一元二次方程的解法第4课时公式法

2.2一元二次方程的解法

第4课时公式法

一、选择题

1.用公式法解方程一f+3x=l时，需先确定a,b,c的值，则a,b,c的值依次为（）

A.—1,3,11B.1,3,11C.—1,—3,11D.—1,3,1

2.用公式法解方程A2+5尤一5=0,下列代入公式正确的是（）

-5±V52-4xlx55±\/52-4xlx（—5）

。

A.x~B.x=2

一5句52—4*1><(-5)一1地2—4*5）＜（-5）一

C.x=­D-尸2x5

3.12020•贵阳十九中期末】一元二次方程收炉+4小x=2也中，4〃的值应是（）

A.64B.-64C.32D.-32

4.方程。+1）。-3）=5的解是（B）

A.X]=l,%2=-3B.修=4,X2=-2

C.X]——1f尢2=3D.X\——4,12=2

5.已知方程2炉一63+3=0较小的根为p,方程Zx2—2]—1=0较大的根为q,则p+q等于（)

A.3B.2C.1D.2小

6.用公式法解方程（x+2）2=6（x+2）—4时，b2—4ac的值为（）

A.52B.32C.20D.-12

7.【2020・临沂】一元二次方程/一4工-8=0的解是（）

A.x1=-2+2小，％2=12—25

B.即=2+2小,&=2一2小

C.即=2+2^^,工2=2-2,^2

D.X）=2*^3,X2=-

8.用公式法解方程（x+2）2=6（x+2）—4时，，加一4〃c、的值为（）

A.52B.32C.20D.-12

9以曲察生s2+4c20）为根的一元二次方程可能是（）

A.x1+bx+c=0B.炉+以―c=0C.x2—"+c=0D.x1—bx—c=0

10.若x2+px+q=0的两个实数根中较大的一个根是内厚0）,则代数式P—庐语的值是（

A.kB.—kC.2kD.-2k

11.当工=-—包々存0,4敬＞0）时，代数式加+云+。的值是（）

—b—^Jb2—4acbc

A.0B.-------------------C.—D.一

2aaa

12.若方程（+云+c=0的两个实数根中较小的一个根是根（g⑼，则b+办2_8=（）

AMB.—"zC.2mD.~2m

二、填空题

13.一兀二次方程辱0)在匕2—4ac'O的条件卜，它的根为.我

们通常把这个式子叫作一元二次方程加+fex+c=0(a#))的求根公式.

14.运用一元二次方程的可以直接求出每一个一元二次方程的根，这种解一元二次方

程的方法叫作公式法.

15.方程/+px+q=0(其中p?—4q20)的两个实数根分别为xi=，X2=

16.若在实数范围内定义一种运算“*”，使。*。=3+1)2-必，则方程(x+2)*5=0的解为

17用公式法解方程：3y2+4y=3y+2.

解：方程化为一般形式，得.

a=，b=,c=,A=Z>2—4ac=.

方程___________的实数根，为

-b±\]b2-4ac

2a--------'

即yi=，0=■

18.已知关于x的方程(加一l)x?+2(加-l)x+1=0有实数根，则m的取值范围是.

三、解答题

19.用公式法解一元二次方程.

(l)x2-x=-2;

(2)【中考・常德】^-3%-2=0；

(3)【202()•无锡】x2+x-l=0；

(4)【2021・达州渠县期末】%2-2^2%+1=0；

(5)3x2+3=4x.

(6)2x2=9x—8；

(7)2y(y—1)+3=(y+1产.

(8)(x-2)(3x-5)=l

20用公式法解方程：2?+7x=4.

解：\'a=2,b=7,c=4,

.,./?2-4ac=72-4x2x4=17.

.一7由

..x-4)

Bn-7+V17-7—V17

即即—4,初一4.

上述解法是否正确？若不正确，请指出错误并改正.

21.当x为何值时，3/+4x—8的值和2f—1的值相等？

22.用公式法解关于x的方程：x2—3mx+2i九2一根〃一层=0.

