2020-2021学年新题速递高二数学21 导数及其应用（单选题）12月理（解析版）

专题21导数及其应用(单选题)

1.曲线y一在点处的切线方程为

x—2

A.y--2x+\B.y=-3x+2

C.y=2x-3D.y=x-2

【试题来源】黑龙江省大庆实验中学2020-2021学年高三上学期第一次月考(文)

【答案】A

Y2

【解析】y=-^的导数为歹=一;一

'x-2(x-2)-

2

可得曲线y=——在点(1,-1)处的切线斜率为k=y'\x=i=-2,

x-2

所以曲线丁=上彳在点(1,一1)处的切线方程为y+i=-2(*-1),即y=-2尤+1,故选A.

2.函数/(x)=(x+l)2的导函数为

A.f\x)=x+\B.f\x)=2x+\

C./'(x)=x+2D./'(x)=2x+2

【试题来源】广东省东莞市2019-2020学年高二(下)期末(理)

【答案】D

【解析】•,•/(X)=(X+1)2=X2+2X+1,/.f\x)=2x+2,故选D.

3.已知函数/(x)=ln(公-1)的导函数是/彳x),且/'(2)=2,则实数。的值为

12

A.—B.-

23

3

C.-D.1

4

【试题来源】福建省莆田第七中学2021届高三上学期第一次月考

【答案】B

【解析】求导得尸(x)=>—,则r(2)=J—=2,解得a=:故选B.

ax—12。—13

4.下列导数计算正确的是

\，1

B-(Z1lOg3%)

xln3

.f

D.(x+cosx)=1+sinx

【试题来源】西藏山南第二高级中学2021届高三上学期第二次月考(文)

【答案】B

【分析】对A,B,C,D四个选项依次进行求导，判断即可得出结果.

【解析】A项：二，故A错；B项：(log3X)'=，；

故B正确;

UJx2V7xln3

C项：(尤e")=ex+xex>故C错；D项：(x+cosx)=1—sinx故D错.故选B.

5.已知函数/(x)=sin2x+cos2x,那么=

A.-2B.2

C.—D.--

22

【试题来源】重庆市西南大学附属中学校2021届高三上学期第三次月考

【答案】A

【解析】由题意，/'(x)=2cos2x-2sin2x,

所以/(9=2cos%-2sin%=-2.故选A.

6.若f(x)=&则尸⑴等于

1

A.0B.一一

3

1

C.3D.-

3

【试题来源】江苏省无锡市太湖高级中学2019-2020学年高二下学期期中

【答案】D

【分析】求出函数的导函数，将1代入即可得结果.

【解析】因为=则/'(x)=>!■]一--，所以/'(1)=Q1,故选D.

33

7.已知函数Ax)的导函数是f(x),且满足/(幻=24'(1)+此,，则/(1)=

X

A.-cB.2

C.-2D.e

【试题来源】陕西省延安市黄陵中学本部2020-2021学年高三上学期期中(文)

【答案】B

【解析］因为/(x)=2Wl)+lnL所以r(x)=2r(l)+：{J=2/'⑴—{

X—

X

所以/'⑴=2,⑴-1,/'⑴=1,所以〃x)=2x+lng/⑴=2+lnl=2.故选B.

8.函数y=2x(lnx+l)在x=l处的切线方程为

A.y=4x+2B.y=2x-4

C.y=4x-2D,y=2x+4

【试题来源】江苏省苏州市八校联盟2020-2021学年高三上学期10月第一次适应性检测

【答案】C

【解析】由已知y'=2(lnx+l)+2x-」=21nx+4,则丁'|1=4,

x

又X=1时，y=2,则切线方程为y=4x—2.故选c.

9.如图是函数y=/(x)的导函数y=/'(x)的图象，则函数y=/(x)的极小值点的个数

为

【试题来源】内蒙古呼和浩特市2021届高三质量普查调研考试(文)

【答案】B

【解析】由图象，设/'(x)与X轴的两个交点横坐标分别为。、匕其中a<8,

知在(-8,a),("+8)上/'(x)>0,所以此时函数/(x)在(-8,a),3,+00)上单调递增，

在(。,力上,r(x)<0,此时/(x)在(a,》)上单调递减，

所以x=a时，函数取得极大值，x=b时，函数取得极小值.

则函数y=/(x)的极小值点的个数为1.故选B.

