2022年上海市高考数学试卷真题+参考答案+详细解析

2022年上海市高考数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分）

1.（4分）已知z=l+i（其中，为虚数单位），则25=.

2.（4分）双曲线,-V=l的实轴长为.

3.（4分）函数/（xMcos,x-sinO+l的周期为.

4.（4分）已知aeR,行列式1的值与行列式°|的值相等，则。=.

3241

5.（4分）己知圆柱的高为4,底面积为9万，则圆柱的侧面积为.

6.（4分）x-0,x+y-L.O,求z=x+2y的最小值.

7.（5分）二项式（3+幻”的展开式中，/项的系数是常数项的5倍，则〃=.

iz2x-lx<0

8.（5分）若函数f（x）=7+ax>0,为奇函数，求参数。的值为一.

（0x=0

9.（5分）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4

项进行检测，则每一类都被抽到的概率为一.

10.（5分）已知等差数列{q}的公差不为零，S,为其前”项和，若邑=0,则S<=0,1.2,100）中

不同的数值有一个.

11.（5分）若平面向量|a|=|8|=|c|=%,且满足aW=0,a-c=2,bc=1,贝汁4=.

12.（5分）设函数f（x）满足/（x）=/（二一）对任意xw[0,+oo）都成立，其值域是,已知对任何满足上述

1+X

条件的都有{y|y=/（x）,0M-a}=Af,则a的取值范围为.

二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.

13.（5分）若集合A=[-l,2）,B=Z,则Af8=（）

A.{-2,-1,0,1}B.{-1,0,1}C.{-1,0}D.{-1}

14.（5分）若实数a、6满足a>0>0,下列不等式中恒成立的是（）

A.a+b>2\[abB.a+b<2>fabC.~+2b>2-JabD.—+2Z><2-Jab

22

15.（5分）如图正方体中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、BBr8的中点，联结

AS,BtD.空间任意两点V、N,若线段MN上不存在点在线段AS、片。上，则称MN两点可视，则

下列选项中与点R可视的为（)

C.点、RD.点Q

16.（5分）设集合C={（x,y）|（x—々＞+（y—二）2=4|A|,AWZ},

①存在直线/,使得集合C中不存在点在/上，而存在点在/两侧；

②存在直线/,使得集合。中存在无数点在/上；（）

A.①成立②成立B.①成立②不成立

C.①不成立②成立D.①不成立②不成立

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）.

17.（14分）如图所示三棱锥，底面为等边AABC,O为4c边中点，且尸底面ABC,AP=AC=2.

（1）求三棱锥体积/_“sc；

（2）若M为8c中点，求与面A4C所成角大小.

B

18.(14分)f(x)=log,(a+x)+log,(6-x).

(1)若将函数/(x)图像向下移加(机＞0)后，图像经过(3,0),(5,0),求实数“，加的值.

(2)若。＞一3且”0,求解不等式f(x),J(6-x).

19.（14分）在如图所示的五边形中，AD=BC=6,AB=20,O为AB中点，曲线CD上任一点到O距离

相等，角ND4B=NABC=120。，P,Q关于OM对称，MO1.AB；

（1）若点P与点C重合，求NPOB的大小；

（2）P在何位置，求五边形MQA8P面积S的最大值.

20.(16分)设有椭圆方程r：与+1=l(a>b>0),直线/:x+y-4夜=0,「下端点为A,M在/上，左、

abz

右焦点分别为£(-夜,0)、F,(V2,0).

(1)a=2,AM中点在x轴上，求点M的坐标；

(2)直线/与y轴交于5,直线40经过右焦点尸2，在八钻四中有一内角余弦值为］,求力；

(3)在椭圆「上存在一点P到/距离为d,使|尸片|+|产入|+"=6,随。的变化，求d的最小值.

21.(18分)数列｛a,,｝对任意且”..2,均存在正整数,满足a“+|=2a“-q,a｝=\,a2=3.

