2020-2021学年辽宁省大连103中学高三（上）一模数学试卷（解析版）

2020-2021学年辽宁省大连103中学高三（上）一模数学试卷

一、选择题（共12小题）.

1.已知集合A={-1,0,1,2},8={4(x+1)(x-2)V0},则AOB=()

A.{011}B.{-1,0}C.{-1,0,1}D.{0,1,2)

X

2.设命题p：3A-（）<0,e°-x0>l，则r。为（）

A.-x>1B.Vx<0,然一xWl

C,3XQ^O,J°-X041D・3x0<0,eX°-Xg：sCl

3.已知〃>0>b,则下列不等式一定成立的是（)

A.42V_帅B.Ml<依

C.—>—D.(―)°>(―)b

ab22

4.函数/（x）=log2X-工的零点所在区间为（

X

A.（0,y）B.（-1,1）C.

(1,2)D.(2,3)

5.已知平面向量W，芯的夹角为三:，且|胃=1,后=2,则骏+百二（）

O

A.3B.MC.7D.5/7

6.下列函数中，既是奇函数，又在区间（0,1）内是增函数的是（）

A.y=xlnxB.y=x2+xC.y=sin2xD.y=e'-e

7.“（机-1）（a-1）>0”是“log加>0"的一个（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.函数y=R+/〃（“+i-x）的图象大致为（）

9.若直角坐标平面内A、B两点满足条件：①点4、B都在f（x）的图象上；②点A、B

关于原点对称，则对称点对（A,B）是函数的一个“姊妹点对”（点对（A,B）与（B,

X2+2XX<0

A）可看作同一个“姊妹点对”）.已知函数/（X）=’2、，则，⑴的“姊

-x>0

.e

妹点对”有（）个.

A.1B.2C.3D.4

xf（X.）f（x2）

10.已知函数f（x）=^—-ax,xG（0,+8）,当x2>»>0时，不等式---<———

xX2Xi

恒成立，则实数a的取值范围为（）

A.（-8,B.（-8,e）C.「8,会D.（-8,e]

9JT

11.关于函数f（x）=2c。sx-cos（2x”或）T的描述正确的是（）

A.其图象可由yf历sin2x的图象向左平移g个单位得到

O

TT

B./（%）在（0,号）单调递增

C.f（x）在[0,河有2个零点

D./（x）在1T，0]的最小值为-企

12.已知向量看；,另是平面a内的一组基向量，。为a内的定点，对于a内任意一点产，

当6?=工巳1+》日2时，则称有序实数对（X，V）为点尸的广义坐标•若点A、8的广义坐

标分别为（xi,巾）（及，J2）,关于下列命题正确的是（）

A.线段A、8的中点的广义坐标为（红上2,3+丝）

22

B.A、B两点间的距离为J（x「X2）2+（V]-y2）2

C.向量水平行于向量的充要条件是x\yi=xiy\

D.向量丞垂直于工值的充要条件是xiy2+x2yi=0

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.函数/(x)=<e'x)°,则/(/(-e))=______.

ln|x|,x<0

14.已知f(x)=x2+2xf‘(4)，则f‘(—)=.

oo

15.已知向量之=(4,2),5=(X,1),若2+25与之-5的夹角是锐角，则实数人的取

值范围为.

16.阅读材料

求函数y=e'.的导函数

解：\9y=ex.\x=lny.\(x)'=(Iny)'

‘"=y=ex

y

借助上述思路，曲线y=(2x-400)在点(1,1)处的切线方程为.

三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算

步骤)

17.已知M—[1,(/n2-2m)+(m2+m-2)z}>P={1>-1,4i},若MUP=P,求实数m.

18.己知函数/(x)=axi+bx1,当x=l时，有极大值3；

(1)求小b的值；(2)求函数/(x)的极小值及单调区间.

19.已知向量[=-2cosx),芯=(2cosx,cosx),函数/(x)(x£R).

(1)求函数/(X)的单调递增区间；

JT

(2)在AABC中，内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c,若/(A)=2,C=—,

4

c=2,求△ABC的面积SMBC.

20.对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足/(-x)=-/(》)，则称/(x)为

“局部奇函数”.

(1)已知二次函数/(x)="2+2法-4a(。，芯R),试判断是否为“局部奇函

数”？并说明理由.

(2)设f(x)=2'+〃?是定义在R上的“局部奇函数”，求实数，〃的取值范围.

21.如图，已知菱形ABC£)的边长为2,ABAD—\20°,动点M,N满足而=入前，币5=

UD。入，

(1)当a=n=断h求|力卜屈的值；

(2)若疝•诵=-2,求-^-4^的值.

