2023-2024学年人教版初中数学九年级下册 28.1 锐角三角函数 同步分层训练提升

亲爱的同学加油，给自己实现梦想的一个机会！第页2023-2024学年人教版初中数学九年级下册28.1锐角三角函数同步分层训练提升班级：姓名：亲爱的同学，在做题时，一定要认真审题，完成题目后，记得审查，养成好习惯！祝你轻松完成本次练习。一、单选题1．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等（）A．45 B．35 C．342．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝35A．35 B．45 C．433．在下列实数中，无理数是（）A．sin45° B．13 C．0.3 4．已知Rt△ABC，∠C=90°，AC=2，BC=5，那么下列各式中正确的是（）A．sinA=25 B．tanA=255．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径BD长为4，sin∠BAC＝34A．52 B．3 C．7 D．6．如图，AB为圆O的直径，点P在BA的延长线上，PC，PD与圆O相切，切点分别为C，D，若AB=4，PC=4，则sin∠CBDA．12 B．55 C．257．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②cos∠ABE=35；③当0＜t≤5时，y=25A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④8．下列说法中正确的是（）A．在Rt△ABC中，若tanA＝34B．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝3，b＝4，则tanA＝3C．tan30°＋tan60°＝1D．tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°＝1＋39．如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为α，则夹角α的正弦值为（）A．12 B．22 C．310．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin∠A的值为（）A．12 B．1010 C．55二、填空题11．如图，正方形网格中，点A，O，B，E均在格点上．⊙O过点A，E且与AB交于点C，点D是⊙O上一点，则tan∠CDE=12．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，点D、E分别在AC、BC上，点F在△ABC内．若四边形CDFE是边长为2的正方形，则cos∠ABF＝．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AD=95，BD=165，则sinB=14．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在边BC上，以OA为半径的⊙O经过点D，连接AD，且AD平分∠BAC，若∠BAC=60°，⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为.15．如图，正方形ABCD中，点E，F分别为CD，DA延长线上的点，连接EF，BF，BE，BE交AD于点P，过点F作FK⊥BE垂足为G，FK与AB，CD分别交于点H，K，若DC=DE，∠EFB=∠FBC.则下列结论中：①BP＝HK；②∠ABF+∠FEB＝45°；③PG：GB：PE＝1：2：3；④sin∠ABF=1010；⑤若连接AG，则AH+AP=2AG；⑥HF2+HK2三、解答题16．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=23，AC=10，求△ABC的面积。17．先化简，再求值：(1a+1−18．如图所示，∠C＝90°，BC＝8cm，cosA＝3︰5，点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？四、综合题19．如图，△ABC内接于⊙O，D为AB延长线上一点，过点D作⊙O的切线，切点为E，连接BE，CE，AE.（1）若BC∥DE，求证：△ACE∽△EBD；（2）在（1）的条件下，若AC＝9，BD＝4，sin∠BAE＝3520．已知：△ABC内接于⊙O，∠BAC的角平分线AD交⊙O于点D.（1）如图①，以点D为圆心，DB长为半径作弧，交AD于点I.求证：点I是△ABC的内心；（2）如图②，在（1）的条件下，若AD与BC交于点E.求证：DIDE（3）探究：如图③，△ABC内接于⊙O，若BC＝8，∠BAC＝120°，求△ABC内切圆半径的最大值.21．如图，CD是△ABC的外角∠ECA的平分线，CD交过A，B，C三点的⊙O于点D.（1）求证：BD=（2）若AB=CD，22．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F．（1）求证：△FOE≌△DOC；（2）求sin∠OEF23．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交于点A（0，4）、与x轴交于点B（2，0）和点C（－1，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D为第一象限的抛物线上一点，①过点D作DE⊥AB，垂足为点E，求线段DE长的取值范围；②若点F、G分别为线段OA、AB上一点，且四边形AFGD既是中心对称图形，又是轴对称图形，求此时点D的坐标．

答案解析部分1．答案：D解析：解：易得AC=12+32=10，BC=32+42=5，AB=5，根据勾股定理以及网格结构，可以求得AC、AB、BC的长，根据等边对等角得∠ACB=∠A，进而根据余弦函数的定义及等角的同名三角函数值相等即可得到cos∠ACB的值．2．答案：C解析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴sinA＝ac＝35，tanB＝ba，a2＋b2∵sinA＝35，设a＝3x，则c＝5x，结合a2＋b2＝c2∴tanB＝ba＝4x3x＝故答案为：C.