(1)求q可能值;

(2)命题〃：若%,外,,%成等差数列，则为＜30,证明〃为真，同时写出p逆命题q,并判断命

题夕是真是假，说明理由；

(3)若4M=3"'，(mwN*)成立,求数列｛q｝的通项公式.

2022年上海市高考数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分）

1.（4分）已知z=l+i（其中i为虚数单位），则2乞=_2-21_.

【解析】z=l+i,则5=l-i,所以25=2-2i.故答案为：2-万.

【评注】本题考查了共辗复数的概念，是基础题.

2.（4分）双曲线0-丫2=1的实轴长为6.

【解析】由双曲线《-丁=［,可知：。=3,所以双曲线的实轴长2a=6.故答案为：6.

9.

【评注】本题考查双曲线的性质，是基础题.

3.（4分）函数/（xXcosn-sinO+l的周期为_冗_.

［解析］f（x）=cos2x—sin2x+1=cos2x-sin2x+cos2x+sin2x=2cos2x=cos2x+1,T=—=TC.

2

故答案为：冗.

【评注】本题主要考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，倍角公式的应用，属于基础

题.

4.（4分）已知aeR,行列式的值与行列式的值相等，则〃=3.

【解析】因为；1=24-3,：|=〃，所以2a—3=a,解得a=3.故答案为：3.

【评注】本题考查了行列式表示的值，属于基础题.

5.（4分）已知圆柱的高为4,底面积为9万，则圆柱的侧面积为_24%^.

【解析】因为圆柱的底面积为9万，即;r/?2=94，所以R=3,所以S侧=24/?力=24万.故答案为：24万.

【评注】本题考查了圆柱的侧面积公式，属于基础题.

6.（4分）x-0,x+y—L.0,求z=x+2y的最小值_—_.

【解析】如图所示:

），-1=0的右上方的公共部分,

当目标函数z=x+2y沿着与正方向向量。=（1,2）的相反向量平移时，离开区间时取最小值,

即目标函数z=x+2y过点1时1，取最小值：1-+2x11=-Q.故答案为：a

222222

【评注】本题考查了线性规划知识，难点在于找到目标函数取最小值的位置，属于中档题.

7.（5分）二项式（3+x）”的展开式中，XZ项的系数是常数项的5倍，则”=10.

【解析】•二项式（3+x）"的展开式中，x2项的系数是常数项的5倍，即C；x3"々=5C：x3",即f=5x9,

n=10,故答案为：10.

【评注】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题.

crx—x<0

8.（5分）若函数/（X）=T+。x>0,为奇函数，求参数〃的值为1.

[°

x=0

a2x-\x<0

【解析】，函数/(x)=<x+a尤>0,为奇函数，「./（一幻=一/（幻，

0x=0

.■./(-1)=-/(1),-a2-1=-(«+!)>即a(a-l)=0,求得a=0或a=l.

—1,x<0

当a=0时，f(x)=0,x=0,不是奇函数，故

x,x>0

x-l,x<0

当a=l时，f(x)=<0,x=0,是奇函数，故满足条件，

x+\,x>0

综上，a=l,故答案为：1.

【评注】本题主要考查函数的奇偶性的定义和性质，属于中档题.

9.(5分)为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4

项进行检测，则每一类都被抽到的概率为-.

一7-

【解析】从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，

则每一类都被抽到的方法共有C：Cj+C：种，而所有的抽取方法共有C：种，

故每一类都被抽到的概率为戏.G•《+C：・C；•C：=型=3,故答案为：3_

C：7077

【评注】本题主要考查古典概率及其计算公式的应用，属于基础题.

10.(5分)已知等差数列｛”,｝的公差不为零,5"为其前”项和，若$5=0，则E(i=0,1,2,....100)中

不同的数值有98个.

