函数的定义域；

②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、募函数、

形如y=x+的函数；

③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我

们简化作图过程.

(3)3种方法--识图的方法

对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来

获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：

①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，

利用这一特征来分析解决问题；

②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；

③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析

解决问题.

5.函数单调性的性质与判断

【知识点的认识】

一般地，设函数/(%)的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间D上的任意两个

自变量XI，X2,

当X1<X2时，都有/Gl)</(X2)，那么就说函数/(X)在区间D上是增函数；当X1>X2

时，都有/(xi)</(x2),那么就说函数f(x)在区间O上是减函数.

若函数/(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数于(x)在这一区间具有(严格

的)单调性，区间。叫做y=/.(x)的单调区间.

【解题方法点拨】

证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论.

利用函数的导数证明函数单调性的步骤：

第一步：求函数的定义域.若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指

数函数可不考虑定义域.

第二步：求函数/(x)的导数/(x),并令，(x)=0,求其根.

第三步：利用f(x)=0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开

区间，并列表.

第四步：由/G)在小开区间内的正、负值判断f(x)在小开区间内的单调性；求极值、

最值.

第五步：将不等式恒成立问题转化为f(x)或/(x)rnin^a,解不等式求参数的取

值范围.

第六步：明确规范地表述结论

【命题方向】

从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热

点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、

最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数

方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法.预测明年高考仍将以利用导数求函数的

单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化

与化归思想及逻辑推理能力.

6.奇偶性与单调性的综合

【知识点的认识】

对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在

一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运

用.在重复一下它们的性质①奇函数/(X)的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个

X,都有/(-x)=-/(X),其图象特点是关于(0,0)对称.②偶函数/(x)的定义域关

于原点对称，且定义域内任意一个x,都有/(-x)=/(x),其图象特点是关于y轴对称.

【解题方法点拨】

参照奇偶函数的性质那一考点，有：

①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用/(0)=0解相关的未知量；

②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f(x)解相关参数；

③偶函数：在定义域内一般是用/(x)=/(-%)这个去求解；

④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反

a—2H

例题：如果f(x)=-------为奇函数，那么a=.

2"+1

解：由题意可知，/G)的定义域为R,

a-2x

由奇函数的性质可知，f(X)=-------=-/(-X)="=1

2“1

【命题方向】奇偶性与单调性的综合.

不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多

总结，一定要重视这一个知识点.

7.对数的运算性质

【知识点的认识】

对数的性质：①②/ogMMy(。>0且aWl).

,、M

loga(MN)=log“M+log“N；logo——=log«M-log^；

N

_1

10&V="10gaM;log。>'M=—log“M.

8.根据实际问题选择函数类型

【知识点的知识】

1.实际问题的函数刻画

在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画.用函数的观点

看实际问题,是学习函数的重要内容.

2.用函数模型解决实际问题

(1)数据拟合：

通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的

整体特征,看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个

函数的一般表达式，求出具体的函数表达式,再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定

这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合.

(2)常用到的五种函数模型：

①直线模型：一次函数模型>=依+6(%#0),图象增长特点是直线式上升(x的系数A>0),

通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型》=依(A>0).

②反比例函数模型：)，=工(k>0)型，增长特点是y随x的增大而减小.

X

③指数函数模型：y^a^+cCb>0,且6W1,aWO),其增长特点是随着自变量的增大，函

数值增大的速度越来越快(底数6>1,a>0),常形象地称为指数爆炸.

④对数函数模型，即尸，mogd+H(心0,m70)型，增长特点是随着自变量的增大,

函数值增大越来越慢(底数，”>0).

⑤募函数模型，即y^a-^+b(aWO)型，其中最常见的是二次函数模型：y^ajr+bx+c(a

W0)，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大(«>0).

在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变

量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等.

3.函数建模

（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模.

（2）过程：如下图所示.

情境

ZZL

（提出何逸）

不（函数模型）

合

乎

实［数学结果）

际

下乎实际

何用结果〕

【典型例题分析】

典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：

销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额），（单位：万元）随销售利润X

（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%,

其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.00360°七6,1〃7弋1.945,1〃102弋2.302）（）

A.y=0.025xB.>>=1.003rC.y=/+k）g7XD.y-......1......x2

4000

分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当在［10,1000］时，①函数为增函数；②函

数的最大值不超过5；③yWx・25%,然后一一验证即可.

解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：

当xe［10,1000］时,

1

①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y〈x・25%=―X,

4

A中，函数y=0.025x,易知满足①，但当x>200时，y>5不满足公司要求；

3中，函数丫=1.0（）3',易知满足①，但当x>600时，y>5不满足公司要求；

C中，函数y=/+log7X,易知满足①，当x=1000时，y取最大值/+log71000=4-k7<5,

1

且/+10g7xW—X恒成立，故满足公司要求；

4

1

。中，函数y=------x2,易知满足①，当x=400时，y>5不满足公司要求；

4000

故选C

点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是

一一验证.

典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，

经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销，万元之间满足关系式3-》=」一（k

t+1

为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件.已知2015年生产服装的设备折

旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每

件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：

（1）2015年的利润y（万元）关于促销费/（万元）的函数：

（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？

（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）

分析：（1）通过x表示出年利润y,并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t

万元的函数.

（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入

多少万元时，企业的年利润最大.

k

解答：解：（1）由题意：3-x=------,

t+1

且当/=0时，x=l.

2

所以女=2,所以37=------，…（1分）

f+1

339n?+3t

生产成本为32x+3,每件售价一（———）+——，…（2分）

2x2x

332n;4-3t

所以，y=[—（---------------]隽一（321+3）—t…（3分）

2x2x

I3