由于sinA＝ac＝35，可设a＝3x，则c＝5x，由勾股定理求出b＝4x，根据tanB＝3．答案：A解析：解：sin45°=2∵13、0.3与1是有理数，2∴选项A满足题意.故答案为：A.根据特殊角的三角函数值可得sin45°=22，tan45°=1，常见的无理数有四类：①根号型的数：开方开不尽的数，②与π有关的数，③构造型：像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④4．答案：C解析：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝5，∴AB＝AC2+B∴sinA＝BCAB＝5tanA＝BCACtanB＝ACBCcosB＝BCAB＝5故答案为：C．

利用锐角三角函数的定义逐项判断即可。5．答案：B解析：解：连接CD，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，由圆周角定理得：∠BDC＝∠BAC，∴sin∠BDC＝BCBD∵BD＝4，∴BC＝3.故答案为：B.连接CD，根据圆周角定理可得∠BCD＝90°，∠BDC＝∠BAC，然后根据正弦函数的概念进行计算.6．答案：C解析：解：连结OC，OD，∵PC、PD与圆O相切，∴∠PCO=∠PDO=90°，在Rt△PCO和Rt△PDO，OC=OD∴Rt△PCO≌Rt△PDO（HL），∴∠COP=∠DOP=12∵∠COD=2∠CBD，∴∠COP=1∵AB=4，∴OA=OC=2，在Rt△PCO中根据勾股定理PO=P∴sin∠CBD=故答案为：C.连接OC、OD，根据切线的性质得到∠PCO=∠PDO=90°，利用HL证明Rt△PCO≌Rt△PDO，得出∠COP=∠DOP=127．答案：C解析：解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，∴BC=BE=5，∴AD=BE=5，故①小题正确；又∵从M到N的变化是2，∴ED=2，∴AE=AD-ED=5-2=3，在Rt△ABE中，AB=BE∴cos∠ABE=ABBE=4过点P作PF⊥BC于点F，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠PBF，∴sin∠PBF=sin∠AEB=ABBE∴PF=PBsin∠PBF=45∴当0＜t≤5时，y=12BQ•PF=12t•45t=25t当t=294秒时，点P在CD上，此时，PD=294-BE-ED=29PQ=CD-PD=4-14=15∵ABAE=4∴ABAE又∵∠A=∠Q=90°，∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．综上所述，正确的有①③④．故答案为：C.根据图（2）可得：当点P到达点E时点Q到达点C，根据运动速度可得BC=BE=5，则AD=BE=5，据此判断①；由题意可得ED=2，则AE=AD-ED=3，利用勾股定理求出AB，然后根据三角函数的概念可判断②；过点P作PF⊥BC于点F，根据平行线的性质可得∠AEB=∠PBF，根据三角函数的概念表示出PF，然后根据三角形的面积公式可判断③；当t=294秒时，点P在CD上，此时PD=294-BE-ED=14，PQ=CD-PD=154，推出8．答案：B解析：解：A．在Rt△ABC中，若tanA=34B．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝3，b＝4，则tanA＝34C．tan30°＋tan60°=33D．tan75°=tan（45°+30°）=1+331−故答案为：B．

根据锐角三角形函数的定义及特殊角三角函数值逐一解答即可.9．答案：B解析：解：如图，设AB与CD交于点E，过点C作CF∥AB，连接DF，∵CF∥AB，∴∠C=∠AEC=α，设小正方形的边长为1，根据勾股定理得：CDDFCF∴CF∴△CDF为等腰直角三角形，∴∠C=45°，∴sinC=∴夹角α的正弦值为22故答案为：B.设AB与CD交于点E，过点C作CF∥AB，连接DF，根据平行线的性质可得∠C=∠AEC=α，设小正方形的边长为1，根据勾股定理求出CD2、DF2、CF2，结合勾股定理逆定理可推出△CDF为等腰直角三角形，则∠C=45°，然后根据特殊角的三角函数值进行解答.10．答案：C解析：解：如图，连接格点CD，设1个网格的边长为x，则BD=CD=2x∴B∴∠BDC＝∠ADC＝90°，∴sin∠A=CD又AC=∴sin∠A=CDAC＝故答案为：C连接格点CD，设1个网格的边长为x，可得BD=CD=2x，BC=2x，根据勾股定理的逆定理可得∠BDC＝∠ADC＝90°，根据勾股定理求出AC，根据sin∠A=11．答案：1解析：解：由题意可得：∠CDE＝∠EAC，则tan∠CDE＝tan∠EAC＝BEAE故答案为：12