10.已知函数〃力=廿—a*在区间[1,2]上单调递增，则。的取值范围是

A.(-8,3]B.(—8,8]

C.[3,+oo)D.[8,+oo)

【试题来源】福建省厦门市湖滨中学2021届高三10月月考

【答案】A

【解析】/'(x)=任+2x-a)/20在区间[1,2]上恒成立，则f+2x一a20在区间[1，2]

上恒成立，即aK(f+2x).=/+2=3,故选A.

\/min

11.设函数/(力=%卜'+"')的导函数为f(x),若f(x)是奇函数，则曲线y=/(x)

在点(1J(D)处切线的斜率为

A.—2eB.—

e

C.2D.2e

【试题来源】湖南三湘名校教育联盟2020届高三第二次大联考(文)

【答案】D

【解析】依题意f(x)=/+“"'+x(e*—ae-)由于f(x)是奇函数，

所以f(O)=l+a=O,解得〃=一1，所以/(x)="—x(e'+ef),

所以/(l)=e-』+e+』=2e.故选D.

12.已知函数/(x)=(a-l)x2-asinx是奇函数，则曲线y=/(x)在点(0,0)处的切线斜

率为

A.2B.-2

C.1D.-1

【试题来源】江苏省无锡市2020-2021学年高三上学期期中

【答案】D

【解析】由题意函数为奇函数可知

f(-x)-(a-l)x2+asinx=-f(x)=-(a-l)x2+asinx

所以a—1=0，所以a=l,则函数可化为/(%)=-sinx,

则/'(x)=_cosx,//(0)=-l,

则由导数得几何意义可知曲线y=/(x)在点(o,0)处的切线斜率为-1.故选D.

13.由曲线)，=」一与直线y=及y=3所围成的封闭图形的面积为

x-1

A.2-in3B.2+ln3

C.4-ln3D.4+In3

【试题来源】“皖赣联考”2021届高三第一学期第三次考试(理)

【答案】C

1/

y=----（4.封闭图形的面积5=£(3-

由<x-l=>A]§,3（4-2）X（3-1）

y=3

=[3^-ln(x-l)]||+2=6-3x--ln|--l|+2=4-ln3.故选C.

14.已知函数/(x)的导函数为/'(x),且对任意xeR，/'(X)—/(x)<0,〃2)=e2,

若则f的取值范围为

A.(0,2)B.(2,-HX))

C.(0,e2)D.(e2,+oo)

【试题来源】海南省2021届高三年级第一次模拟考试

【答案】B

【解析】构造函数8(0=少—1,贝Ug(2)=幺3一1=0.

ee

因为=''(K')<0.所以函数g(。在R上单调递减，

ez

所以/(r)<e'=g«)<g(2),所以r>2.故选B.

15.我们知道，函数y=/(x)在点/处的导数

+，由极限的意义可知，当Ac充分小时，

'7Ar->oArAX

~~f'(xo)"即Ax,从而%+Ax)"/(%)+/'(Xo)Ar,这是一个简

单的近似计算公式，它表明可以根据给定点的函数值和到数值求函数的增量或函数值的近似

771

值，我们可以用它计算cos大的近似值为

40

(V3«1.732.K«3.14)

A.0.840B.0.853

C.0.866D.0.879

【试题来源】四川省康德2020-2021高三11月

【答案】B

【解析】设/(x)=cosx,所以/'(x)=-sinx,+Ax)«/(^)+/,(jq))Ar,

取玉广g,71冗7C7万

Ax=---贝I—十——所以

o120612040

=——-土—21=0.866—0.013=0.853，故选B.

22402240

16.若曲线丫=必2在x=a处的切线与直线2x-y-l=0平行，则好

A.-1B.1

C.—1或1D.一，或1

2

【试题来源】辽宁省丹东市2021届高三(10月份)段考

【答案】A

【解析】y'=2ax,于是切线的斜率％=?|,“=2/,•••切线与直线2x-y-l=0平行,

2〃=2,。=±1,。=1时，y=x2切点是(1,1),切线的斜率％=2,

故切线方程是y—l=2(x—1),即2次一丁一1=0和直线2%-，-1=0重合,

故。=一1,故选A.

17.函数/(x)=e'-2x+5的图象在点(0,/(0))处的切线方程是

A.x+y-6=0B.x-y-6=0

C.x+y+6=0D.x-y+6=0

【试题来源】河南省部分重点高中2020-2021学年高三阶段性考试(四)(文)

【答案】A

【解析】由题意可得/'(x)=ev-2,则r(o)=l—2=—1.

