高三人教A版数学一轮复习练习第十章计数原理概率随机变量及其分布（理）第7节

第十章（理）第7节[基础训练组]1．(导学号14578007)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝()A．0.6 B．0.4C．0.3 D．0.2解析：C[画出正态分布曲线如图，结合图象知：P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝1－P(ξ<4)＝1－0.8＝0.2，P(0<ξ<2)＝eq\f(1,2)P(0<ξ<4)＝eq\f(1,2)[1－P(ξ<0)－P(ξ>4)]＝eq\f(1,2)(1－0.2－0.2)＝0.3.]2．(导学号14578008)一台机床有eq\f(1,3)的时间加工零件A，其余时间加工零件B，加工零件A时，停机的概率为eq\f(3,10)，加工零件B时，停机的概率是eq\f(2,5)，则这台机床停机的概率为()A.eq\f(11,30) B.eq\f(7,30)C.eq\f(7,10) D.eq\f(1,10)解析：A[加工零件A停机的概率是eq\f(1,3)×eq\f(3,10)＝eq\f(1,10)，加工零件B停机的概率是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15)，所以这台机床停机的概率是eq\f(1,10)＋eq\f(4,15)＝eq\f(11,30).故选A.]3．(导学号14578009)(2018·梅州市一模)箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖，现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是()A.eq\f(16,625) B.eq\f(96,625)C.eq\f(624,625) D.eq\f(4,625)解析：B[从6个球中摸出2个，共有Ceq\o\al(2,6)＝15种结果，两个球的号码之积是4的倍数，有(1,4)(3,4)，(2,4)(2,6)(4,5)(4,6)，共6种结果，∴摸一次中奖的概率是eq\f(6,15)＝eq\f(2,5)，∴有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是Ceq\o\al(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3×eq\f(3,5)＝eq\f(96,625).故选B.]4．(导学号14578010)(2018·岳阳市质检)排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，甲在每局比赛获胜的概率都相等为eq\f(2,3)，前2局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是()A.eq\f(4,9) B.eq\f(8,27)C.eq\f(19,27) D.eq\f(40,81)解析：C[因为排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，甲在每局比赛获胜的概率都相等为eq\f(2,3)，前2局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率p＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\f(1,3)＝eq\f(19,27).故选C.]5．(导学号14578011)(2018·合肥市质检)某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,9) D.eq\f(3,20)解析：A[记“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”为事件M，记“学生C第一个出场”为事件N.则P(M)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)A\o\al(2,3),A\o\al(5,5))，P(MN)＝eq\f(C\o\al(1,3)A\o\al(2,3),A\o\al(5,5)).那么“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的概率为P(N|M)＝eq\f(PMN,PM)＝eq\f(\f(C\o\al(1,3)A\o\al(2,3),A\o\al(5,5)),\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)A\o\al(2,3),A\o\al(5,5)))＝eq\f(1,3).选A.]6．(导学号14578012)设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝eq\f(5,9)，则P(Y≥1)＝________.解析：因为X～B(2，p)，所以P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－Ceq\o\al(0,2)(1－p)2＝eq\f(5,9)，解得p＝eq\f(1,3).又Y～B(3，p)，所以P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－Ceq\o\al(0,2)(1－p)3＝eq\f(19,27).答案：eq\f(19,27)7．(导学号14578013)高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是________.解析：设“甲、乙二人相邻”为事件A，“甲、丙二人相邻”为事件B，则所求概率为P(B|A)，由于P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)，而P(A)＝eq\f(2A\o\al(4,4),A\o\al(5,5))＝eq\f(2,5)，AB是表示事件“甲与乙、丙都相邻”，故P(AB)＝eq\f(2A\o\al(3,3),A\o\al(5,5))＝eq\f(1,10)，于是P(B|A)＝eq\f(\f(1,10),\f(2,5))＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)8．(导学号14578014)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是eq\f(1,2)，则小球落入A袋中的概率为________.解析：记“小球落入A袋中”为事件A，“小球落入B袋中”为事件B，则事件A的对立事件为B，若小球落入B袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P(B)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(1,4)，从而P(A)＝1－P(B)＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)9．(导学号14578015)(2018·泸州市二诊)从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图．(1)求这100份数学试卷的样本平均分eq\o(x,\s\up6(－))和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．(2)由直方图可以认为，这批学生的数学总分Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数eq\o(x,\s\up6(－))，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(81＜Z＜119)；②记X表示2400名学生的数学总分位于区间(81,119)的人数，利用①的结果，求E(X)(用样本的分布估计总体的分布)．