(以+2小y=—10\/3,(x~y=2

23.12020•广东】已知关于x,y的方程组＜,丫与＜：f的解相同.

[x+y=4[x+by=\5

(1)求。，8的值；

(2)若一个三角形的一条边的长为2#,另外两条边的长是关于x的方程(+公+6=0的解.试

判断该三角形的形状，并说明理由.

24.在欧几里得的《几何原本》中，形如/+办="(4＞0,匕＞0)的方程的图解法是：如图，以5和匕

为两直角边长作RtaABC,再在斜边上截取会则A。的长就是所求方程的解.

(1)请用含字母。，匕的代数式表示的长;

(2)请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处.

参考答案

一、选择题

1.用公式法解方程-f+3x=l时-，需先确定a,b,c的值，则小b,c的值依次为（A）

A.—1,3,11B.1,3,11C.119—3,11D.—1,3,1

2.用公式法解方程f+5x—5=0,下列代入公式正确的是（C）

-5±J52-4xlx5,5川52-4X1X（-5）

A.x=。B.x=2

-5±\/52-4xlx（—5）一1±\/12-4X5义（-5）

3.12020•贵阳十九中期末】一元二次方程^2+4小x=2吸中，4ac的值应是（A）

A.64B.-64C.32D.-32

4.方程（x+l）（x-3）=5的解是（B）

A.x\=\,X2=-3B.xi=4,X2=-2

C.X\=­1,松=3D.X\=­4,12=2

5.已知方程2f—6x+3=0较小的根为p,方程2x2—2x—1=0较大的根为q,则p+q等于（B）

A.3B.2C.1D.2小

6.用公式法解方程。+2）2=6。+2）—4时，加一4ac的值为（C）

A.52B.32C.20D.-12

7.12020・临沂】一元二次方程x2—4式一8=0的解是（B）

A.x\=12+2*\/§,12=12—

B.汨=2+2小,%2=2-2小

C.X\=2.~\~2"\/2,X2=2-

D.X）=2,y[3,X2=-2*\/3

8.用公式法解方程。+2）2=6（元+2）—4时，按一4ac的值为（C）

A.52B.32C.20D.-12

9.以尸也空&加+4c20）为根的一元二次方程可能是（D）

A.x2~\-bx+c=0B.r+泰―c=0C.x1—bx-\-c=0D.x1—bx-c=0

10.若x2+px+q=0的两个实数根中较大的一个根是我（原0）,则代数式dp?-4q的值是（D）

A.kB.-kC.2kD.-2k

11.当x=-"I"一包£（〃#（）,4QC>0）时,代数式ax2+bx+c的值是（A）

12.若方程/+灰+。=0的两个实数根中较小的一个根是加（*0）,则b+7b2-4c=（D）

K.mB.—〃zC,2mD.-21n

二、填空题

13•一元二次方程加+/?x+c=0（存0）在〃一4ac》o的条件下，它的根为.我

们通常把这个式子叫作一元二次方程公2+云+。=0（尔0）的求根公式.

~b±\lb2—4ac

[答案]x=----=-----

14.运用一元二次方程的可以直接求出每一个一元二次方程的根，这种解一元二次方

程的方法叫作公式法.

【答案】求根公式

15.方程f+px+quOl其中p2—4q，0)的两个实数根分别为即=,xi—

[凭案]-p+Npiq-p-Npjq

16.若在实数范围内定义一种运算“*”，使a*匕=5+1)2—必，则方程(x+2)*5=()的解为

r型安1-1+小~\-y[5

【答案】Xi—2，X2—2

17.用公式法解方程：3y2+4y=3y+2.

解：方程化为一般形式，得.

a—,b=,c—,△=〃-4ac=.

方程___________的实数根，为

一〃川加一4ac

卜2a---------，

即yi=，yi=.

