第2(1)章 轴向拉伸与压缩a

第二章轴向拉伸与压缩§2.1轴向拉压杆的概念§2.2轴向拉压杆的内力§2.4轴向拉压杆的变形·胡克定律§2.6材料在拉压时的力学性质§2.7强度条件、安全系数、许用应力§2.9拉压杆的超静定问题§2.3轴向拉压杆的应力§2.5拉（压）杆内的应变能§2.8应力集中的概念比较—分类法一、定义轴向拉伸

线方向伸长的变形形式

——载荷的作用线与杆的轴线重合，使杆产生沿轴（轴向压缩）（缩短）木压杆§2.1

轴向拉压杆的概念1.桥的拉杆二、工程实例2.挖掘机的顶杆3.火车卧铺的撑杆4.广告牌的立柱与灯杆5.小亭的立柱6.网架结构中的杆§2.2

轴向拉压杆的内力一.内力的概念材料力学中内力指的是：物体受到外力作用而产生变形，所引起的物体内部各质点之间相互作用力改变量的合力（附近内力）。材料力学求杆截面内力的基本方法是：截面法，即：截开→代替→

平衡。二.横截面上的内力和轴力图由

Fx

=0：得到mmⅡFFN1、截面法

轴力FN

轴力的符号规定：—作用线与杆的轴线重合的内力，单位：N、kN。背离截面为+，指向截面为-；即轴力为拉力为正，轴力为压力为负。2、横截面上的内力（轴力）和内力图（轴力图）mmⅡFFN（1）轴向拉压的内力（2）轴力图的概念及其画法轴力图——杆的轴力沿轴线变化的图形。轴力图的画法：

水平杆轴力图的画法：取纵横坐标轴，横轴与杆轴线平行，表示杆各截面的位置；纵轴与横轴垂直，表示杆各截面轴力的大小；规定正轴力画在横轴上方，负轴力画在横轴下方。竖直杆轴力图的画法：取纵横坐标轴，纵轴与杆轴线平行，表示杆各截面的位置；横轴表示杆各截面轴力大小；正负轴力画在杆的那一侧由自己定。内力图——杆的内力沿轴线变化的图形（轴力图、扭矩图、弯矩图、剪力图）。注意：画内力图要标（图名、控制点数值、正负号、单位）例1

画出图示直杆（多力杆）的轴力图。解：1-1截面：求得：1.求轴力由

Fx=0：注意：用截面法求轴力前，先假定所求截面上的轴力为拉力，其目的便于画出杆的正确轴力图。2-2截面：求得：由

Fx

=0：解：1-1截面：1.求轴力求得：由

Fx

=0：3-3截面：2-2截面：解：1-1截面：1.求轴力3-3截面：2-2截面：解：1-1截面：1.求轴力讨论：

1．在求内力时，能否将外力进行平移

？注意：

1．在用截面法求内力时不能随意进行力的平移；

2．用截面法一次只能求出一个截面上的内力。

2．能否一次求出两个截面上的内力

？

轴力图不仅能显示出各段的轴力大小，而且能显示出各段的变形是拉伸还是压缩。2.作轴力图

3-3截面：2-2截面：解：1-1截面：1.求轴力试作图a所示杆的轴力图。练习1.用截面法分别求各段杆的轴力。为求轴力方便，先求出约束力

FR=10kN。在AB段用1-1截面将杆截开，以左端杆为分离体（图c），由SFx=0得FN1=10kN(拉力)10kN练习解:以图d为分离体，由SFx=0，得FN2=50kN(拉力)10kN40kN练习取截面3－3右边为分离体（图e），假设轴力为拉力。同理，FN4=20kN

(拉力)由SFx=0，得FN3=-5kN

（压力）。(e)25kN20kN练习由轴力图可见2.以横坐标表示横截面位置，纵坐标表示轴力的大小，由以上结果作轴力图如图所示。练习例2

杆受力如图，容重

,横截面面积为A,画出轴力图。解:(1）求轴力FN（x）x(2）画轴力图xPPxFN（X）FNx

P+ALP§2.3轴向拉压杆的应力一.研究应力的意义

在求出截面上的内力后，并不能判断构件是否破坏。

构件的破坏与单位面积上的内力有关FFAFF2A试问：下面两根材料相同的杆件哪一根容易破坏？

应力

——单位面积（1m2）上的内力（即内力的集度）。二、应力的概念三、拉压杆横截面上的应力1、几何分析

变形现象：

推知：

（1）横截面变形后仍为平面，且仍垂直于轴线——

平面假设

（2）两横截面间的纵向线段伸长相同(均匀变形），即横截面上各点的变形都相等。

两横向线相对平移

（2）应力的方向与轴力相同。

（1）横截面上各点的内力都相等，即横截面上各点的正应力都相等，或：横截面上应力均匀分布。

FFsN

结论：2.物理分析FFa'd'c'b'3.静力平衡由

积分得正应力公式正应力的符号规定：

拉应力为

+，压应力为

-。

拉应力——背离截面的应力

压应力——指向截面的应力FFa'd'c'b'FFsN当等直杆受几个轴向外力作用时，由轴力图可求得其最大轴力FN,max，代入上述公式，即得杆的最大正应力：最大轴力所在的横截面称为危险截面，危险截面上的正应力称为最大工作应力（危险应力）。注意：(1)上述正应力计算公式来自于平截面假设；对于某些特定杆件,例如锲形变截面杆，受拉伸(压缩)时，平截面假设不成立，故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力；若截面沿轴线变化缓慢，正应力公式可近似用。

