2022届上海市大学高考全国统考预测密卷数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X近似服从正态分布N（85,且Q（60<X485）=0.3.从

中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（）

A.40B.60C.80D.100

2.执行如图所示的程序框图，若输出的值为8,则框图中①处可以填（）.

开始）

S=S+

结束）

A.S>7?B.S>21?C.S>28?D.5>36?

3.已知“，。为两条不同直线，a,0,/为三个不同平面，下列命题：①若。〃尸，ally,则£〃/；②若a〃a,

allp,则。〃/?；③若c_Ly,B］丫，则C尸；④若a_Lc,b±a,则山力.其中正确命题序号为（）

A.②③B.②③④C.①④D.①②③

已知I二1=6，出|=2,若则向量在向量B方向的投影为（

5.已知通=（2,-1）,AC=（1,2）,若cos/BAC=芈，则实数/I的值是（

B.7C.1D.1或7

6.设〃“是两条不同的直线，。、夕是两个不同的平面，则相的一个充分条件是（）

A.且muaB.相〃〃且〃C.a，0&m/laD.m_L/且〃//4

7.2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到

四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A,医生乙只能分配到医院A或医院8,医生丙不能分配到医生甲、

乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有（）

A.18种B.20种C.22种D.24种

8.已知集合A={1,2,3,4,5,6}的所有三个元素的子集记为记〃为集合中的最大元素,

则伪+%+与+…+勿=（）

A.45B.105C.150D.210

9.甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A、8、。三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区

至少一人.其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法种数为（）

A.8B.7C.6D.5

10.下列函数中，在区间（（）,+8）上为减函数的是（）

____/Iy

2

A.y=y/x+lB.y=x-1C.y=1-D.y=log2X

\2）

11.在棱长为a的正方体ABC。—44G2中，E、RM分别是48、AD.A4的中点，又P、。分别在线段Ag、

AA上，且4P=AQ=根（0＜根＜a）,设平面ME/n平面MPQ=/，则下列结论中不成立的是（）

A.///平面B.l±MC

C.当机时，平面MPQLMEFD.当机变化时，直线/的位置不变

2

12.《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化.如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、

艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中表示一个阳爻，表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦，

这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（）

333]_

5628?44

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.函数/(x)=sin3x+3cos2x|xe的值域为_________

14.如图，某市一学校，位于该市火车站。北偏东45。方向，且OH=4垃km，已知OM,ON是经过火车站。的两

条互相垂直的笔直公路，CE,。尸及圆弧CD都是学校道路，其中CE//QW,DF//ON,以学校，为圆心，半径为

2Am的四分之一圆弧分别与CE,。尸相切于点C。.当地政府欲投资开发々408区域发展经济，其中A8分别在公

路。M,ON上，且45与圆弧8相切，设NQ4B=6,AAOB的面积为Sk/.

（1）求S关于。的函数解析式；

（2）当。为何值时，AAOB面积S为最小，政府投资最低？

15.某高校开展安全教育活动，安排6名老师到4个班进行讲解，要求1班和2班各安排一名老师，其余两个班各安

排两名老师，其中刘老师和王老师不在一起，则不同的安排方案有种.

16.修一厂）的展开式中♦的系数为.

%3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知圆。经过椭圆C：与+马=1（。>〃>0）的两个焦点以及两个顶点，且点在椭圆C上.

（1）求椭圆。的方程;

（2）若直线/与圆。相切，与椭圆C交于M、N两点，且|MN|=g,求直线/的倾斜角.

x=3cos（p

18.（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线Ci的参数方程为｛.平（<p为参数），在以O为极点，x轴的正

y=sin（p

半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心为（2,-）,半径为1的圆.

2

（1）求曲线Cl的普通方程和C2的直角坐标方程；

（2）设M为曲线G上的点，N为曲线C2上的点，求|MN|的取值范围.

19.（12分）在极坐标系中，已知曲线C的方程为夕=厂（r>0）,直线/的方程为pcos（8+?1=&.设直线/与

曲线C相交于A,8两点，旦AB=25,求r的值.

20.（12分）如图，已知四边形ABCD的直角梯形，AD//BC,AD1DC,AD=4,DC=BC=2,G为线段AD

的中点，PG,平面ABC。，PG=2,M为线段AP上一点（/不与端点重合）.