22.设函数/(x)=——,g(x)—lnx+—.

XX

(I)求/(X)的单调区间；

(H)若直线x=zn(/n>0)与曲线f(x)和g(x)分别交于点P和。，求|尸。|的最小值;

(III)设函数/(x)=4(x)g+g(x)],当“6(0,Ini')时，证明：F(x)存在极小

值点xo,且e'o(a+/”xo)<0.

参考答案

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1.己知集合A={-1,0,1,2},B={x\(x+1)(x-2)<0},则AAB=()

A.{0,1}B.{-1,0}C.{-1,0,1}D.{0,1,2)

解：由3中不等式解得：-1VXV2,即-1VxV2},

・・・A={-1,0,1,2),

・,.AGB={0,1},

故选：A.

2.设命题p：2xo<O,则「P为()

A.e'-x>1B.Vx<0,e'-1

C・3XQ^O,J°-X041D・3x0<0,「°

解：命题是特称命题，则命题的否定是：Vx<0,-xW1

故选：B.

3.已知。>0>b,则下列不等式一定成立的是()

A.a2<-abB.

C.—>—D.(―)u>(―)b

ab22

解：a2+ab=a(〃+b),符合无法确定，故A错误，

取。=2,b=-1,则有间>依，故8错误，

工」上生〉0,故工>1,故c正确，

ababab

取4=1,b=-2,则(―)。=L，A〃=4,又工<4,即(―)«<(―)b,故。错

222222

误，

故选：C.

4.函数f(x)=log以-工的零点所在区间为()

X

A.(0,y)B.(y,1)C.(1,2)D.(2,3)

解：由题意可知函数在(0,+8)单调递增，且连续

/(/)=log2-1-2<0,/(I)=log2l-l<0,f(2)=log22^->0

由根的存在性定理可得，/(I)-/(2)<0

故选：C.

5.已知平面向量之，式的夹角为冬二且信=1,|-5=:2,则戛+百二()

0

A.3B.MC.7D.y7

解:a-b=-l,a2=l,b2=4;

*/-—*、5>—2——*—2

,,(a+b)-a+2a-b+b=l-2+4=3；

Ia+b|=V§.

故选：B.

6.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,1)内是增函数的是()

A.y=xlnxB.y=x2+xC.y=sin2xD.y—e'-ex

解：根据题意，依次分析选项：

对于A,y^xlnx,其定义域为(0,+~),不是奇函数，不符合题意；

对于5,y=N+x,为二次函数，不是奇函数，不符合题意；

对于C,y=sin2x,在(0,1)上不是增函数，不符合题意；

对于。，y—ex-ex,有/(-x)—e'x-eK--(ev-ex)--f(x),为奇函数，又由

y'="+/'>0,则函数在(0,1)内是增函数，符合题意；

故选：D.

7.(tn-1)(a-1)>0”是“logw〃>0”的一个()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

fin>l-IJXiiKl

解：当“Cm-1)(a-1)>0”时,则<、或〈,此时log/?可能无意义，故

a>la<.l

“loga/n>0”不一定成立,

而当“log.机>0”时，则，、或《，》，(771-1)(a-1)>0”成立,

[a>l

故“(m-1)(a-1)>0”是“log〃/n>0”的一个必要不充分条件,

故选:B.

8.函数y=V+/"（“+L）的图象大致为（）

解：由题意，/(-%)=(-x)3+/〃(“+产)=-/(》)，函数是奇函数,

/(1)=0,f(2)=8+/n(依-2)>0,

故选：C.

9.若直角坐标平面内A、8两点满足条件：①点A、8都在f（x）的图象上；②点A、B

关于原点对称，则对称点对（A,B）是函数的一个“姊妹点对”（点对（A,B）与（B,

\2+2XX<0

4）可看作同一个“姊妹点对”）.已知函数/（尤）=’2、，则f⑴的“姊

-x>0

.e

妹点对”有（）个.

A.1B.2C.3D.4

解：设P(x,y)(x<0),则点P关于原点的对称点为P'(7,->'),

2,2、

于是二G=-(x+2x),化为2^+工2+2%=0,

e

令叩(x)=2^+x2+2x,x<0,下面证明方程(p(x)=0有两解.

2

由无2+2XW0,解得-2&W0,而f〉0(x20),・••只要考虑大日-2,0］即可.

e

求导(p'(x)=2ex+2x+2,

令g(x)=2^+2x+2,则g'(x)=2ev+2>0,

(x)在区间［-2,0］上单调递增，

而(p‘(-2)=2e'2-4+2<0,(p'(-1)=2ex>0,

，(p(x)在区间(-2,0)上只存在一个极值点xo.