【解析】••等差数列｛〃“｝的公差不为零，S.为其前"项和，$5=0,..55=54+等4=0，解得4=-2”,

,S"=叫+吆*d=一2而+*2d=g(〃2_5〃)，

["X0,5,(/=0<1,2■,100)中=S5=0,S2=Sy=—3d,St=S4=—Id，

其余各项均不相等，.苴(，=0,1,2,100)中不同的数值有：101-3=98.故答案为：98.

【评注】本题考查等差数列的前〃项和公式、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

11.(5分)若平面向量|。|=|切=R|=4,且满足人力=0,a-c=2,bc=l,则2=_妍_.

【解析】由题意，有。•。=。，则力，设

a.c=2啊卜“。=2,①

b・c=l=忖卜|。。5e_°)=1，②

则箕得，tan"L由同角三角函数的基本关系得：3s”巫，

①25

则〃•c=|〃c|cosg=4,4----=2,A2=\[5,则％.故答案为：\/5.

【评注】本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题.

12.(5分)设函数f(x)满足f(x)=/(—对任意xe[0,+oo)都成立，其值域是4,已知对任何满足上述

1+X

条件的/(X)都有{y|y=/(x)，0瓢a}=Af,则〃的取值范围为_[§=),□)_.

【解析】法一：令x=」一,解得》=避二！(负值舍去)，

x+12

、匕rnR.iVs-i

2%+12

当X£(――-,+co)时，=—!—G(0,—―-),

2-再+12

且当王£(咒+oo)时,总存在占=」^£(0,得」)，使得/(%)=/(%)，故3y=/(。瞬k汽>="，

2L%+122

若与L易得/(存3任{y|y=/(x),0Ma},所以。…告L即实数。的取值范围为[与土内)；

法二：原命题等价于任意a>0,/(x+a)=/(—?—),所以一?一京ibnx工-(1+4)恒成立，

l+x+a\+x+aa

即L-(l+a),,0恒成立，又a>0,所以人.且二1,即实数。的取值范围为[苴二1,+00).

a22

故答案为：[告1+00).

【评注】本题考查了抽象函数的性质的应用，同时考查了集合的应用，属于中档题.

二、选择题(本题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项.

13.(5分)若集合A=[—l,2),B=Z,则AB=()

A.(-2,-1,0,1}B.{-1,0,1}C.{-1,0}D.{-1)

【解析】A=[-l,2),B=Z,:.A«={-1,0,1},故选：B.

【评注】本题考查了集合的交集的运算，是基础题.

14.(5分)若实数。、力满足a>6>0,下列不等式中恒成立的是()

A.a+b>2\[abB.a+b<l\!abC.—+2h>2-JahD.—+2h<2\[ab

22

【解析】因为a>">0,所以a+A.2疯，当且仅当a时取等号，

又a>6>0,所以a+Z?>2>/^,故4正确，8错误，

-+2b..2.l-x2b=2y[^b,当且仅当@=2h,即a=4Z>时取等号，故8错误，故选：A.

2V22

【评注】本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的理解能力，属于基础题.

15.(5分)如图正方体中，P、。、R、S分别为棱AB、BC、BB、、8的中点，联结

AS，BQ.空间任意两点例、N,若线段MN上不存在点在线段AS、与。上，则称MN两点可视，则

下列选项中与点R可视的为（）

/a/G

7/

/J卜、/;

：'xR

APB

A.点PB.点、BC.点??D.点Q

【解析】线段MN上不存在点在线段AS、BQ上,即直线与线段AS、B1。不相交,

因此所求与。可视的点，即求哪条线段不与线段AS、BQ相交，

对A选项，如图，连接4尸、PS、D\S,因为P、S分别为4?、8的中点，

易证AR//PS,故A、2、p、s四点共面，，。厂与AS相交，A错误；

J1

\\/

\［内R

W1/

APR

对8、C选项，如图，连接QB、DB,易证A、B1、8、。四点共面，

故QB、RR都与耳。相交，.'B、C错误;

对。选项，连接，。，由4选项分析知A、。|、P、S四点共面记为平面ARPS，

Re平面A.PS,Q任平面ARPS，且ASu平面ARPS,点R/AS,RQ与AS为异面直线，

同理由B,C选项的分析知R、B.B、。四点共面记为平面8。，

Re平面。与8。，Qe平面"用80,且4£>u平面RB由短，点"拓4。，二RQ与BQ为异面直线,

故。。与AS,耳。都没有公共点，.•.£)选项正确.