（1）若AM=MP,

（i）求证：PC〃平面BMG；

（ii）求平面PA。与平面所成的锐二面角的余弦值；

（2）否存在实数之满足无法=4衣，使得直线必与平面BMG所成的角的正弦值为典，若存在，确定的4值，

5

若不存在，请说明理由.

21.（12分）记数列｛q｝的前"项和为S“，已知2s”一。”成等差数列（〃wN*）.

（1）证明：数列｛凡+1｝是等比数列，并求｛《,｝的通项公式；

a+1,、

（2）记/=一一数列｛2｝的前〃项和为7.，求

anan+\

22.（10分）在平面直角坐标系x0y中，设机..1,过点（加,0）的直线/与圆P:/+V=1相切，且与抛物线Q：丁=2》

相交于A8两点.

（1）当加在区间［1,+8）上变动时，求中点的轨迹;

(2)设抛物线焦点为尸，求△的的周长(用〃7表示)，并写出m=2时该周长的具体取值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

由正态分布的性质，根据题意，得到P(XN110)=P(XW60),求出概率，再由题中数据，即可求出结果.

【详解】

由题意，成绩X近似服从正态分布N(85,

则正态分布曲线的对称轴为x=85,

根据正态分布曲线的对称性，求得P(X2110)=P(X<60)=0.5-0.3=0.2,

所以该市某校有500人中，估计该校数学成绩不低于110分的人数为500x0.2=1(X)人，

故选:。.

【点睛】

本题考查正态分布的图象和性质，考查学生分析问题的能力，难度容易.

2.C

【解析】

根据程序框图写出几次循环的结果，直到输出结果是8时.

【详解】

第一次循环：S=0,i=l

第二次循环：S=l,i=2

第三次循环：S=3,i=3

第四次循环：S=6,i=4

第五次循环：S=10,1=5

第六次循环：5=15,/=6

第七次循环：S=21,i=7

第八次循环：S=28,1=8

所以框图中①处填S228?时，满足输出的值为8.

故选：C

【点睛】

此题考查算法程序框图，根据循环条件依次写出每次循环结果即可解决，属于简单题目.

3.C

【解析】

根据直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可.

【详解】

根据面面平行的性质以及判定定理可得，若a〃尸，ally,则户〃7,故①正确；

若a〃a,allp,平面。,£可能相交，故②错误；

若。_1九则可能平行，故③错误；

由线面垂直的性质可得，④正确；

故选：C

【点睛】

本题主要考查了判断直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题.

4.B

【解析】

由£_L仅—矶|：|=6，|昨2nZ%=3,再由向量办万在向量加方向的投影为空竺2化简运算即可

1^1

【详解】

—•/—•—•\—•/—*—»\—»2—•—•—*—»

Va±(a-b\a-ya-bj=a-a-b=3-a-b=0,ab=3>

向量d+B在向量B方向的投影为|Z+5|cos(a+B,B)="百=‘‘""="-=N.

\/Ml闻22

故选：B.

【点睛】

本题考查向量投影的几何意义，属于基础题

5.C

【解析】

根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得2的值.

【详解】

由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得

…小江禺2」近

|AB||AC|6J1+-10・

解得a=i.

故选：C.

【点睛】

本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.

6.B

【解析】

由加//〃且〃，尸可得机，尸，故选B.

7.B

【解析】

分两类：一类是医院4只分配1人，另一类是医院A分配2人，分别计算出两类的分配种数，再由加法原理即可得到

答案.

【详解】

根据医院A的情况分两类：

第一类：若医院A只分配1人，则乙必在医院3,当医院8只有1人，则共有种不同

分配方案，当医院8有2人，则共有C；用种不同分配方案，所以当医院4只分配1人时，

共有C；8+CM；=10种不同分配方案；

第二类：若医院A分配2人，当乙在医院A时，共有用种不同分配方案，当乙不在A医院，

在8医院时，共有C；8种不同分配方案，所以当医院4分配2人时，

共有A；+=10种不同分配方案；

共有20种不同分配方案.

故选：B

【点睛】

本题考查排列与组合的综合应用，在做此类题时，要做到分类不重不漏，考查学生分类讨论的思想，是一道中档题.

8.B

【解析】

分类讨论，分别求出最大元素为3,4,5,6的三个元素子集的个数，即可得解.

【详解】

集合M含有3个元素的子集共有2（）,所以左=20.