因为/(x)=e，—2x+5,所以/(0)=1+5=6,

则所求切线方程是y—6=-x,即x+y—6=0.故选A.

18.函数./Xx)=Inx—x的极大值点为

A.1B.-1

C.eD.1-e

【试题来源】江苏省镇江市丹阳市吕叔湘中学2019-202()学年高二下学期期中

【答案】A

11_y-

【解析】因为/(x)=lnx-x,(x>0),所以尸(%)=一一1=----,

当x>l时，r(x)<0,函数/(x)单调递减；当0<x<l时，/(力>0,函数单

调递增；所以在％=1处取得极大值，即函数f(x)=lnx-x的极大值点为1,故选A.

19.某数学兴趣小组对形如/(幻=1+办2+乐+c的某三次函数的性质进行研究，得出

如下四个结论，其中有且只有一个是错误的，则错误的结论一定是

A.函数了。)的图象过点(2,1)B.函数“X)在x=0处有极值

C.函数Ax)的单调递减区间为[0,2]D.函数f(x)的图象关于点(1,0)对称

【试题来源】江苏省无锡市2020-2021学年高三上学期期中

【答案】D

【解析】题意对于A选项，/(2)=8+4a+»+c=l；

对于8选项，—3x2+2ax+b,—b—0；

对于C选项，由递减区间可得/"(0)=Z?=0,/'(2)=12+4a+Z?=0；

因为有且仅有一个选项错误，所以B、C正确，所以“=一3，b=。

对于。选项，函数/(x)的图象关于点(1,0)对称，则有〃l+x)+〃l—x)=0,

可赋值得到：当x=0时，"(1)=0,当户1时，/(2)+/(0)=0,即可得到

8+4a+2Z?+c+c=0解得c=2与a+h+c=0解得c=3,显然。有两个取值，故D错误;

所以A正确，解得c=5,所以f(x)=x3-3x2+5,所以/(2)=1,

f(X)=3X2-6X=3X(X-2),所以函数在(-8,0)和(2,例)上单调递增，在(0,2)上单调递

减，在x=0处取得极大值，故ABC均正确；故选D.

20.函数/(x)=12x—V在区间13川上的最小值是

A.-16B.-18

C.11D.-9

【试题来源】江苏省无锡市太湖高级中学2019-2020学年高二下学期期中

【答案】A

【解析】因为/(x)=12x—V,所以/'(x)=12-3/,

由/'(x)>0得一2<x<2,由/'(x)<0得x>2或*<一2：

又一3«尤<1,所以当一3«x<—2时，f\x)<0,函数/(x)=12x—V单调递减；

当一时，/(为>0,函数/(幻=12》一/单调递增；

因此/(x)min=/(-2)=-24+8=-16.故选A.

【名师点睛】求函数/(功在区间可上的最值的方法：⑴若函数在区间［a,句上单调递

增或递减，则/(a)与/S)一个为最大值，另一个为最小值；(2)若函数在区间［a,可内有

极值，则要先求出函数在［a,0上的极值，再与/3)，/S)比较，最大的为最大值，最小

的为最小值；(3)函数/(力在区间(。力)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或

最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.

21.若加>0,〃〉0,且函数/(x)=8V一相/一2总+3在x=l处有极值，则加〃的最

大值等于

A.16B.25

C.36D.49

【试题来源】常州市华罗庚中学2020-2021学年高三上学期10月一轮复习阶段性检测

【答案】C

【解析】因为/(%)=8/一如2_2以+3,所以/'(无)=24——2如一2九，

又函数/(x)=8d-mx2—2/u+3在x=1处有极值，

所以/'(1)=24-2加-2〃=。，即〃?+〃=12,因为机>0,〃>0,

/\2

所以加〃<=36,当且仅当m=〃=6时，等号成立.故选C.

I2

22.已知函数/(幻的定义域为凡其导函数为了'(X),/'(x)的部分图象如图所示，则

A./（A）在区间（0,1）上单调递减B./（x）的一个增区间为（一1,1）

C./（幻的一个极大值为了（—I）D./1）的最大值为了⑴

【试题来源】江西省赣州市十五县（市）十六校2021届高三上学期期中联考（文）

【答案】B

【解析】由f（x）的部分图象可得：在（一U）上，r（x）＞0,所以/（X）单调递增，所以A

不正确，B正确；山/'（-1）=0,导函数在x=-l左右两侧的函数值异号，

所以/（一1）是/（X）的一个极小值，所以C不正确，

同理可知f（D是7Xx）的一个极大值，并不一定是最大值，D不正确.故选B.