故选：D.

【评注】本题考查新定义，共面定理的应用，异面直线的判定定理，属中档题.

16.(5分)设集合劣={(而拘)|。__)2+()_r)2=4|、|#€2},

①存在直线/,使得集合C中不存在点在/上，而存在点在/两侧；

②存在直线/,使得集合。中存在无数点在/上；()

A.①成立②成立B.①成立②不成立

C.①不成立②成立D.①不成立②不成立

【解析】当％=0时，集合C={(x,y)|(x-k)2+(y-公)2=4次|,keZ}={(0,0)},

当&>0时，^Q={(x,y)\(x-k)2+(y-k2)2=4\k\,keZ},

表示圆心为（匕F）,半径为r=2々的圆，圆的圆心在直线y=f上，半径r=〃k）=24单调递增,

相邻两个圆的圆心距d=J（jt+l—%）2+［（1+1）2—/F=，41+纵+2,相邻两个圆的半径之和为

1=2尿+2历\，因为“＞/有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离，

当々＜0时，同々＞0的情况，故存在直线/,使得集合。中不存在点在/上，而存在点在/两侧，故①正确,

若直线/斜率不存在，显然不成立，

设直线/:y=,m+〃，若考虑直线/与圆（x-kA+Cv-公）2=4|%］的焦点个数，〃="二£1,r=2屈，

V/M2+1

给定加，n,当火足够大时，均有"〉广，故直线/只与有限个圆相交，②错误.故选：B.

【评注】本题考查了动点的轨迹、直线与圆的位置关系，属于中档题.

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）.

17.（14分）如图所示三棱锥，底面为等边AABC,。为AC边中点，且尸O,底面ABC,AP=AC=2.

（1）求三棱锥体积匕J%；

（2）若M为3C中点，求与面上4c所成角大小.

B

【解析】（1）在三棱锥P-ABC中，因为尸O_L底面所以PO_LAC,又O为AC边中点，所以M4C

为等腰三角形，又AP=AC=2.所以A/XC是边长为2的为等边三角形，.•，O=6，三棱锥体积

匕”,Pojx乎X22X6=1,

（2）以O为坐标原点，08为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，

Z八

则尸(0,0,百)，3(6,0,0),C(0,l,0),M(—,-,0),PM=(-,-,-y/3),

2222

平面以C的法向量08=(G,0,0),设直线PM与平面丛C所成角为。，

3

则直线PM与平面PAC所成角的正弦值为sin0=|加加==走，

\PM\-\OB\<3x24

所以PM与面所成角大小为arcsin—.

4

【评注】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识,

考查运算求解能力，是中档题.

18.(14分)/(x)=log3{a4-x)+log3(6—x).

(1)若将函数/(x)图像向下移砥相>0)后，图像经过(3,0),(5,0),求实数〃，团的值.

(2)若〃>一3且求解不等式/(x),J(6-x).

【解析】(1)因为函数f(%)=log3(a+%)+Iog3(6-4),

将函数f(x)图像向下移/%(〃?>0)后，得丁=/(x)-机=log3(a+x)+log3(6-％)-m的图像，

1幅(3+〃)+1-〃?=。，解得叫_2,g.

