高考数学二轮复习 14个填空题专项强化练（十）空间几何体-人教版高三数学试题

14个填空题专项强化练(十)空间几何体A组——题型分类练题型一平面及其基本性质1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．解析：若两直线为异面直线，则两直线无公共点，反之不一定成立．答案：充分不必要2．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．答案：①题型二空间中的平行与垂直1．给出下列条件：①l∥α；②l与α至少有一个公共点；③l与α至多有一个公共点．能确定直线l在平面α外的条件的序号为________．解析：直线l在平面α外指：l∥α或直线l与平面α仅有一个交点．答案：①③2.如图，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若eq\f(AM,MB)＝eq\f(AN,ND)，则直线MN与平面BDC的位置关系是________．解析：因为eq\f(AM,MB)＝eq\f(AN,ND)，所以MN∥BD，又MN⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，所以MN∥平面BDC.答案：平行3．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的序号是________．①若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β②若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β③若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β④若m∥n，m∥α，则n∥α解析：垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，所以①错误；两个平面内的两条直线平行，这两个平面不一定平行，所以②错误；两个平面同时垂直于两条平行直线，这两个平面平行，所以③正确；两条平行直线中的一条平行于一个平面，另一条不一定平行于该平面，所以④错误．答案：③4．α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的序号)．①若α∥β，m⊂α，则m∥β；②若m∥α，n⊂α，则m∥n；③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β；④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β.解析：在①中，若α∥β，m⊂α，则由面面平行的性质定理得m∥β，故①正确；在②中，若m∥α，n⊂α，则m∥n或m与n异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m与β相交、平行或m⊂β，故③错误；在④中，若n⊥α，n⊥β，则α∥β.又m⊥α，所以m⊥β，故④正确．答案：①④5.如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．解析：①AE⊂平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC⇒BC⊥平面PAC⇒AE⊥BC，故①正确；②AE⊥PB，AF⊥PB，AE∩AF＝A，AE⊂平面AEF，AF⊂平面AEF⇒PB⊥平面AEF⇒EF⊥PB，故②正确；③若AF⊥BC⇒AF⊥平面PBC，则AF∥AE与已知矛盾，故③错误，由①可知④正确．答案：①②④题型三空间几何体的表面积和体积1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为________．解析：S底＝6×eq\f(\r(3),4)×42＝24eq\r(3)，S侧＝6×4×6＝144，所以S表＝S侧＋2S底＝144＋48eq\r(3)＝48(3＋eq\r(3))．答案：48(3＋eq\r(3))2．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是eq\r(3)，则该正四棱锥的体积为________．解析：如图，在正四棱锥P­ABCD中，AB＝2，PA＝eq\r(3)，设正四棱锥的高为PO，连结AO，则AO＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).在直角三角形POA中，PO＝eq\r(PA2－AO2)＝1.所以VP­ABCD＝eq\f(1,3)·S四边形ABCD·PO＝eq\f(1,3)×4×1＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)3．若圆锥底面半径为2，高为eq\r(5)，则其侧面积为________．解析：因为圆锥的底面半径为2，高为eq\r(5)，所以母线长为l＝eq\r(4＋5)＝3，所以圆锥的侧面积为πrl＝π×2×3＝6π.答案：6π4.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AB1＝BB1＝BA＝BC＝2，∠B1BC＝90°，D为AC的中点，AB⊥B1D，则三棱锥A1­B1AD解析：取AB的中点O，连结DO，B1O，因为BB1＝AB1，所以OB1⊥AB，又AB⊥B1D，OB1∩B1D＝B1，所以AB⊥平面B1OD，因为OD⊂平面B1OD，所以AB⊥OD，由已知BC⊥BB1，又OD∥BC，所以OD⊥BB1，因为AB∩BB1＝B，所以OD⊥平面ABB1A1，又O，D分别为AB，AC的中点，BC＝2，所以OD＝eq\f(1,2)BC＝1，所以VA1­B1AD＝VD­B1AA1＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×4×1＝eq\f(\r(3),3).答案：eq\f(\r(3),3)5.如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，点P在线段BD1上，当∠APC最大时，三棱锥P­ABC的体积为________．解析：连结BD交AC于点O，连结PO，则∠APC＝2∠APO，∵tan∠APO＝eq\f(AO,PO)，∴当PO最小时，∠APO最大，即PO⊥BD1时，∠APO最大．如图，作PE⊥BD于点E，此时PB＝eq\f(1,3)BD1，∴三棱锥P­ABC的高为点P到平面ABCD的距离PE＝eq\f(1,3)，∴三棱锥P­ABC的体积V＝eq\f(1,3)S△ABC·PE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,18).答案：eq\f(1,18)B组——高考提速练1.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为________．解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．答案：32．设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题：①若b⊂α，c∥α，则b∥c；②若b⊂α，b∥c，则c∥α；③若c∥α，α⊥β，则c⊥β；④若c∥α，c⊥β，则α⊥β.