2022届甘肃省兰州市高三诊断考试数学（文科）试题及标准答案

2022年兰州市高三诊断考试（一诊）

数学（文科）

注意事项:

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题

纸上.

2.本试卷满分150分，考试用时120分钟.答题全部在答题低上完成，试卷上答题无

效.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.设i为虚数单位，若复数(1+i)(l+ai)是纯虚数，则实数a=

A.-1B.0C.1D.2

2.已知集合M={y\y=sinx,x6R},Af={xI%2—%—2<0},则MCN=

A.(-1,1]B.(-1,2)C.(-1,1)D.(-1,1)

3.已知|a|=3,\b\=2,a与b的夹角为g,则\2a—3b\=

A.6B.3V6C.3V6-3后D.3企

4.因/_2x+y2-3=o的圆心到直线y=x的距离是

A.V2B.-C.1D.—

22

5.已知一个半径为4的扇形圆心角为0(0<0<2兀)，面积为2TT,若tan(0+@)=3,

则tan@=

A.0B.-C.2D.--

22

6.已知f(x)是奇函数，当％>0时，/(x)=-log2(ax),若/(-4)=3,贝！ja=

13

A.-B.-C.2D.1

322

7.2022年2月4日第24届冬季奥林匹克运动会在北京盛大开幕，中国冬奥健儿在赛场上摘

金夺银，在国内掀起一波冬奥热的同时，带动了奥运会周边产品的热销，其中奥运吉祥物冰墩墩

盲盒倍受欢迎，已知冰墩墩盲盒共有7个，6个是基础款，1个是隐藏款，随机购买两个，买到

隐藏款的概率为

A.-B.-C.-D.-

3775

8.已知I、山、n为空间中的三条直线，a为平面.现有以下三个命题：①若I、山、n

两两相交，贝！I2、m.n共面；②若nca,l//a,贝！I2〃九；③若naa,lLa,贝!H1几其中

的真命题是

A.①②③B.①③C.①②D.③

9.已知f(%)=3sin(3%+看)(3>0)在［a,6］上单调，且值域为,b-a=TT,则

A.1B.—C.-D.-

424

10.如图，网格上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，若此多面体

的所有顶点均可以放置在一个正方体的各面内，则此正方体的对角线长为

A.2V2B.4V3C.2V6D.2V3

11.已知定义在R上的奇函数/(%)满足/(4-%)=/(x).当0WxW2时，/(%)=

3X+a,则f(2021)+/(2022)=

A.7B.10C.-10D.-12

2—

12.已知椭圆C：^+^=1(a>V2)与双曲线C2在公共的焦点&、F2,A为曲线Q、

C2在第一象限的交点，且△人居尸2的面积为2,若椭圆G的离心率为elt双曲线C2的离心

率为e2,则看+看=

1-4

A.-B.2C.1D.-

23

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若实数％、y满足

%4-y—5<0,

2%-y-5<0,则z=2x-y的最大值是

x>-2,

14.为了践行绿色发展理念，近年米我国一直在大力推广使用清洁能源.2020年9月我国

提出了“努力争取2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和”的新目标.下图是2016至

到y关于年份序号%的回归直线方程：y=0.0132%+0.179,根据回归方程可预测2022年我

国的清洁能源消费占能源消费问题的比重为%.

20i«*?0294>SaAAACJI4A£*ntt.a

15.在zkABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，若(2b-c)cos?l-acosC=0,

荏在元方向上的投影是|正|的l^ABC的面积为36，则

a=・

16.函数f（x）=F2''：°°；/“有三个零点％1，%2，%3，且％1<%2<X3，则

1一%—4%—L,X<U,

%i+%2+%3的取值范围是•

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第7-21题为必考题，

每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（12分）在（1）J=i（2）a是由和a的等比中项，这两个条件中任选一个，补

Sq324

充在下面问题中，并解答.