—[±52

【答案】3/+y-2=031-225有两个不等^-1

18.已知关于x的方程(加一l)W+2(加一l)x+l=0有实数根，则m的取值范围是m<l.

提示:①当方程(加-1)/+2(加一l)x+l=0为一元二次方程时，，疼一1和，即m声±1.•关于x的方程

(加一1)r+2("?—l)x+1=0有实数根,.,./=[2(H?—•I)]2—4(m2—1)=—8”?+820,解得mW1,；.

m<\且1.②当方程(加一l)x2+2(w_I)x+1=0为一元一次方程时,加一1=0且2(m—1)#),

则"?=—1.综上所述,时方程有实数根.

三、解答题

19.用公式法解一元二次方程.

(I)%2—x=-2;

解:方程无解.

(2)【中考・常德】x2-3x-2=0；

解：/?=—3,c——2,

."./?2-4«c=(-3)2-4xlx(-2)=9+8=17,

.一b±\Jb2-4ac3±\/rj

2a=2'

3+V173—屈

•«X|-2，X2=D,

⑶[202()•无锡】x2+x-l=0；

解：Va=l,b=l,c=—1,

02—4ac=12—4x]x(—1)=5,

._一]域

・•x2，

,-1+^5-1一小

••Xi2，122,

(4)【2021.达州渠县期末】x2-2y/2x+l=0；

解：'：a=l,b=­2y[2,c=\,

.'.加一4ac=(一2娘)2—4xlxl=8—4=4.

&a

..Xi1»及=^^i.

(5)3炉+3=4工

解：方程可整理为3f—4x+3=0,

"."a—3,b=-4,c=3,

."./?2-4ac=(-4)2-4x3x3<0,

...方程无实数根.

(6)2x2=9x—8；

解：移项，得2X2—9X+8=0.

••a=2,b——9,c—8,

...加一4ac=(-9>-4x2x8=17,

9+V179-V17

♦•箝=4'尤2=4,

(7)2y(y-l)+3=(y+l)2.

解：由原方程，得2y—2y+3=V+2y+l,

即y_4y+2=0,

••4z=1,b=-4,c=2,

.,./?2-4ac=(-4)2-4xlx2=8>0.

.4±V8

.・y-2，

.•.力=2+m，％=2—VI

(8)(x-2)(3x-5)=1

解：将方程化为一般形式3xMlx+9=0,〃=3力=-1l,c=9,

b2-4ac=(-\1)2-4X3X9=13>0,

,-(-ll)±x<1311±V13

・・X=---------=-------,

2X36

.Il+x^l311-713

••X|=---,X2=-T-•

6o

20用公式法解方程：2X2+7X=4.

解：Va=2,6=7,c=4,

.,./?2-4ac=72-4x2x4=17.

・・x=4,

-7+VT7~7—\fl7

即Xi—4,—4•

上述解法是否正确？若不正确，请指出错误并改正.

解：不正确.错误原因：没有将方程化成一般形式，造成常数项C的符号错误.

正解：移项，得公2+7尸-4=0,

.'.。=2,b=7,c=-4,

.\/>2-4ac=72-4x2x(-4)=81.

.-7±^81-7±9

,,%=2x2=4~•

即xi=T，X2=-4.

21.当x为何值时，3f+4x—8的值和注2-1的值相等？

解：根据题意得：3x2+4x-8=2x2~\,

即x2+41-7=0,

，a=l,h=4,c=­7,

，从一4〃C=16+28=44>0,

则尸甘正—即

22.用公式法解关于x的方程：x2—3mx+2nr—mn—n2=0.

解：由题意可知。=1,b=—3m,c=2nr—inn—n2,

；b2—4〃c=9加2-4(2/n2-mn-n2)=m2+4mn+4n2=(6+2n)2N0,

.3/n±\/(加+2〃/

,•x2，

解得Xi=2"?+〃，X2—m~n.

(ax+2-\/3y=—lCh/3,(x~y=2,

23.【2020•广东】已知关于x,y的方程组,丫