23.已知函数/（X）与/‘（X）的图象如图所示，则函数g（x）=4。的递减区间为

4x

A.（04）

D.（0,1）,（4,+00）

【试题来源】陕西省西安市西安第二十五中学2019-2020学年高三上学期11月大练习（文）

【答案】D

［解析］g'（x）=/（”），/（“）,由图象:X€（O,1）和xw（4,+8）时，/,（x）-/（x）＜0,

即g'（x）＜0,故g（x）在（0,1）,（4,+8）上递减,故选D.

24.函数/(外=0?一%2+3+4的图象如图所示，则有

【试题来源】北京师范大学第二附属中学2021届高三10月月考

【答案】C

【解析】因为/(无)=G?-f+cx+d,所以/'(%)=3以2-2x+c,

由图象可知/(x)先减后增再减，所以/'(x)先为负，再为正，最后乂为负，所以"0，

因为4当为/(X)的两个极值点，且中2＜0,所以三＜0,所以。＞0,

因为/(0)＞0,所以。＞0,故选C.

【名师点睛】分析函数/(x)与其导函数/'(x)的关系时需注意：

(1)/(%)的单调性和/'(X)取值的正负相对应；

(2)/(尤)的极值点一定是/'(尤)的零点，但尸(%)的零点却不一定是〃尤)的极值点.

25.已知函数“X)是定义域为R的偶函数，且当0时，f(x)=xe\则曲线y=/(x)

在点(-1"(-1))处的切线方程为

A.y=2ex—eB.y=-2ex—e

C.y—2ex+eD.y--2ex+e

【试题来源】河南省商丘市虞城高级中学2020~2021学年高三11月质量检测(理)

【答案】B

【解析】法一：当xNO时,r(x)=(x+l)ev,则/'⑴=2e,/(l)=e,

所以曲线y=〃x)在点。，/⑴)处的切线方程为y-e^2e(x-l),即y=2ex-e,

根据对称性.可得曲线＞=/(%)在点(TJ(—1))处的切线方程为y=-2"-e.

法二：当X<0时，T>0,所以/（一力=一口：又"X）是偶函数，

所以/（力=一加7=-2,所以r（x）==l,所以r（一i）=_2e,又〃-l）=e,

ee

所以曲线y=/（x）在点（―L/（—1））处的切线方程为〉-e=-2e（x+l）,即

y=-2ex-e.故选B.

【名师点睛】分别从偶函数条件或已知区间内对称点的切线方程入手，求（-1,/（-1））的切

线方程.（1）方法一：首先求已知区间内对称点的切线方程，根据偶函数对称性求目标点处

的切线方程.（2）方法二：首先求目标点所在区间的函数解析式，再求目标点处的切线方程.

26.设曲线吆在f处的切线与直线丁=履+1平行，则实数上等

sinx1313〃

于

2

A.—1B.一

3

C.-2D.2

【试题来源】内蒙古呼和浩特市2021届高三质量普查调研考试（文）

【答案】C

【解析】•.•切线与直线y="+l平行,斜率为左,

…、-sin2x-（l+cosx）cosx-1-cosx

乂/（x）=---------J-----------=——-----

sin-xsinx

所以切线斜率女=/'（§=一2,所以丁=去+1的斜率为-2,即2=—2.故选C.

【名师点睛】该题主要考查导数的计算，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，解题思路

如下：（1）对函数求导；（2）将自变量代入求得相应点处的导数值，即曲线在该点处的切线

斜率；（3）利用直线平行斜率相等，列出等量关系求得结果.

27.直线y=2x+机与函数〃x）=旄*-21nx+3的图象相切于点4（2%）,则

尤（）+Inx0=

A.2B.In2

2

C.eD.-In2

【试题来源】百师联盟2021届高三一轮复习联考（二）全国卷（理）

【答案】B

【解析】由己知，/>0且/'（%）=2.

因为r（x）=e、+xex—2,所以涉+工（/。一工=2,即（1+/）淖一祖，

x%%0

,2、22

所以（1+%）e*。——=0,所以e'°-一=0,即。"=一，

IX。1%不

两边同时取自然对数得%=In2—In整理的无o+ln%=ln2,故选B.