其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)解析：①b和c可能平行或异面，故①错；②可能平行或c⊂α，故②错；③可能c⊥β，c∥β，c⊂β，故③错；④根据面面垂直判定α⊥β，故④正确．答案：④3．已知高与底面半径相等的圆锥的体积为eq\f(8π,3)，其侧面积与高为2eq\r(2)的圆柱OO1的侧面积相等，则圆柱OO1的体积为________．解析：设圆锥的底面半径为r，圆柱OO1的底面半径为R，因为高与底面半径相等的圆锥的体积为eq\f(8π,3)，所以eq\f(1,3)πr2·r＝eq\f(8π,3)，所以r＝2.又圆锥的侧面积与高为2eq\r(2)的圆柱OO1的侧面积相等，所以π·r·eq\r(2)r＝2πR·2eq\r(2)，所以R＝1，所以圆柱OO1的体积为πR2·2eq\r(2)＝2eq\r(2)π.答案：2eq\r(2)π4．已知正三棱柱的各条棱长均为a，圆柱的底面直径和高均为b.若它们的体积相等，则a3∶b3的值为________．解析：由题意可得eq\f(1,2)·a2·eq\f(\r(3),2)·a＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)))2·b，即eq\f(\r(3),4)a3＝eq\f(1,4)πb3，则eq\f(a3,b3)＝eq\f(π,\r(3))＝eq\f(\r(3)π,3).答案：eq\f(\r(3)π,3)5．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有______个．解析：若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题．答案：26.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF解析：因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面AB1C＝所以EF∥AC，又E为AD的中点，AB＝2，所以EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×eq\r(22＋22)＝eq\r(2).答案：eq\r(2)7.如图，在圆锥V­O中，O为底面圆心，半径OA⊥OB，且OA＝VO＝1，则O到平面VAB的距离为________．解析：设O到平面VAB的距离为h，由圆锥的几何性质可得VO⊥平面OAB，VO⊥OA，VO⊥OB.在Rt△VOA中，VA＝eq\r(VO2＋AO2)＝eq\r(2)，在Rt△VOB中，VB＝eq\r(VO2＋BO2)＝eq\r(2)，在Rt△OAB中，AB＝eq\r(OA2＋OB2)＝eq\r(2)，在△VAB中，S△VAB＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(\r(6),2)＝eq\f(\r(3),2).因为VV­AOB＝eq\f(1,3)S△AOB×VO＝eq\f(1,6)，VV­AOB＝eq\f(1,3)S△VAB×h＝eq\f(1,6)，所以h＝eq\f(\r(3),3).答案：eq\f(\r(3),3)8．已知矩形ABCD的边AB＝4，BC＝3，若沿对角线AC折叠，使平面DAC⊥平面BAC，则三棱锥D­ABC的体积为________．解析：在平面DAC内作DO⊥AC，垂足为点O，因为平面DAC⊥平面BAC，且平面DAC∩平面BAC＝AC，所以DO⊥平面BAC，因为AB＝4，BC＝3，所以DO＝eq\f(12,5)，S△ABC＝eq\f(1,2)×3×4＝6，所以三棱锥D­ABC的体积为V＝eq\f(1,3)×6×eq\f(12,5)＝eq\f(24,5).答案：eq\f(24,5)9．已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，l⊥α，m⊂β.给出下列命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③m∥α⇒l⊥β；④l⊥β⇒m∥α.其中正确的命题是________(填写所有正确命题的序号)．解析：①由l⊥α，α∥β，得l⊥β.又因为m⊂β，所以l⊥m，①正确；②由l⊥α，α⊥β，得l∥β或l⊂β，又因为m⊂β，所以l与m或异面或平行或相交，②错误；③由l⊥α，m∥α，得l⊥m.因为l只垂直于β内的一条直线m，所以不能确定l是否垂直于β，③错误；④由l⊥α，l⊥β，得α∥β.因为m⊂β，所以m∥α，④正确．答案：①④10．已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连结PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对．解析：如图，由于PD⊥平面ABCD.故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC，共7对．答案：711．以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为________．解析：设圆锥的底面半径为r，由题意圆锥底面半径等于圆锥的高，可知圆锥的侧面积为：πr·eq\r(2)r＝eq\r(2)πr2.圆柱的侧面积为：2πr·r＝2πr2.所以圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为：eq\r(2)πr2∶2πr2＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)12．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水的体积除以盆口的面积；②一尺等于十寸)解析：作出圆台的轴截面如图，由题意知，BF＝14(单位寸，下同)，OC＝6，OF＝18，OG＝9，即G是OF中点，所以GE为梯形的中位线，所以GE＝eq\f(14＋6,2)＝10，即积水的上底面半径为10.所以盆中积水的体积为eq\f(1,3)(100π＋36π＋eq\r(100π×36π))×9＝588π.盆口的面积为142π＝196π，所以eq\f(588π,196π)＝3，即平地降雨量是3寸．答案：313．已知三棱锥P­ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC，PA⊥PB，点P到平面ABC的距离为2eq\r(3)，则三棱锥P­ABC的体积为________．解析：法一：因为△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC，所以△PAB≌△PAC≌△PBC.因为PA⊥PB，所以PA⊥PC，PB⊥PC.设PA＝PB＝PC＝a，点P在平面ABC上的射影为O，则AB＝AC＝BC＝eq\r(2)a，AO＝eq\f(\r(6),3)a.又点P到平面ABC的距离为2eq\r(3)，所以PO＝2eq\r(3).在Rt△POA中，PO2＋OA2＝PA2，即12＋eq\f(2,3)a2＝a2，解得a＝6，所以三棱锥P­ABC的体积为eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×(6eq\r(2))2×2eq\