湖南省岳阳市平江县2023-2024学年高二上学期期末数学试题答案

平江县2023年下学期教学质量监测高二数学参考答案与试题解析一、选择题题号123456789101112答案CDBAADAABCDCDBDABC填空题13、an＝14、2x﹣y+4＝0．15、6．16、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）1．（选必一教材51页习题2.1第1题改编）直线m的方程为，则直线m的倾斜角为（）A．30° B．45° C．60° D．120°【分析】求出直线m的斜率，即可得出直线m的倾斜角．【解答】解：设直线m的倾斜角为α，因为直线的斜率为，所以，又∵0°≤α＜180°，因此α＝60°．故选：C．【点评】本题考查了根据直线的斜率求倾斜角的值，属于易做题．2．（选必一教材88页习题2.4第1题改编）圆x2+y2+2x﹣4y﹣6＝0的圆心坐标和半径分别是（）A．（−1，−2），11 B．（−1，2），11 C．（−1，−2）， D．（−1，2），【分析】将圆的一般方程化为圆的标准方程，即可求解．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y﹣6＝0，即（x+1）2+（y﹣2）2＝11，故圆心坐标为（﹣1，2），半径为．故选：D．【点评】本题主要考查圆的一般方程，属于基础题．3．（选必二35页例题7改编）已知数列{an}是等比数列，若a1＝1，q＝2，Sn＝31，则n等于（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】由已知结合等比数列的求和公式即可求解．【解答】解：因为数列{an}是等比数列，a1＝1，q＝2，所以Sn＝＝31，则n＝5．故选：B．【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于基础题．4．（选必一第10页第5题原题）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M．设＝，＝，＝，则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣﹣ B．﹣﹣﹣ C．﹣+﹣ D．+﹣【分析】由已知结合空间向量的线性运算求出即可判断．【解答】解：因为平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，＝，D1＝，＝，所以＝＝﹣+＝﹣（）﹣+＝＝．故选：A．【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题．5．（选必二55页第3题（2）改编）在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（）A．25.5尺 B．34.5尺 C．37.5尺 D．96尺【分析】由题意知，十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至日的日影长为a1尺，公差为d尺，利用等差数列的通项公式，求出d，即可求出a1，由此能求出结果．【解答】解：设从冬至起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{an}，设冬至日的日影长为a1尺，公差为d尺，∵冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28.5尺，∴，解得a1＝13.5，d＝﹣1，∴大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为：a3+a6+a9＝3a1+15d＝25.5（尺）．故选：A．【点评】本题考查等差数列的实际运用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（选必一145页第2题原题）椭圆＝1与椭圆＝1（0＜k＜9）的（）A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等【分析】分别求出椭圆＝1与椭圆＝1（0＜k＜9）的长轴长、短轴长、焦距、焦点坐标和离心率，由此能求出结果．【解答】解：椭圆＝1，可知a＝5，b＝3，c＝4，∴长轴长是10，短轴长是6；焦距是8；焦点坐标是（±4，0）；离心率是：．椭圆＝1（0＜k＜9）中，∵a＝，b＝，c＝4，∴长轴长是2，短轴长是2；焦距是8；焦点坐标是（±4，0）；离心率是．∴椭圆＝1与椭圆＝1（0＜k＜9）关系为有相等的焦距．故选：D．【点评】本题考查椭圆的长轴、短轴、焦距、焦点坐标、离心率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．7．（选必一35页练习第2题改编）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点，则直线FC到平面AEC1的距离等于（）A． B． C． D．【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线FC到平面AEC1的距离．