2021年中考复习数学一轮：矩形及其性质（一）（解析版）

2021年中考数学一轮专练:

矩形及其性质（一）

1.已知：如图，在矩形四切中，M,/V分别是边初、8C的中点，E,尸分别是线段8%,CM

的中点.

（1）求证：△48侬△〃以；

（2）判断四边形版炉是什么特殊四边形，并证明你的结论；

（3）当AB=时，四边形版炉是正方形（只写结论，不需证明）

2.矩形4仇》的对角线交于0点，一条边的长为1,△/）必是正三角形，则这个矩形的周长

为.

3.如图，过矩形力宓〃的对角线做上一点《分别作矩形两边的平行线的与户0,那么图中

矩形/的空的面积5,与矩形仇流的面积S］的大小关系是5,S八（填“>”或“V”

或"="）

4.如图矩形力胸中，AA3cm,34cm,过对角线8。的中点0作劭的垂直平分线甲

分别交力26c于点旦F,则然的长为

ED

5.在矩形力83中，AC、劭交于点0.过点。作0£L劭交射线成;于点£,若BE=2CE,AB

=3,则/〃的长为.

6.如图，矩形被分割成一个菱形和两个三角形，如果其中一个三角形的面积是菱形面

积的义，那么的值是.

DE

AFB

7.如图，在矩形中，E是直线为上一点，且应"=〃，连结若N9k7=60°,则

NOIE的度数为______.

8.已知矩形力成3,对角线4C、劭相交于点。，点F为劭上一点，OE=1,连接/AOB

=60°,AB=2,则4E的长为.

9.如图，在矩形切中，点£是边，〃上一点，EFLAC于点、F.若tanNak7=2,EF=\,

则然的长为.

ED

10.如图，在矩形48缈中，48=4,BX6、将△48E沿着然折叠至△羔'£,若BE=CE,连

接8'C,则夕C的长为

11.如图，△>!宓中，ZABX90。，。为〃的中点，连接80并延长到。，连接他CD.添

加一个条件，使四边形力&;〃是矩形（填一个即可）.

12.如图，在平行四边形4口?〃中，/C、劭相交于0,请添加一个条件,可得平行四

边形48co是矩形.

13.如图，平行四边形48刃的对角线相交于点0,请你添加一个条件.（只添一个

即可），使平行四边形力&?〃是矩形.

14.如图，在》8缈中，请再添加一个条件，使得四边形切是矩形，你所添加的条件是

AD

15.如图，四边形48切的对角线互相平分，请你添加一个条件，使它成为矩形，你添加的

条件是.

16.四边形力8切的对角线4C、劭互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是.

17.用一刻度尺检验一个四边形是否为矩形，以下方法可行的有.（只要填序号即

可）

①量出四边及两条对角线，比较对边是否相等，对角线是否相等.

②量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等.

③量出一组邻边的长a、6以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c,计算是否有才+"

=c2.

④量出两条对角线长，看是否相等.

18.如图，在中，ZBAC=90。，且协=6,47=8,点。是斜边8c上的一个动点，

过点。分别作口小48于点〃DNLAC于点、N,连接网，则线段郴的最小值为.

19.如图，△48C是以四为斜边的直角三角形，AC=4,80=3,2为48上一动点，且比JL

AC于E,PFLBC于F,则线段）长度的最小值是.

B

20.如图，在菱形中，AC、8。交于点0,AX6,劭=8,韦D曰/AC,CE//BD,贝I]%

的长为.

参考答案

1.(1)证明：•・•四边形力及步是矩形，

：.AB=DC,N4=NZ?=90°,

••."为力。中点，

：.AM=DM,

在XABM和MDCM、

，AM=DM

<ZA=ZD

tAB=CD

：./\ABM^/\DCM(SAS')；

(2)答：四边形版炉是菱形.

证明：E、F分别是8C、BM、C版的中点，

：.NE//CM,NE=^CM,MF=^CM,

:.NE=FM、NE//FM,

，四边形版炉是平行四边形，

由(1)知△?!分世△。阳

：.BM=CM,

,:E、尸分别是8肌酸的中点，

：.ME=MF,

..•平行四边形跖炉是菱形；

(3)解：当四边形肱7炉是正方形正方形时，则/的=90°,

•：/XABM^/XDCM,

；.NAMB=NDMA45°,

:・XABM、△加扬为等腰直角三角形，

：.AM=DM=AB,

：.AD=2AB,

当4。：48=2：1时，四边形版炉是正方形.

故答案为：2：1.

2.解：在矩形力aM中，AC=20B,

•••△?）必是正三角形，

0B=AB,

1・AC=2AB,

①48=1时，AC=2,

22=22=

根据勾股定理，BC=VAC-ABV2-IVS-

所以，矩形的周长=2（A济BC）=2（1+V3）=2+2扇

②成7=1时，根据勾股定理，A官+BC=AC、

所以，府+1.（248）2,

解得AB=*

所以，矩形的周长=23班80=2(返+1)=2返+2；

33

综上所述，矩形的周长为2+2J破婴+2.

故答案为：2+2^3^^3+21

3.解：.•・四边形/仇?。是矩形，四边形磔。K是矩形，四边形尸的是矩形，

.•.△/4劭的面积=/\"后的面积，△掰%的面积=/\0/⑵的面积，△户/①的面积=/\加冰的

面积，

.•.△/I劭的面积-△砌T的面积-⑦的面积=Z\CZ后的面积-△<?/出的面积=△放价的

面积，

S[=£.