在集合用（i=l,2,3,…,女）中：

最大元素为3的集合有2=1个；

最大元素为4的集合有仁=3；

最大元素为5的集合有第=6；

最大元素为6的集合有或=1（）；

所以4+6,+4+仇+xl+4x3+5x6+6xl0=105.

故选：B.

【点睛】

此题考查集合相关的新定义问题，其本质在于弄清计数原理，分类讨论，分别求解.

9.B

【解析】

根据题意满足条件的安排为：A（甲，乙）B（丙）C（T）;A（甲，乙）B（T）C（丙）；A（甲，丙）B（T）C（乙）；

A（甲，丁）B（丙）C（乙）；A（甲）B（丙，丁）C（乙）；A（甲）B（T）C（乙，丙）；A（甲）B（丙）C（丁,

乙）；共7种，选B.

10.C

【解析】

利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间（（）,+8）上的单调性，进而可得出结果.

【详解】

对于A选项，函数y=JETT在区间（0,+8）上为增函数；

对于B选项，函数,=/一1在区间（0,+e）上为增函数；

对于C选项，函数y=在区间（0,+”）上为减函数；

对于D选项，函数y=log2%在区间（0,+纥）上为增函数.

故选：C.

【点睛】

本题考查函数在区间上单调性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的关键，属于基础题.

11.C

【解析】

根据线面平行与垂直的判定与性质逐个分析即可.

【详解】

因为4P=4Q="，所以PQ//qA，因为E、尸分别是A5、AO的中点，所以M//6。,所以PQ//ER,因为面ME/n

面MPQ=/，所以PQ〃EF〃/.选项A、D显然成立；

因为BD//EF〃/,BD工平面ACqA,，所以/平面ACC}\，因为MCu平面ACC.4，所以11MC,所以B项成

立；

易知AC；J_平面MEF,，平面MP0而直线AG与AC不垂直，所以C项不成立.

故选：C

【点睛】

本题考查直线与平面的位置关系.属于中档题.

12.C

【解析】

分类讨论，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦；从仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦中取一个，再取没

有阳爻的坤卦，计算满足条件的种数，利用古典概型即得解.

【详解】

由图可知，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦满足条件，其种数是C；=3；

仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦，没有阳爻的是坤卦，此时取两卦满足条件的种数是C；=3,于是所求的概率

八3+33

Cl14,

故选：c

【点睛】

本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13」学,；

O

【解析】

利用换元法，得到g(t)=t3-3t2+3,tw-白，1，利用导数求得函数g(t)的单调性和最值，即可得到函数的值域,

得到答案.

【详解】

兀兀

由题意，可得f(x)=sin、+3cos2x=sin\-3sin、+3,x£-y,,—,

一百］

☆t=sinx,tG--^-,1,即g(t)=F-3t2+3,tGF---,1

贝ijg〈t)=3t2-6t=3t(t-2),

当一日<t<0时，g'(t)>o,当0<t<l时，g'(t)>0,

-1

即y=g(t)在一芋0为增函数，在［0』为减函数,

又g［曰)=g⑼=3,g0)=l，

故函数的值域为：％芋,3.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性与最值，其中解答中合理利用换元法得到函数g(r),

再利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了推理与预算能力，属于基础题.

..,1、<9［2(sin，+cos6)-l『(7r\兀

14.(1)S=2------------------,t)e\0,—；(2)9=一.

sincos<2)4

【解析】

(1)以点。为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则”(4,4),在中，设=又NQ钻=8,

故。4=/cos。，03=/sin8,进而表示直线AB的方程，由直线A3与圆〃相切构建关系化简整理得

/=4(sin^+cos^)-2>即可表示04,05,最后由三角形面积公式表示AAOB面积即可；

sincos0

(2)令，=2(sin9+cose)-l,则sin6cos6=二^^,由辅助角公式和三角函数值域可求得f的取值范围，进

8

而对原面积的函数用含，的表达式换元，再令进行换元，并构建新的函数g(利)=-3m？+2机+1,由二次函数

性质即可求得最小值.

【详解】

解：(D以点。为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则”(4,4),在火〃45。中，设AB=/,又NOAB=。,

故OA=Icos0,OB=/sin8.

所以直线AB的方程为--—+―-—=1,即xsin6+ycose-/sin8cos8=0.

Icos6Isin6

因为直线AB与圆H相切，

|4sin^+4cos^-/sin^cos^|

所以=2.(*)

Jsin?e+cos?e

因为点H在直线AB的上方,

所以4sin8+4cos。一/sin8cose>0.

