高考数学一轮复习 专题2.8 函数与方程（讲）-人教版高三数学试题

专题2.8函数与方程【考纲解读】内容要求备注ABC函数概念与基本初等函数Ⅰ函数与方程

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1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的联系．2．根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．【直击教材】1．函数f(x)＝kx＋1在[1,2]上有零点，则k的取值范围是________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))2．函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点个数是______．【答案】13．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．【答案】－eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)【知识清单】1．函数零点所在区间的判定1．函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．2．二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2判断函数零点个数函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数，其步骤是：(1)令f(x)＝0；(2)构造y1＝f1(x)，y2＝f2(x)；(3)作出y1，y2图像；(4)由图像交点个数得出结论．3函数零点的应用函数零点与函数交点关系【考点深度剖析】1．函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的实根，易误认为函数图像与x轴的交点．2．由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．【重点难点突破】考点1函数零点所在区间的判定【1-1】函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为_________．【答案】(1,2)．【1-2】函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是_________．【答案】(0,3)【解析】由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解得0<a<3.【思想方法】函数零点个数的判断方法．(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【温馨提醒】函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的实根，不要误为函数上的点．考点2判断函数零点个数【2-1】函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为______个．【答案】2【2-2】已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤0，,log2x，x>0，))则函数y＝f(f(x))＋1的零点个数是_____【答案】4【解析】由f(f(x))＋1＝0可得f(f(x))＝－1，又由f(－2)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－1.可得f(x)＝－2或f(x)＝eq\f(1,2).若f(x)＝－2，则x＝－3或x＝eq\f(1,4)；若f(x)＝eq\f(1,2)，则x＝－eq\f(1,2)或x＝eq\r(2)，综上可得函数y＝f(f(x))＋1有4个零点．【思想方法】(1)等价转化思想．(2)数形结合思想【温馨提醒】正确作出函数图像，揭示零点性质考点3函数零点的应用【3-1】若函数f(x)＝xlnx－a有两个零点，则实数a的取值范围为________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,e)，0))【3-2】已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－a，x≤0,x2－3ax＋a，x>0))有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．【答案】eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,9)，1))【解析】依题意，要使函数f(x)有三个不同的零点，则当x≤0时，方程2x－a＝0即2x＝a必有一个根，此时0<a≤1；当x>0时，方程x2－3ax＋a＝0有两个不等的实根，即方程x2－3ax＋a＝0有两个不等的正实根，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝9a2－4a>0，,3a>0，,a>0，))由此解得a>eq\f(4,9).因此，满足题意的实数a需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a≤1，,a>\f(4,9)，))即eq\f(4,9)<a≤1.【思想方法】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．【温馨提醒】正确作出函数图像，揭示零点性质【易错试题常警惕】 函数在区间上有零点求参数问题，一定要注意变量或参数的取值范围．如：已知集合和，若，则实数的取值范围是．【分析】，方程组，，即函数在有零点．，当，即时，显然成立．实数的取值范围是．【易错点】忽略变量或