【名师点睛】曲线在某点处的切线与过某点的切线是不一样的，要注意区别.由于点

A（为%）是公切点，所以也就等价于都是在某点处的切线-

39

28.若函数y=x3H—R+m在［-2,1］上的最大值为一，则加等于

22

A.0B.1

5

C.2D.-

2

【试题来源】湖北省荆州市滩桥高级中学2019-2020学年高二下学期期末（文）

【答案】C

【解析】y-3x2+3x=3x（x+l）.易知，当一1cxe0时，y'<0,当一2<x<-l或0<x<l

时，y>0,所以函数），=/+巳9+机在（-2,-1）,（0,1）上单调递增，在（一1,0）上单调递

9

角

军

减，又当x=-l时，y=，”+—,当尤=1时，>=/〃+—,所以最大值为机+一2-

-222

得初=2.故选C.

29.函数/（力的导函数为/'（力，若己知广（力的图象如图，则下列说法正确的是

A.一定为偶函数B./（%）在（0,+力）单调递增

C./（X）一定有最小值D.不等式〃》）<0一定有解

【试题来源】百师联盟2021届高三一轮复习联考（二）全国卷（文）

【答案】C

121八1八

一x—,x<0XH—y,X<0

【解析】A.如函数为/（x）=<；X，则/'(x)=<:符合题意,

—x2-Inx,x>0x—,x>0

12X

但“X）不是偶函数，故错误；

B.由/'（X）的图象，得/U）在（一8,-1）递减，（一L0）递增；在（0,1）递减，在（1,+8）递

增，故错误；

C.由/1）=/'（1）=0,所以/（X）存在极小值1）和/⑴，无论）⑼是否存在，

均可得出/（力一定有最小值，故正确；

D.最小值不一定为负数，故错误；故选C.

30.函数y=re。0sx（其中e为自然对数的底数）的图象可能是

【试题来源】浙江省金华市东阳中学2020-2021学年高三上学期期中

【答案】B

【解析】函数/(X)的定义域为R，又/(_力=_型冷(旬=型08s*=_〃力,

所以/(X)是奇函数，排除AD,当x>0时,/,(x)=eC0SX(l-xsinx),

令g(x)=l—xsinx=0,即sinx=」，在同一坐标系中，作出函数丁=$皿乂丫=」的图

XX

象，如图所示：

由图象知g(x)在(0,+a)上有多个不等零点，所以/(x)在(0,+8)上有多个极值点，

所以“X)在(0,+8)上不单调，故选B.

31.设函数f(x)在R上存在导数/’(无)，对于任意的实数》,有，(幻+/(—幻=2/，当

xw(—8,0)时，f'(x)+3<2x,若/(加+2)+/(m)42加2一2m—2,则实数加的取值

范围是

A.m>lB.m£]

C.m>-1D.m<-\

【试题来源】山西省大同市大同一中2021届高三上学期期中质量检测(理)

【答案】C

【分析】构造g(x)=/(x)-f+3x,由g(x)+g(r)=0,可得g(x)为奇函数,利用导

数可知g(x)在火匕单调递减，结合函数的单调性解不等式即可.

【解析】Q/'(x)+3«2x,.•./'(x)+3—2x<0,令g(x)=/(x)—f+3x,

且g'(x)=f\x)-2x+3,则g(x)在xe(-oo,0)上单调递减.又Qf(x)+f(-x)=2x2,

/.g(x)+g(-x)=/(x)-x2+3x+/(-x)-x2-3x=y(x)+f(-x)—2x2-0

・•.g(x)为奇函数，g(x)在X£(0,+oo)上单调递减.

Qf(m+2)+f(m)<2m2-2m-2,且/(M+=2m2

代入得f(m+2)+2m2-f(-m)<2m2—2m-2,

转化为/(机+2)-(根+2)2+3(根+2)</(-zn)-m2+3(-加)，即g(m+2)<g(-m)

由于g(x)在R上递减，则加+22—加，解得〃zN—1故选C.