【解答】解：以D1为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，则A（1，0，1），C（0，1，1），C1（0，1，0），E（1，，0），F（1，，1），∴＝（0，，﹣1），＝（﹣1，，0），＝（﹣1，，0），＝（0，，0），＝（0，0，1），∵＝（﹣1，，0），∴FC∥EC1，∵FC⊄平面AEC1，EC1⊂平面AEC1，∴点F到平面AEC1的距离就是直线FC到平面AEC1的距离，设平面AEC1的法向量为＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，2，1），∴直线FC到平面AEC1的距离d＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查点到平面的距离、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8．（自创题：综合应用拓展）已知椭圆C：的左、右焦点分别是F1，F2，P是椭圆上的动点，I和G分别是△PF1F2的内心和重心，若IG与x轴平行，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【分析】如图所示，设P（m，n），不妨设m、n＞0．利用三角形重心性质可得G的坐标，根据IG平行x轴，可得yI．即三角形内切圆的半径为r＝yI．由三角形内切圆的性质可得：r（2a+2c）＝•2c•n．可得2c＝a，即可求解．【解答】解：如图，设P（m，n）（m＞0，n＞0），则G（，），因为IG与x轴平行，所以I的纵坐标为，即△PF1F2的内切圆的半径r＝，则S＝＝，所以3c＝a+c，∴e＝，故选：A．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形内切圆的性质、三角形重心性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）9.（选必二24页第1题改编）（5分）已知各项均为正数的等差数列{an}单调递增，且a5＝2，则（）A．公差d的取值范围是（−∞，） B．2a7＝a9+2 C．a8+a4＞a6+a5 D．a1+a9＝4【分析】由已知结合等差数列的性质及通项公式分别检验各选项即可判断．【解答】解：因为各项均为正数的等差数列{an}单调递增，所以a1＞0，d＞0，因为a5＝2，则a1＝2﹣4d＞0，所以0＜d＜，A错误；2a7﹣a9＝a5+a9﹣a9＝a5＝2，B正确；a8+a4﹣a5﹣a6＝d＞0，所以a8+a4＞a6+a5，C正确；a1+a9＝2a5＝4，D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了等差数列的性质及通项公式的应用，属于基础题．10.（选必二67第1，7,8题综合改编）（5分）下列说法中，正确的有（）A．过点P（1，2）且在x轴，y轴截距相等的直线方程为x+y﹣3＝0 B．直线y＝kx﹣2在y轴的截距是2 C．直线的倾斜角为30° D．过点（5，4）且倾斜角为90°的直线方程为x﹣5＝0【分析】对于A，分截距为0，不为0两种情况讨论，即可求解；对于B，结合截距的定义，即可求解；对于C，先求出直线的斜率，再结合斜率与倾斜角的关系，即可求解；对于D，根据已知条件，推得直线与x轴垂直，即可求解．【解答】解：对于A，当截距为0时，可设直线方程为y＝kx，直线过点P（1，2），则直线为y＝2x，当截距不为0时，可设直线方程为x+y＝a（a≠0），直线过点P（1，2），则1+2＝a，即a＝3，故直线方程为x+y﹣3＝0，综上所述，所求直线方程为2x﹣y＝0或x+y﹣3＝0，故A错误；对于B，直线y＝kx﹣2在y轴的截距是﹣2，故B错误；对于C，直线的斜率为，则直线的的倾斜角为30°，故C正确；对于D，直线的倾斜角为90°，则直线的斜率不存在，直线过点（5，4），故所求直线的方程为x＝5，即x﹣5＝0，故D正确．故选：CD．【点评】本题主要考查直线的截距式方程，以及直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．11.（选必一第一章基本知识自创题）（5分）对于非零空间向量，，，现给出下列命题，其中为真命题的是（）A．若，则，的夹角是锐角 B．若，，则 C．若，则 D．若，，，则，，可以作为空间中的一组基底【分析】对于A，未排除夹角为0时的情况，对于B，结合向量垂直的性质，即可求解，对于C，根据向量数量积的定义，即可求解，对于D，验证三者向量是否共面，即可求解．【解答】对于A，若共线且同方向，则，但夹角为0，故A错误，对于B，，故，故B正确，对于C，根据向量的数量积定义知，时，不一定成立，故C错误，对于D，假设0＝λ，0＝λ+2μ，3＝0，矛盾，所以向量不共面，则可以作为空间中的一组基底，故D正确．故选：BD．【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．12（圆锥曲线压轴自创题）（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与圆O：x2+y2＝5交于A，B两点，且|AB|＝4，直线l过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（）A．若直线l的斜率为，则|MN|＝16 B．|MF|+2|NF|的最小值为3+2 C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为（0，），则点M的横坐标为 D．