附：eq\r(366)≈19，eq\r(326)≈18，若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.9544.解：(1)由题意，eq\o(x,\s\up6(－))＝60×0.02＋70×0.08＋80×0.14＋90×0.15＋100×0.24＋110×0.15＋120×0.1＋130×0.08＋140×0.04＝100，样本方差s2＝(60－100)2×0.02＋(70－100)2×0.08＋(80－100)2×0.14＋(90－100)2×0.15＋(100－100)2×0.24＋(110－100)2×0.15＋(120－100)2×0.1＋(130－100)2×0.08＋(140－100)2×0.04＝366.(2)①Z～N(100,192)，P(81＜Z＜119)＝P(100－19＜Z＜100＋19)＝0.6826；②数学总分位于区间(81,119)的概率为0.6826，X～B(2400,0.6826)，EX＝2400×0.6826＝1638.24.10．(导学号14578016)某市在对学生的综合素质评价中，将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级，其中不小于80分为“优秀”，小于60分为“不合格”，其它为“合格”．(1)某校高一年级有男生500人，女生400人，为了解性别对该综合素质评价结果的影响，采用分层抽样的方法从高一学生中抽取了45名学生的综合素质评价结果，其各个等级的频数统计如下表：等级优秀合格不合格男生(人)155女生(人)153根据表中统计的数据填写下面2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”？男生女生总计优秀非优秀总计(2)以(1)中抽取的45名学生的综合素质评价等级的频率作为全市各个评价等级发生的概率，且每名学生是否“优秀”相互独立，现从该市高一学生中随机抽取3人．(ⅰ)求所选3人中恰有2人综合素质评价为“优秀”的概率；(ⅱ)记x表示这3人中综合素质评价等级为“优秀”的个数，求x的数学期望．参考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.临界值表：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635解：(1)设从高一年级男生中抽出m人，则eq\f(m,500)＝eq\f(45,500＋400)，m＝25.∴x＝25－20＝5，y＝20－18＝2男生女生总计优秀151530非优秀10515总计252045而K＝eq\f(45×15×5－10×152,30×15×25×20)＝eq\f(9,8)＝1.125<2.706∴没有90%的把握认为“测评结果为优秀与性别有关”．(2)(ⅰ)由(1)知等级为“优秀”的学生的频率为eq\f(15＋15,45)＝eq\f(2,3)，∴从该市高一学生中随机抽取1名学生，该生为“优秀”的概率为eq\f(2,3).记“所选3名学生中恰有2人综合素质评价为‘优秀’学生”为事件A，则事件A发生的概率为：P(A)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(4,9)；(ⅱ)由题意知，随机变量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3)))，∴随机变量X的数学期望E(X)＝3×eq\f(2,3)＝2.[能力提升组]11．(导学号14578017)(2018·湛江市二模)设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ＜2a－3)＝P(ξ＞a＋2)，则a的值为A.eq\f(7,3) B.eq\f(5,3)C．5 D．3解析：A[∵随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，且P(ξ＜2a－3)＝P(ξ＞a＋2)∴2a－3与a＋2关于x＝3对称，∴2a－3＋a＋2＝6，∴3a＝7，∴a＝eq\f(7,3)，故选A.]12．(导学号14578018)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球．则从2号箱取出红球的概率是()A.eq\f(11,27) B.eq\f(11,24)C.eq\f(16,27) D.eq\f(9,24)解析：A[法一记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球，则根据古典概型和对立事件的概率和为1，可知：P(B)＝eq\f(4,2＋4)＝eq\f(2,3)，P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)；由条件概率公式知P(A|B)＝eq\f(3＋1,8＋1)＝eq\f(4,9)，P(A|eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(3,8＋1)＝eq\f(3,9).从而P(A)＝P(AB)＋P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A|B)·P(B)＋P(A|eq\o(B,\s\up6(－)))·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(11,27)，选A.法二根据题意，分两种情况讨论：①从1号箱中取出白球，其概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，此时2号箱中有6个白球和3个红球，从2号箱中取出红球的概率为eq\f(1,3)，则此种情况下的概率为eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9).②从1号箱中取出红球，其概率为eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).此时2号箱中有5个白球和4个红球，从2号箱取出红球的概率为eq\f(4,9)，则这种情况下的概率为eq\f(2,3)×eq\f(4,9)＝eq\f(8,27).则从2号箱取出红球的概率是eq\f(1,9)＋eq\f(8,27)＝eq\f(11,27).]13．(导学号14578019)(2018·黔东南州一模)黔东南州雷山西江千户苗寨，是目前中国乃至全世界最大的苗族聚居村寨，每年来自世界各地的游客络绎不绝．假设每天到西江苗寨的游客人数ξ是服从正态分布N(2000,10000)的随机变量．则每天到西江苗寨的游客人数超过2100的概率为________.(参考数据：若ξ服从N(μ，δ2)，有P(μ－δ＜ξ≤μ＋δ)＝0.6826，P(μ－2δ＜ξ≤μ＋2δ)＝0.9544，P(μ－3δ＜ξ≤μ＋3δ)＝0.9974.解析：∵服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量ξ在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率为0.6826，∴每天到西江苗寨的游客人数超过2100的概率为eq\f(1,2)×(1－0.6826)＝0.1587.答案：0.158714．(导学号14578020)(2018·重庆市适应性测试)某火锅店为了解气温对营业额的影响，随机记录了该店1月份中5天的日营业额y(单位：千元)与该地当日最低气温x(单位：℃)的数据，如下表：x258911y1210887(1)求y关于x的回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)判定y与x之间是正相关还是负相