(2)即使是等直杆，在外力作用点附近，横截面上的应力情况复杂，实际上也不能应用上述公式。

(3)

圣维南(Saint-Venant)原理：“力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响”。适用范围

（1）载荷的作用线必须与轴线重合

（2）不适应于集中力作用点附近的区域（圣文南原理）

作用于弹性体上某一局部区域内的外力系，可以用与它静力等效的力系来代替。经过代替，只对原力系作用区域附近有显著影响，但对较远处，其影响即可不计。

由圣维南原理可知：下图中的(b)、(c)、(d)都可以用同一计算简图（a）来代替，从而图形得到很大程度的简化。圣维南原理或者这样说：圣维南原理运用｛｝｝例3悬臂吊车，斜杆AB为直径d=20mm的钢杆，起吊重物Q=15KN，求AB的最大工作应力。CL2TU1QBCC1.9m0.8m例3悬臂吊车，斜杆AB为直径d=20mm的钢杆，起吊重物Q=15KN，求AB的最大工作应力。（1）分析AB受力、并求其内力:当Q移到A点时AB杆受力最大，取结点A研究解：CL2TU1QBCC1.9m0.8m不计变形带来的结构尺寸变化，仍按未变形尺寸计算。QABCAQBCBC1.9m0.8m(2)求AB杆的最大工作应力

试求图a所示正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的最大工作应力。已知F=50kN。例41.作轴力图如图所示。分别求各段柱的工作应力。Ⅰ段柱横截面上的正应力Ⅱ段柱横截面上的正应力(压应力)(压应力)例4

试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上的拉应力。已知：d=200mm，d=5mm，p=2MPa。

例5

薄壁圆环(δ<<d)在内压力作用下，径向截面上的拉应力可认为沿壁厚均匀分布，故在求出径向截面上的法向力FN后，用式s=FN/(bδ)求拉应力。例5解:用径向截面将薄壁圆环截开，取其上半部分为分离体，如图b所示。分布力的合力为由SFy=0，得径向截面上的拉应力为例5实验表明：

有些构件是沿横截面破坏的

有些构件则是沿斜截面破坏的四、拉压杆斜截面上的应力低碳钢轴向拉伸铸铁轴向压缩1.斜截面上的内力

斜截面上：

横截面上：FFkkNa

即：FFkkam横截面上：斜截面上：全应力2.斜截面上的应力FFkkNapaFFkkam正应力和切应力：结论：

和

是

的函数。2.斜截面上的应力FkkpatsaantaFFkkampFFkkNaa讨论：1.横截面

=

0，2.纵截面

=90，3.斜截面

=45

，4.斜截面

=

-45

，F几个特殊截面上的应力思考：1.写出图示拉杆其斜截面k-k上的正应力sa和切应力ta与横截面上正应力s0的关系。并示出它们在图示分离体的斜截面k-k上的指向。

2.拉杆内不同方位截面上的正应力其最大值出现在什么截面上？绝对值最大的切应力又出现在什么样的截面上？kk

3.对于拉(压)杆知道了其横截面上一点处正应力s0(其上的切应力t0=0)，是否就可求出所有方位的截面上该点处的应力，从而确定该点处所有不同方位截面上应力的全部情况——该点处的应力状态(stateofstress)？

单元体：围绕某点所取的微小正方体，单元体是代表某一个点的。单元体的特点：（1）单元体每个面上各点的应力均匀分布；（2）单元体上相互平行面上的应力相等。PPAs=P/AsA对于轴向拉压杆，一点处的应力状态由横截面上的正应力即可完全确定，这样的应力状态称为单轴（向）应力状态。§2.4

轴向拉压杆的变形、胡克定律一、纵向变形和横向变形二、胡克定律三、纵向变形和横向变形关系四、公式的应用范围与注意事项一、纵向变形和横向变形

纵向线应变：1.纵向变形符号：伸长为+，缩短为–

纵向伸长：

线应变无量纲注意：上式所表达的是在长度l内的平均线应变，当沿杆长度均匀变形时，就等于沿长度各点处的纵向线应变。当沿杆长度为非均匀变形时（如杆在自重作用下的变形），上式并不代表沿长度各点处的纵向线应变，为了研究一点处的线应变，可围绕该点取一个单元体：x截面处沿x方向的纵向平均线应变为

图示一般情况下在不同截面处杆的横截面上的轴力不同，故不同截面的变形不同。沿杆长均匀分布的荷载集度为f轴力图微段的分离体线应变的正负规定：伸长时为正，缩短时为负。一般情况下，杆沿x方向的总变形

x截面处沿x方向的纵向线应变为

沿杆长均匀分布的荷载集度为f轴力图微段的分离体

横向线应变：

横向缩短：横向变形与纵向变形反号2.横向变形二、胡克定律(英国科学家Hooke，1676年发现)1.

