圆锥曲线压轴题30题2023

圆锥曲线压轴题30道

1.（2021•江苏盐城市•高三二模）已知直线/：y=x+/〃交抛物线C:y2=4尤于A8两点.

（1）设直线/与x轴的交点为7.若AT=2"，求实数的值；

（2）若点M,N在抛物线C上，且关于直线/对称，求证：四点共圆.

2.（2021•江苏高三专题练习）椭圆C：=■+与=1（。＞力＞0）的左右焦点分别为耳（一2,0）、月（2,0）,

6rb~

且椭圆过点碓，何.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过原点。作两条相互垂直的直线4、6，4与椭圆交于M，N两点，4与椭圆交于P，Q两点，求

证：四边形MQNP的内切圆半径，为定值.

3.（2021.南京市中华中学高三期末）已知离心率为逅的椭圆C:二+1=13＞。＞0）经过点P（3,l）.

3a'b-

（I）求椭圆。的标准方程；

（2）设点P关于x轴的对称点为。，过点P斜率为匕，网的两条动直线与椭圆。的另一交点分别为M、

N（M、N皆异于点。）.若匕心=；,求，。例N的面积S最大值.

4.（2021•江苏高三专题练习）已知椭圆C:7+F=1（。＞人＞0）的焦距为2百，且过点

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过椭圆C的右焦点F作直线I交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若M4=4A/,MB=43尸,

求证：4+4为定值.

r2v27

5.（2021•盐城市伍佑中学高三期末）已知椭圆C：f+广=1（">/?>0）离心率为点A,B,D,E分

别是C的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE的面积为6G.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知f是C的右焦点，过尸的直线交椭圆C于P,Q两点，记直线AP，8。的交点为T,求证：点

T横坐标为定值.

6.（2021•江苏泰州市•高三期末）如图，已知椭圆「：上+二=1,矩形ABCQ的顶点A,3在x轴上，C,

42

力在椭圆「上，点。在第一象限.CB的延长线交椭圆「于点E,直线AE与椭圆轴分别交于点F、G,

直线CG交椭圆「于点H,D4的延长线交尸，于点M.

（1）设直线AE、CG的斜率分别为匕、自，求证：）为定值;

（2）求直线尸H的斜率Z的最小值；

（3）证明：动点M在一个定曲线上运动.

22

7.（2021•江苏南通市•高三月考）已知椭圆0：5+方=1（。>匕>。）的左、右顶点分别为A,B,点尸在椭

圆。上运动，若△P48面积的最大值为2月，椭圆。的离心率为;.

（1）求椭圆。的标准方程;

（2）过5点作圆E：/+6一2）2=，，（o<r<2）的两条切线，分别与椭圆。交于两点c,。（异于点B）,

当，变化时，直线CO是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.

8.（2021♦江苏高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:三+/=1（a>0]>0）的短轴长

为2,直线/与椭圆C相交于AB两点，线段AB的中点为当A/与。连线的斜率为-』时，直线/的

2

兀

倾斜角为一

4

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若|AB|=2,尸是以A3为直径的圆上的任意一点，求证：|0日46

9.（2021•江苏高三专题练习）己知椭圆。：二+与=1（。>。>0）的左、右焦点分别为月，F2,离心率为

CTb一

过片作直线/与椭圆C交于A,B两点，A48鸟的周长为8.

2

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）问：乙486的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由.

10.（202卜江苏省天一中学高三二模）已知0为坐标原点，椭圆。：=+4=1（。>。〉0）的离心率6=交,

a-b-2

点尸在椭圆C上，椭圆C的左右焦点分别为片，工，的中点为。，。£。周长等于G+逅.

2

（1）求椭圆C的标准方程；

丫2

（2）W为双曲线O:y2一二=1上的一个点，由卬向抛物线E:f=4y做切线切点分别为A,6.

4

（i）证明：直线AB与圆/+=1相切;

（ii）若直线AB与椭圆。相交于M,N两点，求外接圆面积的最大值.