而叩(-2)=2e2>o,(p(-1)=2e।-1<0,(p(0)=2>0,

...函数叩（x）在区间（-2,-1）,（-1,0）分别各有一个零点.

也就是说/CO的“姊妹点对”有两个.

故选：B.

xf（Xi）

10.已知函数/（x）=——-ax,xG（0,+8）,当x2>xi>0时，不等式-------<--------

XX2X1

恒成立，则实数。的取值范围为（）

A.一魂B.…,e）C.一受D.-

f（X］）f（x2）一_

解：当X2>Xl>0时，不等式-------<-------恒成立，即xj（xi）<Xlf（JC2）恒成立，

x2X1

令g（x）—xf（x）—e-ax2,则函数g（无）在（0,+8）单调递增，即g'（x）—e

-2办》0在（0,+8）上恒成立，

，2a《乙在（0,+8）上恒成立，

x

令m）=66>0），则h，（小贮铲=为止，

xXX

・•・函数/?（X）的单调减区间为（0,1）,单调增区间为（1,+8）,

:,h（x）min=h（1）=ef

・，.2aWe,解得

故选：A.

11.关于函数f（x）=2coS2X-COS（2xk斤）-1的描述正确的是（）

A.其图象可由yfQsin2x的图象向左平移gTT个单位得到

O

7T

B./（%）在（0,号）单调递增

C.f（X）在［0,TT］有2个零点

D./（x）在,0］的最小值为-企

解:f(x)=2cos2x-cos(2x"^-)-l=cos2x+sin2x=5/^sin(2x+-^-)

JH,TTTTTT

A-y~/^sin2x的图象向左平移飞~个单位得到，>=<5^2(x+—)=y[^in(2x+—),

故A正确，

B.当0<x<?L,则0<2rVn,-^-<2x+-^-<-，J—,此时函数/(x)不单调，故B错

2444

误，

_.7Tk打兀

C.由----ku,得4n冗=--------,

428

当k=0时，x=-'当x=1时，x=。'兀,当x=2时，x=■,当x=3时，x=11上,

8888

即/⑴在[0,E有2个零点，三二故C正确，

OO

D.-——则-TTW2XW0,-—^2JC+——^—―,则当2JC+~^~=-兀时,函数

244442

f(x)取得最小值，最小值为)，=&5吊(--^-)=-&,故。正确

故选：ACD.

12.已知向量e「e2是平面a内的一组基向量，。为a内的定点，对于a内任意一点P,

当而=x/+y弓时，则称有序实数对(X，y)为点P的广义坐标•若点A、B的广义坐

标分别为a”yi)(X2,%),关于下列命题正确的是()

A.线段A、B的中点的广义坐标为(町+'2yl+L.g.)

22

B.4、8两点间的距离为J(X1-X2)2+(y1-y2)2

C.向量赢平行于向量诿的充要条件是xi”=X2yi

D.向量赢垂直于而的充要条件是xiy2+&yi=0

解：根据题意得，由中点坐标公式知A正确；

只有平面直角坐标系中两点间的距离公式B才正确，未必是平面直角坐标系因此B错误;

由向量平行的充要条件得C正确；

当向量e：e2是相互垂直的单位向量时，也与而垂直的充要条件为aX2+yiy2=0,因此

。不正确；

故选：AC.

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

X

13.函数/(x)=<:，则/(/(-e))=e.

ln|x|,x<CO

解俎提翩*一、fex,x>0

解：根据题屈，f(x)=<..，

ln|xI，x<0

则/(-e)=lne=1,

则f(f(-e))—f(1)=el=e；

故答案为：e.

14.已知f(x)=x2+2xf'(4))则f'(A)=_|■一

JOo

解：(x)=2x+2f‘(】•)，

T)=《+2f，(-1).解得F

故答案为：---.

15.已知向量之=(4,2),(A,1),若鼻+2芯与£芯的夹角是锐角，则实数人的取

值范围为(1-、不，2)U(2,1+、斤T).

解:•.响量；=(4,2)，芯=(入,1),二；+21=(4+2A,4),芯=(4-(，1),

若2+2芯与之-4的夹角是锐角，则Z+2芯与之-3不共线，且它们乘积为正值，

即4+2)且(彳+21)•(彳-E)=(4+2入，4)•(4-入，1)=20+4人-2入2>0,

4—人]O.VO.丫

求得1-d<入V1+JTI，且入W2,

故答案为：(1-JT12)u(2,1+7T1).

