第1章数字逻辑基础

1/86数字电子技术李景宏王永军等编著2/86在电子技术中，被传递、加工和处理的信号可以分为两大类：模拟信号和数字信号。模拟信号：时间和幅度都是连续变化的信号。数字信号：在时间和幅度上均不连续的信号。模拟电路：工作信号为模拟信号的电子电路。数字电路：工作信号为数字信号的电子电路。第1章数字逻辑基础3/861.1计数体制数是用来表示物理量多少的。常用多位数表示。通常，把数的组成和由低位向高位进位的规则称为数制。在数字系统中，常用的数制包括十进制数(decimal)，二进制数(binary)，八进制数(octal)和十六进制数(hexadecimal)。4/861.1.1十进制数(DecimalSystem)组成：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9进位规则：逢十进一。不同位置数的权不同，可用10i表示。i在(n-1)至-m间取值。n为十进制数的整数位位数，m为小数位位数。10称为基数(radix或base)。5/86例：729.35729.35=7×102+2×101+9×100+3×10-1+5×10-2

任意一个十进制数都可以写成：任意进制数的按权展开式6/861.1.2二进制数(BinarySystem)组成：0、1进位规则：逢二进一一个二进制数M2可以写成：7/86一个二进制数的最右边一位称为最低有效位，常表示为LSB(LeastSignificantBit)。最左边一位称为最高有效位，常表示为MSB(MostSignificantBit)。例：试标出二进制数11011.011的LSB，MSB位，写出各位的权和按权展开式，求出其等值的十进制数。8/86M2=11011.0112=1×24+1×23+0×22+1×21+1×20+0×2-1+1×2-2+1×2-3=27.3751011011.01124232221202-12-22-3MSBLSB9/861.1.3八进制数和十六进制数一、八进制数(octal)组成：0、1、2、3、4、5、6、7进位规则：逢八进一权值：8i

基数：8按权展开式10/86二、十六进制数(hexadecimal)

组成：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A(10)、B(11)、C(12)、D(13)、E(14)、F(15)进位规则：逢十六进一11/861.1.4数制间的转换1、二进制数和十进制之间的转换（1）十进制数转换成二进制数将十进制数M10转换为二进制数，一般采用将M10的整数部分和小数部分分别转换，然后把其结果相加。M2=(11011.101)2

=1x24+1x23+0x22+1x21+1x20+1x2-1+0x2-2+1x2-3

=(27.625)1012/86(2)十进制数转换为二进制数例：将十进制数25.625转换为二进制数。解：

225212余1=a026余0=a123余0=a221余1=a30余1=a40.625×21.250a-1=10.250×20.500a-2=00.500×21.000a-3=1(25.625)10=(11001.101)213/862、二进制数和八进制数之间的转换三位二进制数恰好等于一位八进制数。对于二进制数，从小数点处开始，分别向左、右按三位分为一组，每组就对应一位八进制数，组合后即得到转换的八进制数。将八进制数转换为二进制数时，把每位八进制数写成等值的二进制数，再连接起来，即得到二进制数。

14/86例：将1011011.10101112转换为八进制数。解：∴1011011.10101112=133.53481

011

011.101

011

10000.133435例：将八进制数2748转换成二进制数。解：

∴2748=10111100227410001011115/863、二进制数与十六进制数之间的转换因为16=24，所以4位二进制数代表一位十六进制数。将二进制数从小数点处开始，分别向左、右按每四位分为一组，每组用相应的十六进制数表示，组合后可得到相应的十六进制数。16/86将1101110.11011102转换成十六进制数。将1BE3.9716转换成二进制数。01101110.110111006E.DC1BE3.970001101111100011.1001011117/861.2常用编码编码：是指用文字、符号、数码等表示某种信息的过程。数字系统中处理、存储、传输的都是二进制代码0和1，因而对于来自于数字系统外部的输入信息，例如十进制数0～9或字符A～Z，a～z等，必须用二进制代码0和1表示。二进制编码：给每个外部信息按一定规律赋予二进制代码的过程。或者说，用二进制代码表示有关对象（信号）的过程。