问题：已知公差d不为0的等差数列的前n项和为Sn,a3=6.

（1）,求数列｛即｝的通项公式；

an

（2）若数列bn=2,c„=an+bn,求数列｛小｝的前n项和Tn.

18.（12分）自“双减”政策颁布实施以来，为了研究中小学各学科作业用时的平衡问题,

某市教科研部门制定了该市各年级每个学科日均作业时间的判断标准.下表是初中八年级A学科

的判断标准.

U均作业时间

[0,4)[4,8)[8,12)[12,16)不低于16分钟

（分仲）

判断标准过少较少适中较多过多

之后教科研部门又随机抽取该市30所初中学校八年级A学科的作业时间作为样本，得到

A学科日均作业时间的频数分布表见下表.

日均作业时间（分钟）[4,8)[8,12)(12.16)[16,20)[20,24]

学校数2310105

（1）请将同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，估计该市初中八年级学生完成A学科

作业的日平均时间（结果精确到0.1）；

（2）针对初期调查所反映的情况，该市进行了A学科教师全员培训，指导教师对作业设计进

行优化，之后教科研部门又随机抽取30所初中学校进行了调查，获得了下表数据.

日均作业时间

(4.8)[8J2)[12,16)[16,20)(20,24]

（分钟）

学校数510852

若A学科日均作业时间不低于12分钟，称为“作业超量”，填写列联表，判断是否有

99%的把握认为作业是否超量与培训有关.

附.长2=n(ad-bc)2

P(KiNk)0.0500.0100.001

HJ'-(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

k3.8416.63510.828

列联我

作业未拉出作业超出

未培训

培*1

19.（12分）已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，点E为棱PC上一点（与

P、C不重合），点M、N分别在棱PD、PB上，平面EMN//平面ABCD.

（1）求证：BD//平面AMN；

⑵若E为PC中点，PC=BC=BD=2,ZPBC=-,PCLBD,求点A到平面EBD的

4

距离.

20.(12分)已知函数/(%)=ex-ax2-sinx,e为自然对数的底数.

(1)求/(%)在x=0处的切线方程；

(2)当x20时，，/(%)>1-x-sinx,求实数a的最大伯.

21.(12分)已知抛物线E-.y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F且倾斜角为f的直线

交抛物线于M、N两点，|MN|=8.

(1)求抛物线E的方程；

(2)在抛物线E上任取与原点不重合的点4过4作抛物线E的切线交x轴于点B,

点A在直线x=-l上的射影为点C,试判断四边形ACBF的形状，并说明理由.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23务中任选一题作答.如果多做，则按所做的

第一题计分.

【选修4-4:坐标系与参数方程】

22.(10分)平面直角坐标系下，曲线G的参数方程为-1'(t为参数)，曲

线C2的参数方程为$二；常’(a为参数).以坐标原点为极点，%轴非负半轴为极轴建立

极坐标系.

(1)求曲线GG的极坐标方程；

(2)过极点的直线I与曲线Q交于A.B两点，与曲线C2交于M、N两点，求

\AB\-\MN\的最小值.

【选修4-5:不等式选讲】

23.(10分)已知函数/(x)=|2x—t|+2|x+t|.

(1)当t=l时，解关于%的不等式/(x)>6;

(2)当t>0时，/(%)的最小值为6,且正数a.b满足a+b=t,求三+：的

abab

最小值.