若点G（2，2），则△GFM周长的最小值为4+【分析】首先求出抛物线的解析式，设出MN方程，与抛物线方程联立进行求解，当时，|MN|＝16，进而判断选项A；再根据韦达定理和不等式求最小值后判断选项B；画出大致图像过点M作准线的垂线，垂足为M′，交y轴于M1，结合抛物线定义判断选项C；过G作GH垂直于准线，垂足为H，结合△GFM的周长为进而判断选项D即可．【解答】由抛物线C：y2＝2px（p＞0）与圆O：x2+y2＝5交于A，B两点，且|AB|＝4，得到第一象限交点（1，2）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，所以22＝2p，解得p＝2，所以C：y2＝4x，则F（1，0），对于A选项，设直线l：x＝my+1，与y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，所以，当直线l的斜率为时，，故A项正确；对于B选项，由抛物线的定义，＝，所以，当且仅当时等号成立，故B项正确；对于C选项，如图，过点M作准线的垂线，垂足为M′，交y轴于M1，取MF的中点为D，过点D作y轴的垂线，垂足为D1，则MM1∥OF，DD1是梯形OFMM1的中位线，由抛物线的定义可得|MM1|＝|MM′|﹣|M1M′|＝|MF|﹣1，所以，所以以MF为直径的圆与y轴相切，所以为圆与y轴的切点，所以点D的纵坐标为，又因为D为MF的中点，所以点M的纵坐标为，又点M在抛物线上，所以点M的横坐标为，故C项正确；对于D选项，过G作GH垂直于准线，垂足为H，所以△GFM的周长为，当且仅当点M的坐标为（1，2）时取等号，故D项错误．故选：ABC．【点评】本题考查了抛物线的性质以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（选必二8页练习第4题改编）数列{an}的前n项和Sn＝2n2+n+1，则该数列的通项公式为an＝【分析】根据数列的递推式，令n＝1，n≥2，利用an＝Sn﹣Sn﹣1，即可得出答案．【解答】解：∵Sn＝2n2+n+1①，∴当n＝1时，a1＝S1＝2+1+1＝4，当n≥2时，Sn﹣1＝2（n﹣1）2+n②，∴由①﹣②得an＝Sn﹣Sn﹣1＝4n﹣1，当n＝1时，a1＝3≠4，∴an＝．【点评】本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．14．（自创题）过双曲线的左顶点，且与直线2x﹣y+1＝0平行的直线方程为2x﹣y+4＝0．【分析】由双曲线方程确定顶点坐标，根据直线平行确定斜率，应用点斜式写出直线方程．【解答】由双曲线方程知，其左顶点为（﹣2，0），根据直线平行关系知，所求直线的斜率为2，所以所求直线为y＝2（x+2），则2x﹣y+4＝0．故答案为：2x﹣y+4＝0．【点评】本题主要考查了双曲线的性质，考查了两直线平行的斜率关系，属于基础题．15．（选必二104页第9题原题）已知函数f（x）＝x（x﹣c）2在x＝2处有极大值，则c的值为【分析】对函数f（x）＝x（x﹣c）2求导，利用函数的导函数与极值的关系，令导函数等于0即可解出c的值．【解答】解：f′（x）＝（x﹣c）2+2x（x﹣c），f′（2）＝（2﹣c）2+2×2（2﹣c）＝0，解得c＝6或2，验证知当c＝2时，函数在x＝2处有极小值，舍去，故c＝6．16．（拓展自创题）正四棱锥P﹣ABCD，底面四边形ABCD为边长为2的正方形，，其内切球为球G，平面α过AD与棱PB，PC分别交于点M，N，且与平面ABCD所成二面角为30°，则平面α截球G所得的图形的面积为．【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用等体积法求出内切球的半径，即可得到球心的坐标，设平面α的法向量，利用向量的夹角公式表示出二面角的余弦值，求解a的值，从而得到球心到平面α的距离，即可求出平面α截球G所得的图形的面积．【解答】解：以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则A（0，0，0），D（2，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），因为PA＝PD＝PB＝PC＝，AO＝＝，故PO＝，所以P（1，1，），O（1，1，0），则内切球的球心G在PO上，设G（1，1，R），内切球的半径为R，所以S△PAD＝S△PCD＝S△PBC＝S△PAB＝，由等体积法可得，，解得，则，因为平面α过直线AD，设平面α的法向量为，又平面ABCD的法向量为，设平面α与平面ABCD所成的二面角为θ，则，即，解得a＝或a＝（舍），故，所以圆心G到平面α的距离为d＝，故平面α截球G所得的图形的面积为πR2＝．故答案为：．【点评】本题考查了二面角的理解与应用，平面截球所得图形的面积问题，等体积法求解内切球半径的应用，点到平面距离的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．四、解答题（本大题共6小题，满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（选必一22页练习第2题改编）已知＝（2，﹣1，﹣4），＝（﹣1，k，2）．（1）若（﹣）∥（+），求实数k的值；（2）若（+3）⊥（+），求实数k的值．【分析】（1）先求出＝（3，﹣1﹣k，﹣6），＝（1，k﹣1，﹣2），再根据向量平行的性质求解即可．（2）先求出（+3）＝（﹣1，3k﹣1，2），（+）＝（1，k﹣1，﹣2），再根据数量积为零求解即可．【解答】解：（1）∵＝（2，﹣1，﹣4），＝（﹣1，k，2），∴＝（3，﹣1﹣k，﹣6），＝（1，k﹣1，﹣2）．