第一种形式实验表明：当载荷小于某一数值时引入比例常数E，因F=FN，有

E—材料的弹性模量。反映材料抵抗弹性变形的能力，单位：Pa

EA—杆的抗拉(压)刚度。表明杆抵抗纵向弹性变形的能力2.第二种形式

将第一种形式改写成即称为应力—应变关系三.纵向变形和横向变形关系实验表明：当载荷小于某一数值时式中

——泊松比，为无量纲量，(Poisson,法国科学家)即

为材料常数2）构件的工作应力（线弹性范围内）；3）轴力FN、横截面面积A为常量——等直杆两端受轴向力；讨论：1.轴力变化时1）

l为“+”时伸长，为“-”时缩短，符号规定与轴力一致。拉为“+”，压为“-”，算变形l

时，公式中的轴力FN要考虑正负号

。2.横截面变化时：四.公式的应用范围与注意事项BCACAB阶梯状杆徐变截面杆：锥角较度小，如≤10°

例6图示杆，1段为直径d1=20mm的圆杆，2段为边长a=25mm的方杆，3段为直径d3=12mm的圆杆。已知2段杆内的应力σ2=-30MPa，E=210GPa，求整个杆的伸长△l解:例7求受拉锥度杆的总伸长量FF

Lxdxx解：徐变截面杆取dx微段研究：故：由

图示杆系中，荷载

P

=100kN。试求结点A的位移DA。已知：a=30°，l=2m，两杆直径均为d=25mm，材料的弹性模量为E=210GPa。例题

求拉（压）杆系节点位移的关键在于确定变形后节点的位置。本例中，解除铰链A

的约束，设1，2

杆的伸长量分别为Dl1和Dl2，

分别以B和C为圆心，以l1

+Dl1和l2+Dl2为半径画圆弧，两圆弧的交点A'为变形后A点的精确位置。但在小变形时，

Dl1<<l1，Dl2<<l2，可近似用A1B和A2C的垂线代替圆弧，得到交点A'作为变形后A点的位置。再根据位移图所示的几何关系求A的位移。Dl1Dl2(b)例题由胡克定律得

其中

解:1.分别求1，2两杆的轴力及伸长由结点A的平衡方程得例题2.求A点的位移

由图b可见因为Dl1=Dl2，所以DAx=0Dl1Dl2(b)例题在小变形情况下，确定杆系变形后的位置时，用杆端垂线代替圆弧线是本题的重点也是难点，一定要掌握。2.杆系节点A的位移是因杆件变形所引起，但两者虽有联系但又有区别。变形是指杆件几何尺寸的改变，是个标量；位移是指结点位置的移动，是个矢量，它除了与杆件的变形有关以外，还与各杆件所受约束有关。注意：例8求图示结构结点A的垂直位移。解:②①解:例9求图示结构结点A的垂直位移和水平位移。BDC4m3mBC杆为圆钢，直径d=20mm，BD杆为8号槽钢。[]=160MPa，E=200GPa，P=60KN，试求B点的位移。解：（1）分析构件受力：取B点研究PP（“-”表示与图示方向相反，为压力）B例10简单托架如图，BDC3mPP4m（2）分析计算B点的位移：假想把B节点松开，B受力后B点移到其位移

解：1）求轴力FN（x）2）求变形：取微段dx研究FNxF+AL

FFFxxxdxFN（x）例11求考虑自重影响的等直杆变形。已知P、杆长L、A、E、容重。dxFN（x）+dFN（x）FN（x）

求例题2-4中所示薄壁圆环的直径改变量Dd。已知E=210GPa，d=200mm，d=5mm，p=2MPa。例12解:1.由例题2-4已求出圆环径向截面上的正应力为例122.因为p<<s，所以在计算变形时可忽略内压力的影响，则薄壁圆环沿圆环切向的线应变e（周向应变）与径向截面上的正应力s

的关系符合单轴应力状态下的胡克定律，即例12圆环直径的改变量(增大)为3.圆环的周向应变e与圆环直径的相对改变量ed

有如下关系：例12

(2)横截面B,C及端面D的纵向位移与各段杆的纵向总变形是什么关系？思考：等直杆受力如图，已知杆的横截面面积A和材料的弹性模量E。

(1)列出各段杆的纵向总变形ΔlAB，ΔlBC，ΔlCD以及整个杆纵向变形的表达式。

FFFN

图F+-+位移：变形：§2-5拉(压)杆内的应变能

应变能(strainenergy)——弹性体受力而变形时所积蓄的能量。

功能原理：积蓄在弹性体内的应变能Ve在数值上等于外力所作功W：

Ve=W。

应变能的单位为J（1J=1N·m）。弹性体受力发生变形后会积蓄能量。把伴随弹性体变形量增减而变化的能量称为变