2022年兰州市诊断理科数学参考答案

l.C2.A3.A4.D5.B6.B7.C8.C9.B10.A11,B12.D

12.【解析】可知①y=2sinxcosx=sin2x6—1,1,故其必不存在口性质

②y二|公一%-2|60,+oo,故其存在D性质

③y=e—*+z=e24We4<l,又y>0,故其必不存在D性质

Iny1—1nY

@y=---，y'=——；—,可知当xW(Q,e)时，_/>0，函数为增函数，当xw(e,+oo)时，yf<0,

XX

函数为减函数，此函数值域为［-00-］,故其存在D性质

13.14.27.1415.V1316.2

8

16.【解析】设切点坐标为(多,%),则有为=|0(所+6)/%=%(%+1)则ln(Xo+b)=Z(x()+l)①

旷=」_，则有〃=_!_即x°+b=L②，将②带入①得ln；=Z(：-b+1),化简得：

x+bxQ+bkkk

6=色"1+1，令”=匕呼二1=0得4=1,时£>0,力=见竺1+］单调递增，*>1时"<0,

kk-k

b=空±1+1单调递减，那么当火=1时b取得圾大值是2.

k

17.【解析】若以①为条件，邑=3=2=3=2.,故“=io

S99a59a$363

d-9；-：=2,q=%-2d=2

敌a”=2+(〃-1)x2=2〃...........6分

q+2d=6-i=2

若以②为条件,可得方程组解得

(4+d)2=a,-(a,+3d)d=2

故a”=2+(〃-1)x2=2n6分

本题还有其它解法，请酌情给分.

•••C"=a“+4=2〃+4"

，数列cn的前/项和7；=述上网+丝二£2=〃(〃+1)+W(4"-1).........12分

21—43

18.【解析】《1)由于样本平均数约为卜=6X2+I0X3+14X_10+10X1°+22X)一157(分钟)

30

故可以估计该市初中八年级学生完成此学科作业的日平均时间为15.7分钟.

.....................4分

(2)①设事件A为:“任取该市一所初中学校八年级该学科作业，其作业超量”,则P(/)=10+10+工=2

306

....................7分

②由题意可知，X〜8。，3,随机变量X的分布列为

X0123

P哂凯吟畸嗡

£(%)=3X6=2.....................“分

18.【解析】⑴证明：•.•面〃面48CD面n面08。=M/V而面依。=8。

MN//BD

•••BD，面AMNMNClfiiAMN

：.面4AW.....................6分

(2)解法一：连接/C,交BD千O点、

,/底面ABCD为菱形BC=BD=2：.AC=2

VPC-BC/LPBC=-：./.PCB=-APC1BC

42

VPC±BDBCC\BD=B；.PC上面ABCD

如图，建立空间直角坐标系O—平

则40,—G,0),8(1,0,0),C(0,6,0),D(-1,0,0),P(0,6,2)

,:E为PC中点面EMN〃面ABCD

:.M、N也是/>D、P8的中点

故M(一］率1),

可知加=(0,0,1)是面EMN的法向量

设”=(%,%,%)是面4MN的法向量，则

n-MN=x0=0

77;1,3石八，取〃=(0,2,一3两

〃ZN=/+-^-%+%=0

•.-M=甯嚼

故二面角E-MN-A的正弦值是2叵

...................12

31

解法二：连接/C,交3。于。点

•.•底面/8C。为菱形BC=BD=2AC=2-73

'：PC=BC4PBe：.^PCB=-APC±BC

42

•:PC工BDBCCBD=B.*.PCJ_面ZBC。

Z.PCD=-:."CDAPCBPD=PB

2

:、XPAD号丛PAB

•；E为PC中点面EMN//面

:.M、N也是PD、P8的中点AAM=AN

取W的中点E,连接力户、EF,则4FJ_MN,EF1MN,故乙1五E是

二面角E—MN—4的平面角

'：AF=J+(2"一争2二当

CE2阴

：.sin/AFE=sinZ.FAC

~AF31

故二面角E-MN-A的正弦值是独］

...................12分

31

J229J3

20.【解析】（1）因为椭圆蜂+泊v叱〉。）与直线―丁相切于点/

所以N（一a,O）且=26,

又因为直线MTV与x轴垂直时|MN|=3,所以牛=3,解得a=2,b=亚,

22

所以椭圆C的方程为£+5=1...................5分

43

9=1整理得:

(2)设过右焦点用(1,0)的直线方程为x=@+l,将其代入椭圆C的方程：-

(3*+4)/+6@-9=0

-6k

乂+为=3炉+4

若设河X，必，Nx,y,则有

22必力=品

又因为&W的方程为歹="l("+2)，令x=4可得力=色7

冷+2玉+2

6%

同理4%的方程为？=器(、+2)令』可得”

X2+2

6yl.6%=36"%_36即2

所以jy”=

2K

玉+2X2+2(例+3)(如2+3)«K为+3%(+%)+9

-6k

y'y2=31^+4

将_9代入上式整理可得加”=-9,所以|调为|=9

"2=—

又因为九附=；(|%|+|%|)X(2+4忌x2>/S丽|x6=18,当且仅当|词二网:3时"

”成立

4Z

所以AV5。面积的最小值为18...........12分

21.【解析】(1)f(x)=ex-2ax-cosx

故/'(0)=0又；八0)=1

.•./(》)在》=0处的切线方程为7=1...........3分

(2)当xNO时，/(x)>l-x-sinx<»ex-ax2+x-l>0.

当x=0时，ex-ax2+x-l=0

/+'一］e*+x-l

当x>0时，a<；令g(x)=

x~x2

可知g'(x)=(D，_2),且当x>0时，e'-120,

X

当0<x<2时，g'(x)<0,g(x)为减函数，当x>2时，g'(x)>0,g(x)为增函数

22

e4.1p4.7

所以g(x)min=g(2)=F—，所以a«1一.....7分

44

由⑴可知f(x)-ex-2ax-cosx,/'(0)=0

令h(x)=e'-lax-cosx,贝ijh'(x)=e，—2a+sin%,

当时，当y=e、和y=sinx都是单调递增函数

所以〃(x)=e、-2a+sinx单调递增

tr

-7T--p2_[

①当〃(一,—)2-2a—120,即aW------时，h!(x)>0恒成立

22

所以f'GO在(一1,/)单调递增，/'(o)=o

当x€(—5,(})时，/,(x)<0,所以在xe(q，o)，/(X)单调递减

当xe(o,、)时，/'(x)>0,所以在xe(o,/),/(x)单调递增

所以/(x)在x=0处取极小值.

£

P2—]1

②当收-R=e2-2q-I<0,BU-——时，

222

由于〃(0)=1-2。>0,又因为〃'(x)=ex-2a+sinx单调递增，所以存在与，使"(见)=0,

且xdxo,9时，/z'(x)>0,则八w)=A(x)在仪/总上单调递增，/'(0)=0

当xe(x0,0)时，/,(x)<0,所以在xe(x0,0)上，/(x)单调递减，

当xw(0,5)时，/'(x)>0,所以在女卜弓)上，/(x)单调递增，

所以/(x)在x=0处取极小值.12分

x=4/~—1

22.【解析】(1)法一：因为平面直角坐标系下，曲线G的参数方程为，，(■数)，

y=4r

所以得曲线G的普通方程为：/=4(x+l),又因为在以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标

系中极点。即为抛物线的焦点，那么设抛物线上一点极坐标?(〃,6),根据抛物线的定义得0=2+/cos6

所以得曲线G的极坐标方程为：p=---

1-C0S。

x=cosa,

又因为曲线c,的参数方程为<.所以曲线a为以极点为圆心1为半径的圆，

y=sin%

所以曲线G的极坐标方程为p=I...........5分

(2)过极点直线/的极坐标方程为。=夕或。=万+3(夕W0/),

.22

代入曲线q的极坐标方程Q=--—,得彳、8两点的极坐标为力(-------,0)、

1-COS。I-COSW

2224

-------,<P+乃)，则\AB\=--------+--------=,

1+cosw1-coscp1+cos。sin~<p

又因为|脑V|=2,所以“8|一|脑叶=端7-224—2=2,当且仅当sins=l时"=”成立

所以