由函数图像经过点(3,0)和(5,0),所以

log3(5+a)+0-m=0

(2)\>一3且。工0时,不等式/(%),J(6-x)可化为Iog3(a+x)+log3(6-x)„log3(a+6-x)+log3x,

4+X>0x>-a

6-x>0x<6

等价于<a+6-x>0解得<x<a+6

x>0x>0

(a+尤)(6-x\,x(a+6-x)tz(x-3)..O

当一3vav0时，0<-a<3,3va+6V6,解不等式得一a<%3,

当。>0时，-avO,a+6>6,解不等式得3,,x<6；

综上知，—3va<0时，不等式/(戏,/(6-幻的解集是(一々,3],

a>0时，不等式_/（幻„/（6-劝的解集是［3,6）.

【评注】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了含有字母系数的不等式解法与应用问题，是中档题.

19.（14分）在如图所示的五边形中，AD=BC=6,AB=20,O为他中点，曲线CD上任一点到。距离

相等，角NZMfi=NABC=120。，P,。关于对称，MO1AB;

（1）若点尸与点C重合，求NPO8的大小；

（2）P在何位置，求五边形MQA8尸面积S的最大值.

【解析】（1）点尸与点C重合，由题意可得QB=10,BC=6,ZABC=\20°,

由余弦定理可得OP2=OB1+BC2-2OB-BCcosZABC=36+100-2x6xl0x(-1)=196,

2

所以OP=14,在AOBP中，由正弦定理得°，BP

sin120°sinZPOB

所以」之=一—,解得sinNPOB=2®,所以NPOB的大小为arcsin地;

£sinZPOB1414

T

(2)如图，

曲线CWD上任意一点到O距离相等，，OP=OQ=OA/=OC=14,

P,。关于OM对称，点在劣弧CM中点或劣弧DW的中点位置，SAfiOjW=S&P0M=a,

rr

则ZAOQ=NBOP=S9=y-a,

_1jr1

则五边形面积S=2(5MO0+S〉Q0M)=2[~,OQ-OA-sin(—-«)+—•OQ-OM-sina]=196sina+140cosa

=28>/7?sin(a+0),其中1加夕=]，

当sin(a+°)=1时，S五边形3稗取最大值28>/74，.二五边形MQABP面积S的最大值为28774.

【评注】本题考查了扇形的性质、正、余弦定理和面积公式在解三角形问题中的应用，同时考查了学生的

逻辑推理能力、运算能力等，属于中档题.

22

20.（16分）设有椭圆方程「=+3=l（a>b>0）,直线/:x+y-4立=0,「下端点为A,M在/上，左、

a力

右焦点分别为月（-播,0）、F式近,0）.

（1）a=2,AM中点在x轴上，求点〃的坐标；

（2）直线/与y轴交于3,直线AM经过右焦点鸟，在中有一内角余弦值为|,求匕；

（3）在椭圆「上存在一点尸至M距离为d,使|P/"+|”|+d=6,随。的变化，求”的最小值.

【解析】（1）由题意可得a=2,b=c=应，r":2+二=1,4（0,-夜），4W的中点在x轴上,

42

的纵坐标为代入x+y-4夜=0得M（3五,a）.

（2）由直线方程可知B（0,40）,

①若COSNBAM=3,贝lJtanNBAM=g,HPtanZOAF2=~,OA=^OF2=^y/2,:.b=?四.

3则

②若cos/BMA=—，sinNBM4=3,ZMBA=—,cos(ZMBA+ZAMB)=—x--—x—=--

554252510

cosZ.BAM=72

tanZ.BAM=7.B[Jtan/.OAF-,-7.OA=-^,b=—,

10277

综上。=3血或立.

47

（3）设尸（acose,bsin。），由点到直线距离公式可得土*。-4a!=6_2”,

72

很明显椭圆在直线的左下方，则一“c°s"+匕"°-4夜=$_2〃，即4/+gsin（6+g）=6夜-2缶,

72

a2=b2+2,J2a2-2sin(6>+.)=2伍-2后,据此可得V«2-1sin(6>+«?)=2tz-2

|sin(e+*)|jy2l,1,整理可得(q—1)(34-5)„0，即掇必从而d=6-2a.6-2x*=9.

333

即d的最小值为