【名师点睛】利用进行抽象函数构造，常见类型：

(1)利用/(X)与X的构造，常用构造形式有：出现“+”用犷(X),出现“一“用」工»；

X

(2)利用f(x)与"的构造，常用构造形式有：出现f(x)+f'(x),构造函数尸(x)=e"(x)；

出现/(x)—/'(x)，构造函数/*)=绰.

e

32.f(x)=21nx-x2,则F(x)>0的解集为

A.(0,1)B.(-oo,-1)U(0,1)

C.(-1,0)U(1,+oo)D.(1,+oo)

【试题来源】北京交通大学附属中学东校区2019-2020学年高二第二学期期末测试

【答案】A

【解析】因为f(x)=21nx-x2,所以函数的定义域为(0,+oo),

22

贝ijf(x)=2-2x=4-2x,由『(X)=2-2x_2_2x>0,

XXXX

得x2-l<0,即O<X<1,即不等式的解集为(0,1),故选A.

33.已知/(x)=sinx+cosx,0+1(x)是f(x)的导函数，即人(力=<'(力，

力(x)=E(x),…,<+G)=//(x)，neN",则以„9(x)=

A.sinx4-cosxB.sinx-cosx

C.—sinx+cosxD.-sinx—cosx

【试题来源】广东省广州市华南师范大学附属中学2020届高三上学期9月月考(理)

【答案】D

【解析】因为<(x)=sinx+cosx,所以力(x)=工'(x)=cosx-sinx,

f3(x)=f2*(^)=-sinx-cosx,f4(x)=f3(x)=-cosx+sinx,力(x)=f4(x)=sinx+cosx

……可知＜(x)的解析式周期为4,

因为2019=504x4+3，所以右oi9(x)=△(x)=-sinx—cosx,故选D.

34.若曲线y="+2x在其上一点(不，为)处的切线的斜率为%则%=

A.2B.In4

C.In2D.-In2

【试题来源】安徽省皖像名校联盟体2021届高三(上)第一次联考(文)

【答案】C

【解析】由p=产+2%得了=，+2,所以y'LM=eM+2=4,

可得看=此2.故选C.

35.函数/(x)=Inx+。在x=a处切线的方程为＞=%,则。+8=

A.-2B.0

C.1D.2

【试题来源】吉林省长春市长春外国语学校2020-2021学年高三上学期期中考试

【答案】D

【解析】f(x)=\nx+b,:.fXx)=~,：.f'(a)=-=l,\«=1,

xa

因此切点为(1,1),代入/(x)=lnx+Z?,得/⑴=lnl+A=l,."=1,

:.a+b=2,故选D.

36.若〃x)=lnx+x3,则Hm/Q+2A―/⑴=

-AY

A.1B.2

C.4D.8

【试题来源】安徽省六安市第一中学2020-2021学年高三上学期第二次月考(理)

【答案】D

【解析】由题意f'(x)=^+3x2,所以/'⑴=1+3=4,

X

所以lim川+29一加=21im&蚪幽=2八1)=8.故选D.

—AxAA-＞02ZLr

37.设函数“6=炉+(。-1)%2+方.若/(x)为奇函数，则曲线y=/(x)在点

处的切线方程为

A.y=4x-\B.y-2x-4

C.y=4x-2D,y=2x-6

【试题来源】内蒙古呼和浩特市2021届高三质量普查调研考试(理)

【答案】C

【解析】/意)定义域是R,

因为/(x)上奇函数，所以/(-%)=-%3+(«-\)x2-ax=-f(x)=-x3-(a-l)x2-ax，

即(.-1)/=0,所以。-1=0，a=\.

f(x)=x3+x,f\x)=3x2+l,/(I)=4,又/(I)=2,

所以切线方程是y-2=4(x-l),即y=4x-2,故选C.

38.若一直线与曲线和曲线/=殴(〃>0)相切于同一点尸，则。的值为

A.2eB.3

C.6D.2百

【试题来源】河南省洛阳市第一高级中学2020-2021学年高三上学期10月月考(文)

【答案】A

1丫22r

【解析】设。(内，x)，函数y=lnx的导数为y'=-,函数y=二的导数为？=—,

xaa

则函数y=lnr在冗=不处的切线方程为y-lnX]=—(^-^)),即y=—x+\nx]-1,

同理可证，函数y=三在X=再处的切线方程为y=生》_工,

aaa

2玉_1

由题意可知<2*，解得a=2e,%=&,故选A.