18/861.2.1二—十进制编码（BCD码）二—十进编码是用四位二进制代码表示一位十进制数的编码方式。BCD码的本质是十进制，其表现形式为二进制代码。如果任意取四位二进制代码十六种组合的其中十种，并按不同的次序排列，则可得到多种不同的编码。常用的几种BCD码列于下表中。19/86无权码542124212421无权码8421权0010011001110101010011001101111111101010000000010010001101001000100110101011110000000001001000110100101111001101111011110000000100100011010001010110011111101111001101000101011001111000100110101011110000000001001000110100010101100111100010010123456789余3循环码5421码2421码(B)2421码(A)余3码8421码十进制

常用的几种BCD码种类20/86⒈8421BCD码 8421码是最常用的一种BCD（BinaryCodedDecimal）码，舍去四位二进制码的最后六个码，十位数和其二进制数有对应关系，为恒权码。⒉余3码

特点是每个余3码所表示的二进制数要比它对应的十进制数多3。

21/861.2.2循环码00000001001100100110011101010100循环码01234567十进制数四位循环码11001101111111101010101110011000循环码89101112131415十进制数22/861.2.3ASCII码 ASCII是AmericanNationalStandardCodeforInformationInterchange美国国家信息交换标准代码的简称。常用于通讯设备和计算机中。 它是一组八位二进制代码，用1～7七位二进制代码表示十进制数字、英文字母及专用符号。第八位作奇偶校验位（在机中常为0）。23/86ASCII码DELo_O?/USSI1111~n^N>.RSSO1110}m]M=-GSCR1101|l\L<,FSFF1100{k[K;+ESCVT(home)1011zjZJ:*SUBLF(linefeed)1010yIYI9)EMHT(tab)1001xhXH8(CANBS1000wgWG7’ETBBEL(beep)0111vfVF6&SYNACK0110ueUE5%NAKENQ0101tdTD4$DC4EOT0100scSC3#DC3ETX0011rbRB2”DC2STX0010qaQA1!DC1SOH0001p`P@0SPDLENUL(null)0000111110101100011010001001b4b3b2b1b7b6b524/86⒈4.1逻辑变量和逻辑函数⑴逻辑值的概念在数字系统中，通常用逻辑真和逻辑假状态来区分事物的两种对立的状态。逻辑真状态用‘1’表示；逻辑假状态用‘0’来表示。‘1’和‘0’分别叫做逻辑真假状态的值。0、1只有逻辑上的含义，已不表示数量上的大小。1.4逻辑代数基础25/86⑵高、低电平的概念以两个不同确定范围的电位与逻辑真、假两个逻辑状态对应。这两个不同范围的电位称作逻辑电平，把其中一个相对电位较高者称为逻辑高电平，简称高电平，用H表示。而相对较低者称为逻辑低电平，简称低电平，用L表示。上限值下限值上限值下限值5V2V0.8V0V高电平H低电平L26/86⑶状态赋值和正、负逻辑的概念状态赋值：数字电路中，经常用符号1和0表示高电平和低电平。把用符号1、0表示输入、输出电平高低的过程叫做状态赋值。正逻辑：在状态赋值时，如果用1表示高电平，用0表示低电平，则称为正逻辑赋值，简称正逻辑。负逻辑：在状态赋值时，如果用0表示高电平，用1表示低电平，则称为负逻辑赋值，简称负逻辑。27/861.4.2基本逻辑运算和基本逻辑门基本逻辑运算有逻辑与、逻辑或和逻辑非。实现这三种逻辑运算的电路，称作基本逻辑门。