根据同弧所对的圆周角相等可得∠CDE＝∠EAC，从而得出tan∠CDE＝tan∠EAC，由tan∠EAC=BEAE12．答案：3解析：解：连接AF，过点F作FG⊥AB于G，∵四边形CDFE是边长为2的正方形，∴CD=CE=DF=EF=2，∠C=∠ADF=90°，∵AC=6，BC=8，∴AD=4，BE=6，∴AB=AC2+BC2设BG=x，∵FG2=AF2-AG2=BF2-BG2，∴20-（10-x）2=40-x2，解得：x=6，∴BG=6，∴cos故答案为：310

连接AF，过点F作FG⊥AB于G，由正方形的性质及勾股定理求出AB、BF、AF的长，设BG=x，由勾股定理得FG2=AF2-AG2=BF2-BG2，据此列出方程并解之，即得BG的长，由cos∠ABF=BG13．答案：3解析：由AD=95，BD=16由题意可知：∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠CDB=∠CDA=9由射影定理AC得出：AC=3sin故答案为3利用已知条件求出AB的长，再利用射影定理求出AC的长，然后利用锐角三角函数的定义求出sinB的值.14．答案：2解析：解：如图，连接OD、DE，作DH垂直AB于H∵∠BAC=60°，且AD平分∠BAC∴∠CAD=∠DAB=30°∵AE为直径∴∠ADE=90°∴∠AED=60°∵OD=OE∴∠ODE=∠AED=60°，△ODE为等边三角形∴∠DOE=60°，DH=OD∴OD∥AC，OD⊥BC在Rt△ODB中，OD=2∴OB=ODcos∴阴影部分的面积1故答案为：23−23π.

