湘教版数学高二学案

7.2排列

7.2.1排列与排列数公式

声预习导学♦挑战自我，点点落实

1.理解并掌握排列的概念.

2.理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题.

1.同一个排列中，同一个元素能重复出现吗？

答由排列的定义知，在同一个排列中不能重复出现同一个元素.

2.排列与排列数的区别是什么？

答“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指完成的具体的

一件事，其过程要先取后排，它不是一个数；而排列数是指完成具体的一件事的

所有方法的种数，即所有排列的个数，它是一个数.

1.排列与排列数

从n个不同元素中取出/"(〃?W〃)个不同的元素，按照-一定的顺序排成一列,

叫作从〃个不同元素中取出m个元素的一个排列.用符号A7表示排列的个数时,

有-1)(〃-一"?+1).

2.阶乘

为了方便地表示连乘积，对于自然数〃，我们定义〃！=1X2X3义…X〃.并

且称〃！是〃的阶乘,特别还规定0!=1.

3.排列数公式

从〃个不同元素中取出加(〃zW〃)个元素，按照一定的顺序排成一列，共有

>7I

A伊=；F1个不同的排列结果.

(n-m)!

4.相同排列

根据排列的定义，一个排列包含两个方面的意义：一是“取出元素”;二是

“按照一定顺序排列”.因此，两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其

排列顺序完全相同.

5.选排列与全排列

在排列定义中，如果m<n,表示只选一部分元素进行排列，因此叫作选排

列.从n个不同元素中取出〃?("?<〃)个元素的选排列个数是缎.如果m=n,表示

将全体元素进行排列，所以叫作全排歹ij.n个不同元素的全排列个数是A#=〃•但

一1)•…・321=〃！.

♦课堂讲义J重点难点，个个击破

要点一排列的概念

例1判断下列问题是否是排列问题

(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可

得多少个不同的点的坐标？

(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方

法？

(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，

不同的出入方式共有多少种？

解(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标，哪一数作纵坐标

的顺序有关，所以这是一个排列问题.

(2)因为任何一种从10名同学抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人

的顺序，所以这不是排列问题.

(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题.

:.(1)(3)是排列问题，(2)不是排列问题.

规律方法确认一个具体问题是否为排列问题，一般从两个方面确认.

(1)首先要保证元素的无重复性，否则不是排列问题.

(2)其次要保证选出的元素在被安排的有序性，否则不是排列问题，而检验

它是否有顺序的标准是变换某一结果中两元素的位置，看结果是否变化，有变化

就是有顺序，无变化就是无顺序.

跟踪演练1下列问题是排列问题吗？并说明理由.

(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安

排三位客人，又有多少种方法？

(2)从集合M={1,2,…，9}中，任取两个元素作为a,b,可以得到多少个

v-22

焦点在x轴上的椭圆方程今+方v=1?可以得到多少个焦点在X轴上的双曲线方程

4-4=p

a2b211

解(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题.“入座”问题同“排队”

问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题.

(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题.若方程:+:=1表示焦点在

x轴上的椭圆，则必有a,人的大小关系一定；在双曲线，一方=1中，不

管还是aVb,方程%一方=1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双

曲线，故是排列问题.

要点二列举法解决排列问题

例2(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同

的两位数?

⑵写出从4个元素a,b,c,4中任取3个元素的所有排列.

解(1)由题意作树形图，如图.

1234

ZNZN/N/N

234134124123

故所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43,共有12个.

(2)由题意作树形图，如图.

6八小小&小

codbdnbecdyadacbodadanbbehacab

故所有的排列为：ahc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bed,

bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,eda,edb,dab,dac,dba,dbc,dca,deb,

共有24个.

规律方法“树形图”在解决排列问题个数不多的情况时，是一种比较有效

的表示方式.在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类

标准，进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二

位元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏,

然后再按树形图写出排列.

跟踪演练2将A,B,C,。四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右,

且A不排在第一，8不排在第二，C不排在第三，。不排在第四，试用树形图列

出所有可能的排法.

