2023-2024学年江苏省南通市崇川区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省南通市崇川区八年级第一学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．习近平总书记强调：“推动中国制造向中国创造转变、中国速度向中国质量转变、中国产品向中国品牌转变．”当前，越来越多的国货品牌获得了市场的认可．下列国货品牌标志图案中是轴对称图形的是（）A． B． C．2．据科技日报报道，中国已实现离子注入装备28纳米工艺制程全覆盖，有力保障了我国集成电路制造行业在成熟制程领域的产业安全．已知长度单位1纳米＝10﹣9米，用科学记数法表示28纳米是（）A．28×10﹣9 B．2.8×10﹣8 C．2.8×10﹣9 D．2.8×10﹣103．下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．a8÷a4＝a2 C．（a3）4＝a7 D．（2a）3＝8a34．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（）A．3，4，5 B．1，1，2 C．6，8，10 D．5，12，135．如图，点E在线段AB上，△ABC≌△DEC，∠ACD＝28°，则∠B的度数是（）A．70° B．72° C．74° D．76°6．根据分式的基本性质，分式可变形为（）A． B． C． D．7．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝30°，CD⊥AC交AB于点D，CD＝1，则AB的长是（）A．3 B． C．4 D．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知AC＝3，AB＝5，则CE的长为（）A．1 B． C． D．9．已知a，b，c满足a2+b2+c2﹣4a﹣2b+2c+6＝0，则a+b﹣c的值是（）A．5 B．4 C．3 D．210．如图，已知等边△ABC的边长为4，点D，E分别在边AB，AC上，AE＝2BD．以DE为边向右作等边△DEF，则AF+BF的最小值为（）A．4 B．4 C．4 D．4二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．使分式有意义的x的取值范围是．12．分解因式：2m2﹣8＝．13．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接AE，若AD＝3，△ABC的周长为15，则△ACE的周长是．14．如图，AD是△ABC的高，分别以线段AB，BD，DC，CA为边向外作正方形，其中3个正方形的面积如图所示，则第四个正方形的面积为．15．已知y＞3，则＝．16．若关于x的方程+＝5的解为正数，则m的取值范围是．17．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE平分∠ADB，交AB与点E，EF⊥AC于点F，且交AD于点G，若AG＝2，BC＝8，则FG的长为．18．已知实数x，y满足x2﹣xy+y2＝4，则x2+xy+y2的最大值与最小值的差等于．三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．计算：（1）；（2）4（x+1）2﹣（2x+3）（2x﹣3）．20．先化简，再求值：，其中．21．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD为△ABC的角平分线．以点A为圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF．（1）求证：△ADE≌△ADF；（2）若∠BAC＝70°，求∠BDE的度数．22．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）直接写出A1，B1，C1的坐标：A1，B1，C1；（3）在x轴上求作一点P，使PA+PB的值最小（保留作图痕迹，不写作法）．23．南通轨道交通2号线于2023年12月27日开通运营，南通地铁迎来“双线时代”．从2号线上甲站到乙站，小李由原来地面自驾车辆改为乘坐地铁，相关信息如下表：自驾车辆乘坐地铁路程/（km）1512平均速度/（km/h）aa若小李乘坐地铁比自驾车辆能节约15分钟，求小李乘坐地铁从甲站到乙站所用的时间是多少小时？24．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝1，AD＝2，CD＝8．（1）求证：∠BAC＝90°；（2）点P为边BC上一点，连接AP，若△ABP为等腰三角形，求BP的长．25．阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式A＝，B＝，A+B＝＝1，则A与B互为“关联分式”，“关联值”k＝1．（1）若分式A＝，B＝，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k；（2）已知分式C＝，D＝，C与D互为“关联分式”，且“关联值”k＝2．①M＝（用含x的式子表示）；②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于；（3）若分式E＝，F＝（a，b为整数且c＝a+b），E是F的“关联分式”，且“关联值”k＝5，求c的值．26．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，且AD＜AB，作射线BD，CE，交于点P．（1）当点D在线段BP上．①求证：△ABD≌△ACE；②判断BD与CE的位置关系，并说明理由；（2）△ABC和△ADE如图2放置时，请你直接判断（1）中①和②的结论是否仍然成立，并结合图1、图2计算：若BP＝8，点A到PB的距离为2，求AB的长度；（3）如图3，点D在边BC上，连接BE分别交AD，AC于点F，G，取BC中点O，连接AO交BE于点M，过点A作AH⊥EF于点H，交BC于点N，连接MN，NG．若BC＝10，S△MNG＝2，则ON2+NC2＝．