⑴逻辑与（乘）运算只有决定一件事情的全部条件具备之后，结果才能发生，这种因果关系为“逻辑与”或“逻辑乘”。28/86

与逻辑电路EABF逻辑符号FAB(b)AB(a)FFAB&(c)AB00011011F0001真值表29/86逻辑真值表（TruthTable）：经过状态赋值之后所得到的由文字和符号0、1组成的，描述输入和输出的所有状态的表格。简称真值表。逻辑与的逻辑关系表达式写成F=A·B与逻辑功能可记成：“有0为0，全1为1”与运算规则：0·0=0；0·1=0；1·0=0；1·1=1A·0=0；A·1=A；0·A=0；1·A=A30/86⑵逻辑或（加）运算决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以上条件具备，结果就会发生，这种因果关系称为“或逻辑”，也称“逻辑加”。31/86EABF或逻辑电路ABF(c)≥1ABF(a)+ABF(b)逻辑符号AB00011011F0111真值表32/86逻辑或的逻辑关系表达式F=A+B或逻辑功能可记成“有1为1，全0为0”。由真值表看出0+0=0；0+1=1；1+0=1；1+1=1，A+0=A；A+1=1；A+A=A。或逻辑又称逻辑加法。通过上述真值表，可见它和算术加有很大区别。在逻辑加中1+1=1，1+1+···+1=1。33/86⑶逻辑非运算 条件具备时结果不发生，条件不具备时结果反而发生，这种因果关系是逻辑非。非也称为取反。34/86非逻辑电路EARFA01F10真值表AF1(c)AF(a)逻辑图AF(b)35/86逻辑非的逻辑表达式写成AF=10=01=AA=0=×AA1=+AA36/864、复合逻辑运算=A⊙B

复合逻辑运算符号如图:ABFABF++FABCDABFABF⊙ÅABFABFFABCDABFABFÅABFABFFABCDABFABFÅABF&ABF≥1≥1FABCD&ABFABF=1=ABFABFFABCDABFABFABF=BAF+=CDABF+=BABABAFÅ=+=BABAF+=37/86⒋逻辑代数的基本公式和常用公式

⑴基本公式0-1律A·0=0A+1=1自等律A·1=AA+0=A重叠律A·A=AA+A=A互补律A·A=0A+A=1交换律A·B=B·AA+B=B+A结合律A·(B·C)=(A·B)·CA+(B+C)=(A+B)+C分配律A·(B·C)=(A·B)·CA+B·C=(A+B)(A+C)吸收律A(A+B)=AA+A·B=A反演律AB=A+BA+B=A·B否定律A=A38/86用真值表可证明基本公式。如反演律BABA+=×ABABA+BA+BA·B00111101110010110011000039/86⑵逻辑代数的三条规则公式⒈代入规则

在任何逻辑等式中，如果等式两边所有出现某一变量的地方，都代之一个函数，则等式仍然成立。这个规则叫代入规则。CBABCABCA++=+×=××BABA+=×40/86⒉反演规则将逻辑表达式中所有·变+，+变成·（注意省略的“·”号）1变成0，0变成1，原变量变成反变量反变量变成原变量即得到原逻辑函数的反函数反演规则常用于从已知原函数求出其反函数。41/86F=A+B+C+D+E+(G·H)F=A·B·C·D·E·(G+H)例：42/86⒊对偶规则

将逻辑函数F中的 “·”换成“＋”；“＋”换成“·” “０”换成“１”；“１”换成“０”即可求得F的对偶式F’。若两个逻辑函数相等，则它们的对偶式也相等；反之亦然。F=A·B+A·C+B·CF’=(A+B)·(A+C)·(B+C)43/86⑶常用公式公式1：AB+AB=A证明：AB+AB=A（A+B）=A公式2：A+AB=A+B证明：A+AB=(A+A)(A+B)=A+B公式3：AB+AC+BC=AB+AC证明：AB+AC+BC=AB+AC+BC(A+A)=AB+AC+ABC+ABC=AB+AC推论：AB+AC+BCD=AB+AC44/86同理：A⊙B=A⊕B公式5：AB+AB=AB+AB(A⊕B=A⊙B)证明：AB+AB=AB·AB=(A+B)·(A+B)=AB+AB=A⊙B公式4：AB+AC=AB+AC证明：AB+AC=AB·AC=(A+B)·(A+C)=AA+AC+AB+BC=AB+AC+BC=AB+AC45/86在处理逻辑问题时，可用多种方法来表示逻辑函数，其常用表示方法有真值表，逻辑表达式，卡诺图和逻辑图等。

1.4.4逻辑函数的表示方法46/86逻辑函数表达式：F=A·B+A·B真值表ABF001010100111&≥1&11ABF电路图47/861.4.5逻辑函数的化简最简与或表达式应满足①乘积项的个数应该是最少的②在满足乘积项个数最少的条件下，要求每一个乘积项中变量的个数也最少。与或表达式最简，由它转换得来的表达式，一般来说也就最简。48/861、逻辑函数的代数（公式）化简法