解树形图为(如图)：

由树形图知，所有排法为84OC,BCDA,BDAC,CADB,CDAB,CDBA,

DABC,DCAB,DCBA,共有9种排法.

要点三排列数公式的应用

例3求解下列问题:

(1)用排列数表示(55—〃)(56—〃)…(69—〃)(〃WN*且〃<55)；

2A计7A3

(2)计算

A《一A8

(3)解方程：AT+I=140A1

解(1)因为55—〃,56—〃，…，69~n中的最大数为69—n,且共有69—n

一(55—”)+1=15(个)，所以(55—〃)(56—〃)…(69—〃)=A2£”；

2A3+7A3

⑵AAA8

2X8X7X6X5X4+7X8X7X6X5

=8X7X6X5X4X3X2X1-9X8X7X6X5

8X7X6X5X(8+7)

=8X7X6X5X(24—9尸；

⑵:+124,

⑶根据原方程，龙应满足Z.

解得x23,xWN*.

根据排列数公式，原方程化为(2x+l)-2x-(2x—l)-(2x—2)=140x-(x-l)-(x-

2).

因为九23,两边同除以4x(x—1),得(2x+l)(2x—l)=35(x—2).即4/—35x

+69=0,解得x=3或x=5/因为x为整数，所以应舍去).所以原方程的解为x

=3.

规律方法1.排列数公式的乘积的形式适用于个体计算和当m较小时的含

排列数的方程和不等式问题.

2.排列数公式的阶乘的形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等

式等问题，具体应用时注意提取公因式，可以简化计算.

跟踪演练3⑴解不等式：A/2〈6A/；

(2)证明A优|—A1=〃A%并用此结论计算AI+2Aa+3A3+…+8AS.

(1)解原不等式等价于

f8!8!

i—2)]!<6*(8—x)!，y-15x+50<0,

整理得

bc+2W8且xGN*,xW6且x^N*.

即5<》忘6且xCN*,从而解得x=6.

(2)证明A"+l—AH=(O+1)!-n!

=("+l)〃！—n!=n-n!=〃A[.

Al+2A3+3A9+…+8A《

=(AM—Al)+(A]—A；)4----F(Ai—A?)+(A?—A勖

=A8-Al=9!-1=362879.

题型四排列的简单应用

例4(1)有5个不同的科研小课题，从中选3个科研小课题由高二•三班的3

个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？

(2)有5个不同的科研课题，高二•三班的3个学习兴趣小组报名参加，每组

限报一项，共有多少种不同的安排方法？

解(1)从5个课题中选出3个，由兴趣小组进行研究，对应于从5个元素

中取出3个元素的一个排列.因此不同的安排方法是Ag=5X4X3=60(种).

(2)3个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重复，不是排列问题,

共有5X5X5=125种不同的安排方法.

跟踪演练4用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此

时：

（1）各位数字互不相同的三位数有多少个？

（2）可以排出多少个不同的数？

（3）恰好有两个相同数字的三位数共有多少个？

解（1）A?=120（个）.

（2）每掷一次，出现的数字均有6种可能性，故有6X6X6=216（个）.

（3）两个数字相同有三种可能性，即第一、二位，第二、三位，第三、一位

相同，而每种情况有6X5种，故有3X6X5=90（个）.

■当堂检测当堂训练，体验成功____________________________________________________________

1.下列问题属于排列问题的是（）

①从10个人中选2人分别去种树和扫地；

②从10个人中选2人去扫地；

③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；

④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幕运算.

A.①④B.①②

C.④D.①③④

答案A

解析根据排列的定义，选出的元素有顺序的才是排列问题.

2.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为（）

A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲

B.甲乙丙，乙丙甲

C.甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙

D.甲乙，甲丙，乙丙

答案C

解析选出两人，两人的不同顺序都要考虑.

3.设加©N*,且加＜15,则（15—〃。（16一m）…（20—㈤等于（）

A.A%-,”B.Ai3-!«

C.A%-,”D