所以(*)式可化为4sin，+4cos，一/sinOcos。=2,解得/=------------

smdcosd

诉i、icd4(sin6>+cos6>)-24(sin6>+cos61)-2

所以(JA=-----------------------,(JD=-----------------------------------,

sin，cosC

所以AAOB面积为S=^-OAOB=212(sine[C0S,mE,6G

2sin夕cos夕I2J

*+2r-3

(2)令)=2(sine+cos6)-l,则sin6cos6

8

且「=2(sin6+cos。)一1=2>/2sin[。+?卜1e(1,2枝一1J,

S=2--------------------------->-

所以r+2t-33’2工1,te(l,2女一1].

---------------------------7n------r1

8rt

「亚+

A1212(142V2+1)

令m=-e』，g(M-3m+2m+l=-3m—+-,所以g(M在上单调递减.

I3

7773

所以，当机=述土1,即。=工时，g(M取得最大值，5取最小值.

74

n

答：当e=-7时，AAOB面积s为最小，政府投资最低.

【点睛】

本题考查三角函数的实际应用，应优先结合实际建立合适的数学模型，再按模型求最值，属于难题.

15.156

【解析】

先考虑每班安排的老师人数，然后计算出对应的方案数，再考虑刘老师和王老师在同一班级的方案数，两者作差即可

得到不同安排的方案数.

【详解】

安排6名老师到4个班则每班老师人数为1,1,2,2,共有C；C；C：C；=180种，

刘老师和王老师分配到一个班，共有=24种，

所以180—24=156种.

故答案为：156.

【点睛】

本题考查排列组合的综合应用，难度一般.对于分组的问题，首先确定每组的数量，对于其中特殊元素，可通过“正难

则反”的思想进行分析.

16.80.

【解析】

只需找到(2-%2)5展开式中的一项的系数即可.

【详解】

(2-/)5展开式的通项为却1=625-(-％2丫=(_])「625-42"令一

则7；=(-1)2C；23X4=80/,故(2一’)的展开式中x的系数为80.

故答案为：8().

【点睛】

本题考查二项式定理的应用，涉及到展开式中的特殊项系数，考查学生的计算能力，是一道容易题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)—+y2；(2)一或—

2-44

【解析】

(1)先由题意得出8=c，可得出匕与“的等量关系，然后将点的坐标代入椭圆C的方程，可求出。与匕的值，从而得出

椭圆C的方程；(2)对直线/的斜率是否存在进行分类讨论，当直线/的斜率不存在时，可求出|MV|,然后进行检验；

当直线/的斜率存在时，可设直线/的方程为y=依+机,设点/(%,x),N(毛,%)，先由直线/与圆。相切得出〃，与

上之间的关系，再将直线/的方程与椭圆C的方程联立，由韦达定理，利用弦长公式并结合条件|MN|=g得出k的值,

从而求出直线/的倾斜角.

【详解】

(1)由题可知圆。只能经过椭圆的上下顶点，所以椭圆焦距等于短轴长，可得/=2后，

又点在椭圆C上，所以勺+*=1,解得/=2,〃=],

即椭圆C的方程为上+f=i.

2'

(2)圆。的方程为_?+尸=1,当直线/不存在斜率时，解得|MNb夜，不符合题意;

\m\

当直线/存在斜率时，设其方程为.丫=乙+机，因为直线/与圆。相切，所以上匚=1，即，/=1+比2.

6+1

将直线/与椭圆C的方程联立，得：

(l+2A:2)x2+4A7m:+2w2-2=0,

判别式△=一8m2+8+16公=8d>0，即左。0,

设M(XQJ,NK，%)，贝也+々=言察，%龙2=某油，归一引=后左而

1十乙K1十乙K

所以|MN|=J(%-X2『+(y-%)2=Jl+公W-X2|=Jl+/X=|，

解得Z=±l,

TT34

所以直线/的倾斜角为丁或下.

44

【点睛】

求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法，根据条件确定关于。，仇。的方程组，解出a,b,,从而写出椭圆的标准方程.解

决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数

的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.

*222

18.(1)Ci：—+y=l,C2:x+(y-2)=1；(2)[0,炖+1]

92

【解析】

(I)消去参数可得G的直角坐标方程，易得曲线C2的圆心的直角坐标为(0,2),可得C2的直角坐标方程；(II)

设拉(3cos(p,simp),由三角函数和二次函数可得IMC2I的取值范围，结合圆的知识可得答案.