代数化简法的实质就是反复使用逻辑代数的基本公式和常用公式消去多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子，以求得函数式的最简与或式。因此化简时，没有固定的步骤可循。 经常使用的方法：49/86①吸收法：根据公式A+AB=A可将AB项消去，A和B同样也可以是任何一个复杂的逻辑式。50/86②消去法：利用公式A+AB=A+B，消去多余因子。A、B均可是任何复杂的逻辑式。51/86③合并项法：利用公式A+A=1可以把两项合并为一项，并消去一个变量。52/86④配项法：将式中的某一项乘以A+A或加AA53/8654/862、逻辑函数的卡诺图化简法①卡诺图表示法 卡诺图（KarnaughMap）是逻辑函数的一种图形表示方法。 卡诺图和真值表一样可以表示逻辑函数和输入变量之间的逻辑关系。卡诺图是用图示方法将各种输入变量取值组合下的输出函数值一一表达出来。55/86②最小项

对于n个变量，如果某乘积项含有n个因子，每个因子或以原变量或以反变量的形式仅仅出现一次，则这个乘积项称为最小项。 n个变量一共有2n个最小项。因为每一个变量都有两种状态—原变量和反变量，而变量一共有n个。56/86③最小项编号

编号方法：把与最小项对应的那一组变量取值组合当成二进制数，与其对应的十进制，就是该最小项的编号。57/86三个变量的最小项及其编号m0m1m2m3m4m5m6m700000101001110010111011101234567最小项编号最小项ABC序号58/86三变量最小项真值表m7m6m5m4m3m2m1m0编号000000010000001000000100000010000001000000100000010000001000000000000101001110010111011159/86④最小项性质

⑴n个变量的逻辑函数有2n个最小项。⑵每一个最小项对应了一组变量取值，任意一个最小项，只有对应的那一组取值使其值为1，其它均为0。⑶任意两个最小项之积恒为0，记作：mi·mj=0（i≠j）⑷所有最小项的逻辑和为1，记作Σmi=1（i=0，1，2，···，2n-1）⑸n个变量逻辑函数的每一个最小项都有n个相邻项。相邻是指逻辑相邻。⑹两个最小项相加可以消去互为反变量的因子。60/86（2）卡诺图的画法①画正方形或矩形，图形中分割出2n个小方格，n为变量的个数，每个最小项对应一个小方格。②变量取值按循环码排列（GrayCode），其特点是相邻两个编码只有一位状态不同。 变量卡诺图形象地表达了变量各个最小项之间在逻辑上的相邻性。61/86BABBAABABAABAB(a)标最小项BA010m0m11m2m3(c)标最小项编号BA010000111011(b)标变量取值二变量卡诺图62/86三变量卡诺图63/86四变量卡诺图CDAB0001111000m0m1m3m201m4m5m7m611m12m13m15m1410m8m9m11m1064/86五变量卡诺图CDEAB0000010110101101111011000001326754018911101415131211242527263031292810161719182223212065/86(3)用卡诺图表示逻辑函数 根据逻辑函数的最小项表达式（给出的是最小项表达式）将对应的逻辑函数的最小项的小方格填入1，其它的方格填入0。

BCA00011110001011001166/86（4）用卡诺图化简逻辑函数按以下步骤进行： (a)画出函数的卡诺图 (b)画包围圈，合并最小项在卡诺图中，凡是相邻的最小项均可合并，合并时，可消去有关变量。某个变量的正反值都有的即可消除。两个相邻最小项可以消除一个变量。四个相邻最小项可以消除两个变量。八个相邻最小项可以消除三个变量。67/86二相邻最小项的合并CDAB00011110000000010000110010100010CDAB0001111000000001000011001110000068/86二相邻最小项的合并CDAB00011110001000010000110000101000CDAB0001111000000001100111000010000069/86四相邻最小项的合并CDAB00011110000000010000110110100110CDAB0001111000000001000011111110000070/86四相邻最小项的合并CDAB00011110001001010000110000101001CDAB0001111000000001100111100110000071/86四相邻最小项的合并CDAB00011110000010010010110010100010CDAB0001111000110001000011000010110072/86八相邻最小项的合并CDAB00011110000000011111111111100000CDAB0001111000011001011011011010011073/86八相邻最小项的合并CDAB00011110001111010000110000101111