连接OD、DE，作DH垂直AB于H，根据角平分线的概念可得∠CAD=∠DAB=30°，根据圆周角定理可得∠ADE=90°，则∠AED=60°，推出△ODE为等边三角形，利用三角函数的概念求出DH、OB、AB，然后根据S阴影=S△ADB15．答案：①②③④⑤⑥解析：解：过点A作AL⊥BE交CD于点L，∴四边形AHKL是平行四边形，∴AL＝HK，∵AB＝AD，∠ADL＝∠BAP＝90°，∵∠DAJ＋∠APB＝∠DAL＋∠ALD＝90°，∴∠APB＝∠ALD，∴△ADL≌△BAP（AAS），∴BP＝AL＝HK，故①正确；延长EF、CB相交于点N，过点B作BM⊥EN于点M，连接BK，∵∠EFB＝∠FBC，∴∠BFN＝∠FBN＝∠BFA，∴BM＝BA＝BC，∴∠FEG＝∠KEG，∴△EFG≌△EKG（ASA），∴FG＝KG，∴BE垂直平分FK，∴BF＝BK，∵BA＝BC，∴Rt△ABF≌Rt△CBK（HL），∴∠ABF＝∠CBK，∴∠FBK＝∠ABF＋∠ABK＝∠CBK＋∠ABK＝90°，∴∠FBE＝∠KBE＝45°，∴∠ABF＋∠FEB＝∠ABF＋∠BED＝∠ABF＋∠ABP＝∠FBE＝45°，故②正确；∵∠DFK＝90°−∠EKG＝∠BEC，∴tan∠DFK＝tan∠BEC＝BCCE＝1∴BG＝FG＝2PG，∴PE＝PB＝PG＋BG＝3PG，∴PG：BG：PE＝1：2：3，故③正确；设正方形边长为a，由DKDF＝tan∠DFK＝1∴DF＝2DK，即：a＋AF＝2（a−CK），∴AF＝CK＝13∴BF＝AF2＋A∴sin∠ABF＝AFBF=1010，故过点G作GQ⊥AG交AB于点Q，∵∠PGF＝∠HGB，FG＝BG，∠PFG＝∠HBG，∴△FPG≌△BHG（ASA），∴PF＝BH，PG＝HG，∵∠AGQ＝∠FGB＝90°，∴∠AGQ−∠FGQ=∠BGF−∠FGQ，∴∠AGF＝∠BGQ，∵∠AFG＝∠QBG，FG＝BG，∴△AFG≌△BHG（ASA），∴AG＝QG，AF＝BQ，∴HQ＝BH−BQ＝PF−AF＝AP，∴2AG＝AQ＝AH＋HQ＝AH＋AP，故⑤正确；在BC上截取BI＝BH，连接KI，HI，则AH＝CI，∴△AFH≌△CKI（SAS），∴∠AFH＝∠CKI，∴KI＝FH，∴∠HKI＝180°−∠FKD−∠AFH＝180°−∠FKD−∠CKI＝90°，∴HF2＋HK2＝KI2＋HK2＝HI2＝2BH2，故⑥正确；故答案为：①②③④⑤⑥.过点A作AL⊥BE交CD于点L，根据平行四边形的性质可得AL＝HK，根据同角的余角相等可得∠APB＝∠ALD，证明△ADL≌△BAP，据此判断①；延长EF、CB相交于点N，过点B作BM⊥EN于点M，连接BK，由等腰三角形的性质可得∠FEG＝∠KEG，证明△EFG≌△EKG，得到FG＝KG，由垂直平分线的性质可得BF＝BK，证明Rt△ABF≌Rt△CBK，得到∠ABF＝∠CBK，易得∠FBE＝∠KBE＝45°，进而判断②；根据三角函数的概念可得BG＝FG＝2PG，则PE＝PB＝3PG，据此判断③；设正方形边长为a，由三角函数的概念得DF＝2DK，则AF＝CK＝13a，由勾股定理得BF，然后根据三角函数的概念可判断④；过点G作GQ⊥AG交AB于点Q，证明△FPG≌△BHG，得到PF＝BH，PG＝HG，根据角的和差关系可推出∠AGF＝∠BGQ，证△AFG≌△BHG，得到AG＝QG，AF＝BQ，则HQ＝BH-BQ＝PF-AF＝AP，据此判断⑤；在BC上截取BI＝BH，连接KI，HI，则AH=CI，证△AFH≌△CKI，得到∠AFH＝∠CKI，根据内角和定理可得∠HKI＝90°，结合勾股定理可判断⑥16．答案：解：∵∠C=90°，sin设BC=2x，AB=3x∴(3x)2解得x1=−25（舍去），x2=∴BC=45AB=∴S△ABC=1解析：设BC=2x，AB=3x，根据勾股定理列出方程，解方程求出x的值，从而得出BC的长，再根据三角形的面积公式进行计算，即可得出答案.17．答案：解：(=[=a−1−a−1=11−a∵a=2sin60°+1=2×32∴原式=11−a=11−3解析：对括号中的第二个分式的分母进行分解，然后对括号中的式子进行通分，将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，根据特殊角的三角函数值可得a的值，然后代入化简后的式子中进行计算.18．答案：解：∵∠C＝90°，cosA＝3︰5，∴sin∠A=∵BC＝8cm，∴AB=BCsin∠A∵点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，设运动时间为t秒，则有：BP=2tcm，CQ=tcm，∴PC=(8−2t)cm，①当∠PQC=∠A时，则△PQC∽△BAC，∴CQCA=CP解得：t=12②当∠PQC=∠B时，则△PQC∽△ABC，∴CQBC=CP解得：t=32综上所述：当运动时间为3211s或12解析：由题意可求出sin∠A=45，然后根据正弦函数的概念以及BC的值可得AB的值，进而求得AC的值，然后表示出BP、CQ、PC，分①∠PQC=∠A；②19．答案：（1）证明：连接AE，∵四边形ABEC是⊙O的内接四边形，∴∠ACE+∠ABE＝180°，∵∠ABE+∠EBD＝180°，∴∠EBD＝∠ACE，∵BC∥DE，∴∠CBE＝∠DEB，∵∠CAE＝∠CBE，∴∠CAE＝∠BED，∴△ACE∽△EBD.（2）解：如图，连接OE交BC于点H，连接CO，∵DE是⊙O的切线，∴OE⊥DE，∵CB∥DE，∴OE⊥BC，∴CE＝BE，∵△ACE∽△EBD，∴AC即9CE∴CE＝6，∵∠BAE＝∠BCE，sin∠BAE＝35∴sin∠BCE＝EH∴EH＝185∴CH＝CE设⊙O的半径为r，则OH＝r-185在Rt△OHC中，OH2+CH2＝OC2，∴（r-185）2+（245）2＝r∴r＝5，∴⊙O的半径为5.解析：（1）连接AE，根据圆内接四边形的性质可得∠ACE+∠ABE＝180°，由邻补角的性质可得∠ABE+∠EBD＝180°，则∠EBD＝∠ACE，根据平行线的性质可得∠CBE＝∠DEB，根据圆周角定理可得∠CAE＝∠CBE，则∠CAE＝∠BED，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；