22

11.（2021•江苏高三其他模拟）已知椭圆「+2=13＞人＞0）的左焦点为F,过尸的直线

ab~

x-4百＞+百=0与椭圆在第一象限交于M点，O为坐标原点，三角形的面积为3.

4

（1）求椭圆的方程；

（2）若二A3c的三个顶点A,B,C都在椭圆上，且。为AABC的重心，判断一A3C的面积是否为定值,

并说明理由.

12.（2021•江苏苏州市•高三月考）已知圆自（%+1）2+了2=8,点尸（见0）（帆＞0）,P是圆E上一点，线段PF

的垂直平分线I与直线EP相交于点Q.

（1）若m=2,点P在圆E上运动时，点Q的轨迹是什么？说明理由；

（2）若m=l,点P在圆E上运动时，点Q的轨迹记为曲线C.过E点作两条互相垂直的直线卜12,《与

曲线C交于两点A、B,4与曲线C交于两点C、D,M为线段AB的中点，N为线段CD的中点.试问，

直线MN是否过定点？若过定点，并求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由.

13.（2021.江苏无锡市.高三月考）已知椭圆C：5+一=l（a＞方＞0）过点（2,—1）,离心率为坐，抛物线

y2=-16x的准线/交x轴于点A,过点A作直线交椭圆C于M,N.

（1）求椭圆C的标准方程和点A的坐标;

（2）若“是线段AN的中点，求直线MN的方程；

（3）设P,。是直线/上关于x轴对称的两点，问：直线PM于QN的交点是否在一条定直线上？请说明你

的理由.

14.（2021.江苏高三专题练习）如图，曲线T的方程是炉-y|y|=l,其中A、B为曲线T与x轴的交点，A

点在B点的左边，曲线T与y轴的交点为D已知Fl（-C,0）,F2（C,0）,C>0,△086的面积为.

（1）过点8作斜率为4的直线/交曲线T于尸、。两点（异于B点），点尸在第一象限，设点P的横坐标为

xp、Q的横坐标为XQ,求证：是定值；

（2）过点尸2的直线〃与曲线T有且仅有一个公共点，求直线〃的倾斜角范围；

（3）过点B作斜率为k的直线I交曲线T于P、Q两点（异于B点）,点P在第一象限，当F}PFtQ=3+2>/2

时，求|AP|=/l||成立时入的值.

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15.（2021•江苏高三专题练习）已知椭圆C:二+与=1（。>。>0）长轴的两个端点分别为

ab，

A(—2,0),8(2,0),离心率为也

2

（1）求椭圆。的方程;

（2）P为椭圆C上异于A5的动点，直线分别交直线x=-6于M,N两点，连接N4并延长交椭

圆。于点Q.

（i）求证：直线A?AN的斜率之积为定值；

（ii）判断三点是否共线，并说明理由.

22r~1

16.（2021♦江苏常州市•高三开学考试）已知等轴双曲线C：占―2=13>0,b>0）经过点（9，-）.

a2b222

（1）求双曲线C的标准方程：

（2）已知点8（0,1）.

①过原点且斜率为上的直线与双曲线C交于E,尸两点，求/E8尸最小时火的值；

②点A是C上一定点，过点8的动直线与双曲线C交于P,Q两点，Z“+心°为定值2,求点A的坐标

及实数4的值.

17.（2021•江苏南通市•高三月考）已知点A,8在椭圆二+三=1（。>。>0）上，点A在第一象限，。为

ab

坐标原点，且Q4LAB.

（1）若a=6/=1，直线OA的方程为x-3y=0,求直线08的斜率；

b

（2）若045是等腰三角形（点O,A,8按顺时针排列），求一的最大值.

a

18.（2021•江苏苏州市•高三开学考试）如图，在平面直角坐标系X0V中，过原点的直线/:y=4x（K>0）

交抛物线C:y2=2x于点P（异于原点O）,抛物线C上点p处的切线交），轴于点M,设线段OP的中点为

N,连结线段MN交C于点T.