∵（﹣）∥（+），∴，解得k＝．................5分（2）∵＝（2，﹣1，﹣4），＝（﹣1，k，2），∴（+3）＝（﹣1，3k﹣1，2），（+）＝（1，k﹣1，﹣2）．∵（+3）⊥（+），∴（+3）•（+）＝0，即（﹣1）×1+（3k﹣1）×（k﹣1）+2×（﹣2）＝0，解得k＝﹣或k＝2．..........10分【点评】本题主要考查向量平行和垂直运算，属于基础题．18．（选必一103页20题改编）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0（m∈R）．（1）求证：直线l恒过定点；（2）当m＝0时，求直线l被圆C截得的弦长．【分析】（1）根据直线过定点的知识证得结论成立．（2）根据点到直线的距离公式以及勾股定理求得弦长．【解答】（1）证明：依题意直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0（m∈R），整理得l：（2x+y﹣7）m+x+y﹣4＝0，由，解得，所以l恒过定点（3，1）．................5分（2）当m＝0时，直线l：x+y﹣4＝0，圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25的圆心为（1，2），半径为5，（1，2）到直线l：x+y﹣4＝0的距离为，所以直线l被圆C截得的弦长为．................12分【点评】本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．19．（选必二41页第11题原题）已知数列{an}的首项，且满足．（1）求证：数列为等比数列．（2）若，求满足条件的最大整数n．【分析】（1）把已知数列递推式两边取倒数，变形即可证明数列为等比数列；（2）由（1）求得数列{}的通项公式，求和后利用数列的函数特性求解满足的最大整数n．【解答】（1）证明：由，得，................2分则，又，，∴数列是以为首项，以为公比的等比数列；................5分（2）解：由（1）可得，，∴，则＝＝2×+n＝1﹣．由，得＜100，即＜99，∵y＝为单调增函数，∴满足＜99的最大正整数n为99．...............12分即满足条件的最大整数n＝99．【点评】本题考查数列递推式及等比数列的证明，考查等比数列的通项公式及前n项和，考查数列的函数特性，属于中档题．20．（结合选必一49页12题和15题自创题）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2AB＝2CD＝4，∠BAD＝∠CDA＝．（1）判断直线BC与平面PAD的位置关系，并证明；（2）求平面PAB与平面PBC所成二面角α余弦值的绝对值．【分析】（1）直线BC∥平面PAD，延长AB、DC，交于点M，证明BC∥AD，即可证明直线BC∥平面PAD．（2）分别以AD、AP为y、z轴，建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，分别求出平面PAB、平面PBC的一个法向量，即可计算平面PAB与平面PBC所成二面角α余弦值的绝对值．【解答】解：（1）直线BC∥平面PAD，证明如下：延长AB、DC，交于点M，因为PA＝AD＝2AB＝2CD＝4，∠BAD＝∠CDA＝，所以AM＝DM，所以BM＝CM，所以BC∥AD，又因为BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以直线BC∥平面PAD．................5分（2）分别以AD、AP为y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则A（0，0，0），B（，1，0），P（0，0，4），C（，3，0），＝（，1，0），＝（0，0，4），＝（，1，﹣4），＝（0，2，0），设平面PAB的法向量为＝（x，y，z），则，即，令x＝1，则y＝﹣，z＝0，所以平面PAB的一个法向量为＝（1，﹣，0）；设平面PBC的法向量为＝（a，b，c），则，即，令a＝1，则b＝0，c＝，所以平面PBC的一个法向量为＝（1，0，），计算cos＜，＞＝＝＝，所以平面PAB与平面PBC所成二面角α余弦值的绝对值为．...............12分【点评】本题考查了空间中的平行关系应用问题，也考查了二面角的余弦值计算问题，以及运算求解能力，是中档题．21．（选必二104页第18题改编）已知函数f（x）＝ex﹣ln（x+m）．（1）当时，求曲线f（x）在点（0，f（0））处切线方程；（2）当m≤2时，求证：f（x）＞0．【分析】（1）代入求导，计算f′（0）和f（0）的值，即可得到切线斜率和切点坐标，最后用点斜式得切线方程并化简；（2）求出导函数，再利用导数确定f′（x）的单调性，从而确定f′（x）的零点x0存在，得出其为极小值点，由f'（x0）＝0得x0，m间的关系，代入f（x0）变形，然后由基本不等式结合已知条件得证结论．【解答】解：（1）当m＝时，f（x）＝ex+ln（x+），f′（x）＝ex﹣＝ex﹣，切线的斜率f′（0）＝1﹣2＝﹣1，又f（0）＝1+ln2，所以f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为x+y﹣1﹣ln2＝0；................5分（2）证明：f′（x）＝ex﹣单调递增，f（x）的定义域为（﹣m，+∞），，设，则，故f