（2）连接OE交BC于点H，连接CO，根据切线的性质可得OE⊥DE，则OE⊥BC，CE＝BE，根据相似三角形的性质可得CE的值，根据圆周角定理可得∠BAE＝∠BCE，利用三角函数的概念可得EH的值，由勾股定理可得CH，设⊙O的半径为r，则OH＝r-185，然后在Rt△OHC中，由勾股定理计算即可.20．答案：（1）证明：如图①中，连接BI.∵DB＝DI，∴∠DBI＝∠DIB，∵∠DIB＝∠IAB+∠IBA，∠DBI＝∠IBC+∠DBC，又∵∠DBC＝∠DAC＝∠DAB，∴∠DBC＝∠IAB，∴∠IBA＝∠IBC，即BI平分∠ABC，∴点I是△ABC的内心.（2）证明：如图②中，∵∠BDA＝∠BCA，∠DBC＝∠DAC，∴△BDE∽△ACE，∴DB∵DB＝DI，∴DI（3）解：如图③中，作∠BAC的角平分线AD交⊙O于D，连接BD，DC，以D为圆心，DB为半径作弧，交AD于点I，由（1）点I是△ABC的内心.∵IH⊥AC，∴IH是△ABC的内切圆的半径，在△AIH中，∠IAH＝12∴IH＝32∵∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠DAB＝60°，∴△BDC是等边三角形，∴DB＝CB＝8，即DI＝8，作直径DF，在Rt△BDF中，∠DFB＝60°，DB＝8，∴DF＝1633，即直径为∴AI的最大值为163∴△ABC的内切圆的半径的最大值为8-43.解析：（1）连接BI，由等腰三角形的性质可得∠DBI＝∠DIB，由外角的性质得∠DIB=∠IAB+∠IBA，根据角的和差关系可得∠DBI＝∠IBC+∠DBC，由角平分线的概念以及圆周角定理可得∠DBC＝∠DAC＝∠DAB，则∠IBA＝∠IBC，即BI平分∠ABC，据此证明；

（2）由圆周角定理可得∠BDA＝∠BCA，∠DBC＝∠DAC，证明△BDE∽△ACE，然后根据相似三角形的性质以及DB＝DI可得结论；

（3）作∠BAC的角平分线AD交⊙O于D，连接BD，DC，以D为圆心，DB为半径作弧，交AD于点I，由（1）点I是△ABC的内心，根据三角函数的概念可得IH＝3221．答案：（1）证明：连接AD、BD，如图1所示：∵CD是△ABC的外角∠ECA的平分线，∴∠DCE＝∠DCA，∵∠DCE＝∠BAD，∠DCA＝∠ABD，∴∠BAD＝∠ABD，∴BD=（2）解：∵AB=∴AC=∵BD=∴AC=∴AC＝AD＝BD，∵ABAC∴AB设AB＝10a，则AD＝BD＝5a，作BF⊥AD于F，如图2所示：由勾股定理得：BF2＝AB2-AF2＝BD2-DF2，∴（10a）2-（5a-DF）2＝（5a）2-DF2，解得：DF＝4a，∴BF＝(5a)2∴sin∠BDF＝BFBD∵∠ACB＝∠BDF，∴sin∠ACB＝sin∠BDF＝35解析：（1）连接AD、BD，根据角平分线的概念可得∠DCE＝∠DCA，由圆周角定理可得∠DCE＝∠BAD，∠DCA＝∠ABD，则∠BAD＝∠ABD，据此证明；

（2）根据AB=CD可得AC=BD，结合（1）的结论以及弧、弦的关系可得AC＝AD＝BD，则ABAC=ABAD=105，设AB＝1022．答案：（1）证明：∵E，F为线段OA，OB的中点，∴AB∥EF且AB=2EF，∵AB=2CD，∴EF=CD，EF//∴∠OCD=∠OEF，且∠DOC=∠FOE，在△FOE和△DOC中：∠DOC=∠FOE∠OCD=∠OEF∴△FOE≌△DOC(（2）解：过D点作DH⊥AB于H，∵∠DAB=60°，∴AH=33DH，设DH=∵AB∥CD，∠DHB=∠ABC=90°，∴四边形DCBH为矩形，∴BC=DH=3x又AB=2CD，∴BH=AH=x，在Rt△ABC中，由勾