\TM\

(1)求的值;

\MN\

⑵过点p作圆o'：（%-iy+y2=i的切线交。于另一点。，设直线。。的斜率为网,证明：/一心为

定值.

19.（2021.江苏南通市.高三期末）已知椭圆C：「+亲_=1.>/,>0）的离心率为;，且过点

（1）求椭圆。的方程；

3

（2）己知A，8是椭圆C上的两点，且直线OB的斜率之积为-一，点M为线段。4的中点，连接

4

8M并延长交椭圆C于点N,求证：-:皿为定值.

'4AMN

20.（2021•江苏高三月考）已知圆G：（x-c）2+/=4a2（6!>c>0）,。为平面直角坐标系的原点，点

C2（-c,0）,M是圆G上的任意一点，线段MG的垂直平分线与直线交于点尸

（1）求点P的轨迹E的方程.

（2）已知点4为轨迹E上异于顶点的任意一点，连接A。并延长交轨迹E与于点8,点N是点8在x轴上

的投影，连接AN并延长交轨迹E于点C,若8460=0,判断上是否为定值.若是，求出该定值；若不

a

是，请说明理由.

221

21.（2021•江苏扬州市•高三月考）已知椭圆C:r三+v斗=1（。＞。＞0）的离心率为彳，左右顶点分别为A,B,

a-b-2

上下顶点分别为C。，四边形AC8D的面积为4JJ，

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆的右焦点F的直线/与椭圆交于P,。两点，直线依、QB分别交直线x=4于M,N两点，

判断是否为定值，并说明理由.

22.（2021•江苏南通市•高三期末）已知点A（0,—l）,圆8:V+（y—1＞=8,C为18上一动点，连接AC,

BC,设E线段AC的中点，。为上一点，且满足。E.AC=0,动点。形成曲线产.

（1）求10a的取值范围；

（2）直线与曲线F是否相切？请说明理由.

x2丁

23.（2021•江苏高三专题练习）已知椭圆C:L万=l（a＞。＞0）的左、右焦点分别为《，乙，|片鸟|=2,

过点£的直线与椭圆C交于A,8两点，延长8g交椭圆。于点M，的周长为8.

（1）求C的离心率及方程;

（2）试问：是否存在定点P（Xo,O），使得PAGPB为定值？若存在，求与；若不存在，请说明理由.

22

24.（2021•江苏高三专题练习）已知椭圆2r=l（a>Z?>0）的左、右焦点分别是£，工且离心率为

在，点M为椭圆下上动点，△片"居面积的最大值为1.

2

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若M是椭圆。的上顶点，直线用片交椭圆。于点N,过点K的直线/（直线/的斜率不为1）与椭圆C

交于「、。两点，点P在点。的上方.若S£MP：S4N0=3:2,求直线/的方程.

22nz

25.（2021.南京市秦淮中学高三开学考试）如图所示，已知椭圆?/=1（。>6>0）的离心率为冷

一条准线为直线》=也

（1）求椭圆的标准方程；

（2）A为椭圆的左顶点，P为平面内一点（不在坐标轴上），过点尸作不过原点的直线/交椭圆于C,0两

点（均不与点A重合），直线AC,与直线OP分别交于E,F两点，若OE=OF,证明：点P在一条确

定的直线上运动.

26.（2021•江苏南通市•高三期末）已知椭圆C:=+）-=l（a＞收）的右焦点为F,P是椭圆C上一点，

a~2

丹」》轴，|尸耳=孝.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线/与椭圆C交于4、8两点，线段AB的中点为M,。为坐标原点，且|3/|=夜，求.AQB

面积的最大值.

27.（2021.江苏高三专题练习）已知椭圆的焦点坐标为6（-1,0）,5（1,0）,过尸2垂直于长轴的直线交椭

圆于尸、。两点，且|PQI=3.

（1）求椭圆的方程；

（2）过工的直线/与椭圆交于不同的两点M、N,则△片MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在

求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.