【详解】

X2

(1)消去参数(P可得Ci的普通方程为±+y2=l,

9

•••曲线C2是圆心为(2,-),半径为1的圆，曲线C2的圆心的直角坐标为(0,2),

2

AC2的直角坐标方程为x2+(y-2)2=1；

(2)设M(3co§(p,simp),则|MCz|=J(3cos(pf+(sirup-2y

=y19cos2(p4-sin2(p-4sin(p+4=-8sin2(p-4sin(p4-13

~J、227

=^-8(sin(p+-)+万，

V-l<sin(p<l,:.1<|MC2|<「旧，

2

由题意结合图象可得|MN|的最小值为1-1=0,最大值为九3+1,

2

...|MN|的取值范围为[0,侦+1].

2

【点睛】

本题考查椭圆的参数方程，涉及圆的知识和极坐标方程，属中档题.

19.r=3

【解析】

先将曲线C和直线/的极坐标方程化为直角坐标方程，可得圆心到直线的距离，再由勾股定理，计算即得.

【详解】

以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy,

可得曲线C：P=r(r>0)的直角坐标方程为/+>2=，2,表示以原点为圆心，半径为r的圆.

由直线I的方程Pcos［。+乙］=近,化简得pcos^cos--psin^sin—=、历,

<4J44

则直线I的直角坐标方程方程为x-y-2=0.

|2|「

记圆心到直线/的距离为d,则〃=片=及,

AB

又，=储+|,即尸=2+7=9,所以r=3.

【点睛】

本题考查曲线和直线的极坐标方程化为直角坐标方程，是基础题.

20.(1)(i)证明见解析(ii)—(2)存在，2=-

113

【解析】

(1)(i)连接AC交BG于点。，连接OM,CG,依题意易证四边形ABCG为平行四边形，从而有AO=OC,

MO\\PC,由此能证明PC〃平面BMG

(ii)推导出BG_LGO,以G为原点建立空间直角坐标系。-xyz,利用向量法求解;

(2)设砺=2/=4(0,2,2)=((),2424),4e((),l),求出平面BMG的法向量，利用向量法求解.

【详解】

(D(i)证明：连接AC交8G于点O,连接OM,CG,

因为G为线段AO的中点，49=4

所以AG=，AO=2,

2

因为OC=BC=2,所以AG=BC

因为AD〃8C

所以四边形ABCG为平行四边形.

所以AO=OC

又因为

所以MO||PC

又因为MOu平面BMG,PC平面BMG,

所以PCP平面BMG.

(ii)解：如图，在平行四边形6C0G中

因为BGHCD,CDLGD,

所以BG工GD

以G为原点建立空间直角坐标系O-Qz

则G(0,0,0),尸(0,(),2),D(0,2,0),

40,-2,0),B(2,0,0),C(2,2,0),M(0,-l,l)

所以方=(2,0,-2),GB=(2,0,0),GM=(0,-1,1),BD=(-2,2,0),BM=(-2,-l,1)

平面PAD的法向量为n=(1,0,0)

设平面的法向量为m=(x,y,z),

tn-BD=0—lx+2z=0

则<---，即<c八，取x=1,得"2=(1,1,3),

m-BM=0[-2x-y+z=0

麻工1JT

设平面PAD和平面HMD所成的锐二面角为凡则cose=S|」=『=二

同.同viiii

所以锐二面角的余弦值为巫

11

(2)设布=2丽=4(0,2,2)=(0,24,24),/1e(0,D

所以M(0,24—2,2/1),W=(-2,22-2,2/1),BG=(-2,0,0),

设平面BMG的法向量为p=①也c),则

ptBG=-2a=0

〈---，取〃得p=((),A,l-A),

/-5M=(22—2)b+22c=0

Vio

因为直线PB与平面BMG所成的角的正弦值为------,

5

所以=")=亚

“网网人”+…45

解得力=；

所以存在4满足血=4/，使得直线PB与平面BMG所成的角的正弦值为—.

35

【点睛】

此题二查线面平行的证明，考查锐二面角的余弦值的求法，考查满足线面角的正弦值的点是否存在的判断与求法，考

查空间中线线，线面，面面的位置关系等知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

2L(1)证明见解析，。，=3"—1；(2)『；一"八

【解析】