故答案为£=&.

4.解：连接做

•.•4垂直平分仍，

:.ED=EB,

设AE=xcm,贝I]DE=EB=(4-x)cm,

在RtZUfi?中，

/+裕=初，

即：A32=(4-x)2,

解得：x=

o

故答案为：gem.

5.解：如图，当点E在比的延长线上时,

'：BE=2CE,

:・BC=CE、

■/0E1.BD,

：.OC=BC=CE、

.・.四边形48CZ?是次巨开力

：.AO=CO=BO=DO,AD=BC：

••B0=C0=BC,

••・△80C是等边三角形，

/.N478=60°

.'.tanZACB==A/O,

BCr'

BC=AD,

如图，当点E在线段8c上时，设直线宏与直线力昆CZ?交于点尸，点小

•：AB//CD.

.AOAF.

..----=-----=1,

COCH

：.AF=CH,

'：AB//CD.

:.AEBFSAECH,

.CHJE=1

一方而下

:、BF=2CH=2AF、

：.3+AF=2AF,

.'.AF=3=AB,且OE1BD,

.\A0=AB=AF=3,

\'AO=BO=CO=DO,

.\AO=AB=BO^

，△48。是等边三角形,

:.NABD=6G°,

.'.tanZABD=域-AO

AB=弋/日,

；.AD=3~\f^,

故答案为：3住«.

6.解：；四边形厂是菱形，

：.AE=CE=CF,

•••四边形48切是矩形，

：.AD=BC,Z^=ZP=90°,CD=AB

/.RtAXfZ^RtACra(HD

''S4Ao产S4cBF、

・••一个三角形的面积是菱形面积的a,

4

.".yXADXADXEC,

：.EC=2DE,

:.AE=2DE,DC=3DE=AB,

-'-AD=VAE2-DE2=伺E,

.,.AB：AD=3DE：1,

故答案为：如：1.

7.解：^BAC=6Q°,N48a90°,

r.N4?8=30°,

如图，当点£在点8左侧时,

•：CE=CA,

:2CAE=/AEC=15°,

若点f在点C右侧时，

■：AC=CE',

C.^CAE=Z.CEA,

•.,N/lC8=N〃£'+NCf4=30°,

Zfi4F=15°,

综上所述：的度数为75°或15°,

故答案为75°或15°.

8.解:如图,连接他

...四边开24民加是次巨形，

：.OA=OB,且N478=60°,

...△408是等边三角形,

：.A0=0B=AB=2,

若点£在80上时，

YOE=1,

：.BE=E0=1,且△480等边三角形，

：・AE1B0,

:-AE=VA02-0E2=V4^1=M'

若点f在能上时，

-'-AE=VAE2+E/E2=V3+4=

故答案为：序

9.解：；在矩形4脑中，ZA900'tanN用k?=2

.•段=2,

AB

•：AD=BC,CD=AB,

.CD1

.".tanNEAF=-^,

■：EF=\,

：.AF=2,

-'-AE=7AF2+EF2=V22+l2=娓'

故答案为：

10.解：•.,将△/I8E沿着丝折叠至△48'£,

S^ABE=S△.E,BE=B'E,

'：BE=CE、

：.BE=EC=B'E=3、

A0=90°,

在Rt△/跖中，AE=VAB2+BE2=V9+16=5,

/xAEXBB'=2X-^XABXBE,

.oo,-2X4X3_24

"BB--5—V

-■B,VBC2-B7B2=Y--

故答案为：毕.

5

11.解：添加/7=例7,

理由：为4C的中点，

：.AO=CO,

■：BO^DO,

四边形四6■〃是平行四边形，

•：4ABX）0°,

，四边形48。〃是矩形.

故答案为：BO=DO.

12.解：若使办反沙变为矩形，可添加的条件是：

AC=BD-,（对角线相等的平行四边形是矩形），NABX90。等（有一个角是直角的平行

四边形是矩形），

故答案为：任意写出一个正确答案即可，如：AC=BD或NABC=90°.

13.解：添加的条件是47=做，

理由是：劭，四边形483是平行四边形，

..•平行四边形①是矩形，

故答案为：答案不唯一.

14.解：可添加4a改

在平行四边形中，

•：AC=BD,

，四边形力民办是矢巨形，

故答案为：劭（答案不唯一）.

15.解:可添加4河皿

•••四边形4aQ的对角线互相平分，

四边形加3是平行四边形，

•：AC=BD,

，四边形483是矩形，

故答案为：劭（答案不唯一）.

16.解：添加条件：AC=BD-,理由如下：

•••四边形483的对角线AC.能互相平分，

四边形4民加是平行四边形,

又.:AC=BD,

，四边形483是次巨形；

故答案为：AC=BD.

17.解：①先测量两组对边是否相等，然后测量两条对角线是否相等；理由：两组对边分别

相等的四边形是平行四边形，可以判定是否是矩形，故此选项正确；

②根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形，可知量出对角线的交点到四个顶点的距

离，看是否相等，可判断是否是矩形，故此选项正确；

③量出一组邻的长a、。以及和这两边组成三角形的那条对角线的长c,计算是否有

=c2.可以判断是否是直角，但不能判断是否是矩形；故此选项错误；

④量出两条对角线长，看是否相等不能判定是矩形，必须两条对角线长相等气且互相平

分才是矩形；故此选项错误；

综上所述：用一刻度尺检验一个四边形是否为矩形，可行的方法有①②.

故答案为：①②.

18.解：54a90°,且84=6,4=8,

BC=22=

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