16.阅读材料

求函数g=炭的导函数

解："."y=ex.,.x—lny.'.(x)'=(/nj)'

.•.<=y=Q

y

借助上述思路，曲线y=(2x-1)J+l,xe(y,XQ)在点(1,1)处的切线方程为—上

=4x-3.

解：Vy=(2x-1)户|,

：.lny^ln(2x-1)阳=(x+1)/n(2x-1),

则(/〃y)'=[(x+l)In(2r-1)]

即

—•y,=ln(2x-1)+(x+1)•—--*2,

y.2x-l

2x+1

即y'=y[ln(2x-1)+2(x+l)]=(2x-D*+i“7(2X-1)+^^],

2x-l2x-l

则/(1)=12(/nl+-^^-)=4,

2-1

即在点(1,1)处的切线斜率k=4,

则在点(1,1)处的切线方程为y-1=4(x-1),

即y=4x-3,

故答案为：y=4x-3

三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算

步骤)

17.已知M={1,-2m)+(加2+〃?-2)z},P={1,-1,旬，若MUP=P,求实数m.

解：由MUP=P,知M是P的子集，从而可知()泳-2/w)+(m2^-m-2)i=-1或4z.

f9

m―2in=—1

由(?w2-2m)+(源+"z-2)i=-1,得＜,解之得：m=1,

_=

、m^+m20

f2

由(/w2-2m)+(-2)i=4i,得＜1rl21n0,解之得：m=2,

.m2tm-2=4

综上可知：机=1或M2=2.

18.已知函数/(x)^ax^+bx2,当x=l时，有极大值3；

(1)求“，人的值；(2)求函数/(x)的极小值及单调区间.

解：⑴/'(x)=3ax2+2bx,

(l)=3a+2b=0

当x=l时,

lf(l)=a+b=3

据此解得a--6,b=9,

...函数解析式为：产-6砂+9尤2.

(2)由(1)知/(x)=-6JC3+9X2,

f(x)=-18x2+18x=-18x(x-1),令f(x)>0,得0cxVI；令f(x)<0,

得x>l或x〈0,

...当x=0时函数取得极小值为0,

函数的单调增区间为：(0,1),

单调减区间为：(-8,0)和(1,+8).

19.已知向量之=-2cosx),芯=(2cosx,cosx),函数f(x)=:・1+1(xeR).

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

JT

(2)在△A3C中，内角A、B、。所对边的长分别是〃、b、c,若/(A)=2,C=—,

4

c=2,求△ABC的面积SAABC.

2

解：(1)/(无)=a*b+l=2V3sinxcosx-2cosx+l

=V3sin2x-cos2x=2sin(2x-^~)，

b

由2x<-^-+2k冗，k€Z得

NbN

一^-+k兀<x4-^-+k兀，k€Z,

63

jrTT

：.f(X)的增区间为［十+k兀，」+k冗］,k€z；

63

TT

⑵f(A)=2sin(2A-T-)=2»

b

兀JTJT

•.♦OVAVm...2A=十，，A十，

bNo

VC=—,

412

由正弦定理，得a片嘤•W^，

sinC

^6+723+73

•<,SAABC=^-acsinB=yX五X2义

42

20.对于函数/(X),若在定义域内存在实数x,满足/(-X)=-/(x),则称/(x)为

“局部奇函数”.

(1)已知二次函数/(x)^ax2+2bx-4a(a,反R),试判断f(x)是否为“局部奇函

数”？并说明理由.

(2)设/(x)=2，+〃?是定义在R上的“局部奇函数”，求实数，"的取值范围.

解：(1)令/(-x)=-f(x)得ax2+2bx~4a--(ax2+2bx-4a),

整理可得：x2-4=0,显然方程有解,

.,•二次函数，(x)=ax2+2hx-4a(a,heR)是“局部奇函数

(2)'：f(x)=2,+瓶是定义在R上的“局部奇函数”，

：.f(-x)=-f(x)在R上有解，

即2一工+机=-2'-机在R上有解.即m=-在R上有解，

-2-

1

令t=公,g（Z）=-17，t>0,

2

则g（f）在（0,1]上是增函数，在（1,+8）上是减函数，

g（1）=-1,ff0时，g（/）--8,ff+8时，g（/）f-8,

即m的取值范围是（-8,-]].

21.如图，已知菱形ABC。的边长为2,/8AZ）=120°,动点M,N满足氤=入前，祈=

而5入，（i#0.

（1）当入=四=