--=InXj-1

、a

39.随着科学技术的发展，放射性同位素技术己经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取

得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量N(单位：贝克)与时间，

（单位：天）满足函数关系2（。=62一《，其中不为时该放射性同位素的含量.已知r=15

时，该放射性同位素的瞬时变化率为一述电2,则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变

10

所需时间为

A.20天B.30天

C.45天D.60天

【试题来源】山东省潍坊市2020-2021学年高三上学期期中考试

【答案】D

【解析】由「（/）=12一（得尸’（，）=—\.4.2-min2,

因为/=15时，该放射性同位素的瞬时变化率为一逑达2,

10

即尸（15）=—驾26=一程上，解得庶=18,则尸⑺=瓜2号，

当该放射性同位素含量为4.5贝克时，即尸（。=4.5,

/--LJt

所以18・2育=4.5,即23。=：,所以一否=-2,解得［=60.故选D.

40.曲线〃x）=在点（0,/（0））处的切线方程为

x~—2

A.4x+2y+l=0B.4x-2y-1=0

C.x+2y+l=0D.x-2y-1=0

【试题来源】四川省康德2020-2021高三11月

【答案】C

ve*(V—2)—2e'xe\x2-2x-2)

【解析】f(x]=^e-求导得r（x）=

')X2-2*2—2)2U2-2)2

—0i1

所以/,(0)=：=—5,/(0)=--

所以切线方程为y+g=—；（x—0），整理得x+2y+l=0.故选c.

41.已知函数，(x)=ei+or(a,/?eR),且/(0)=1,当％>0时，/(x)>xcos(x-l)恒

成立，则a的取值范围为

A.(0,+?)B.(l-e,+oo)

C.(fe)D.(e,+oo)

【试题来源】四川省遂宁市2021届高三零诊考试(理)

【答案】B

【解析】由题意，〃0)=e"=l,解得匕=0,则/(x)=e*+av,

则当x〉0时，ev+ax>xcos(x-l),即a>cos(x-l)-上恒成立，

X

令s(x)=±，犬£(0,+00)，则(:D，

当工«0,1)时，s'(x)<0,xe(1,+oo)Hj,(x)>0,

所以s(x)在(0,1)上是减函数，在(1,+?)是增函数，5(吐血=5(1)=匕，

因为当尤=1时，cos(x-1)取得最大值1,

所以当x=l时，cosCx—l)-J取得最大值1—e,所以a>l—e.故选B.

x

I名师点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题关键是将原不等式转化为a>cos(x-l)--,

x

进而求出cos(x-l)-£的最大值，令其小于a即可.考查学生的逻辑推理能力，计算求解

x

能力，属于中档题.

42.已知函数/(x)=lnx-ar有两个零点，则实数”的取值范围为

I

A.。<—B.6/<0

e

C.a<0D.0<a<—

e

【试题来源】江西省赣州市十五县(市)十六校2021届高三上学期期中联考(文)

【答案】D

【解析】可知/(X)的定义域为(0,+“)，/'3=，-。=匕竺，

XX

当aMO时，r(x"0恒成立，/(X)单调递增，则/(X)不可能有两个零点；

当a＞0时，xe0,一时,/,(x)>0,/(x)单调递增；xe一,+OO时，r（x）＜o.

a

/（x）单调递减，则/（X）在X=一处取得极大值即最大值fIn——1,

要满足/（幻=111彳一办有两个零点，则In-—1＞0,解得0＜a＜一,

综上，0<4Z<—.故选D.

e

【名师点睛】本题考查利用导数研究函数的零点，根据零点个数求参数，一般如下步骤：

（I）求出函数的定义域，求出函数的导数；

（2）先讨论参数范围（以明显使得导数为正或负为参数界点讨论）：

（3）利用导数正负讨论函数单调性，得出极值或最值；

（4）以极值或最值列出满足条件的等式或不等式，即可求出.

43.已知函数/（x）=lnx,若函数g（x）=丘一;与函数y=/（|x|）的图象有且仅有三个

交点，则我的取值范围是

1、,11、

-e2,0-e2,0u0,e2

【试题来源】百师联盟2021届高三一轮复习联考（二）全国卷（理）

【答案】C

【解析】易知函数g（x）=^-g的图象是过定点斜率为左的直线，设为/；利

用偶函数/（W）的图象关于y轴对称的性质，作出/（凶）的图象如图所示（左右两支），其

中A（l,0）,结合图形易知函数g（x）与函数/（W）的图象有且仅有三个交点时，直线/与左

支有两个交点（攵＜0）或与右支有两个交点（攵＞0）.当女〉0时，直线/与耳乂）图象的右

支相切于点5为临界状态，且0＜%＜「设3（毛,%）（%＞1），/（幻j则有

X。=e

，解得《1,所以当攵＜0时，由于函数/（W）的

A.In5