参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．习近平总书记强调：“推动中国制造向中国创造转变、中国速度向中国质量转变、中国产品向中国品牌转变．”当前，越来越多的国货品牌获得了市场的认可．下列国货品牌标志图案中是轴对称图形的是（）A． B． C．【分析】根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．解：B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；A选项中的图形能找到一条直线，图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形，正确掌握相关定义是解题关键．2．据科技日报报道，中国已实现离子注入装备28纳米工艺制程全覆盖，有力保障了我国集成电路制造行业在成熟制程领域的产业安全．已知长度单位1纳米＝10﹣9米，用科学记数法表示28纳米是（）A．28×10﹣9 B．2.8×10﹣8 C．2.8×10﹣9 D．2.8×10﹣10【分析】首先根据1纳米＝10﹣9米，把28纳米化成以米为单位的量，然后根据用科学记数法表示较小的数的方法，用科学记数法表示28纳米即可．解：∵1纳米＝10﹣9米，∴28纳米＝28×10﹣9米＝2.8×10﹣8米．故选：B．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．a8÷a4＝a2 C．（a3）4＝a7 D．（2a）3＝8a3【分析】分别根据合并同类项法则、积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法和除法法则逐一计算可得．解：A、a2•a3＝2a5，原计算错误，不符合题意；B、a8÷a4＝a4，原计算错误，不符合题意；C、（a3）4＝a12，原计算错误，不符合题意；D、（2a）3＝8a3，正确，符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方和同底数幂的除法法则．4．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（）A．3，4，5 B．1，1，2 C．6，8，10 D．5，12，13【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等，即可判断选项A、选项C和选项D，根据三角形三关系定理即可判断选项B．解：A．∵32+42＝9+16＝25，52＝25，∴32+42＝52，∴以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；B．1+1＝2，不符合三角形的三边关系定理，不能推出是直角三角形，故本选项符合题意；C．∵62+82＝36+64＝100，102＝100，∴62+82＝102，∴以6，8，10为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵52+122＝25+144＝169，132＝169，∴52+122＝132，∴以5，12，13为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形三边关系定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容（如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形）是解此题的关键．5．如图，点E在线段AB上，△ABC≌△DEC，∠ACD＝28°，则∠B的度数是（）A．70° B．72° C．74° D．76°【分析】先利用全等三角形的性质得到CB＝CE，∠ACB＝∠DCE，则∠BCE＝∠ACD＝28°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠B的度数．解：∵△ABC≌△DEC，∴CB＝CE，∠ACB＝∠DCE，∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，即∠BCE＝∠ACD＝28°，∵CB＝CE，∴∠B＝∠CEB＝（180°﹣∠BCE）＝×（180°﹣28°）＝76°．故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．6．根据分式的基本性质，分式可变形为（）A． B． C． D．【分析】根据分式的性质：分式的分子、分母异号得负，可得答案．解：∵＝﹣，故选：C．【点评】本题考查了分式的性质，分式的分子分母同号得正，异号得负．7．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝30°，CD⊥AC交AB于点D，CD＝1，则AB的长是（）A．3 B． C．4 D．【分析】由等腰三角形的性质推出∠A＝∠B＝30°，求出∠ACB＝120°，由垂直的定义得到∠ACD＝90°，由含30度角的直角三角形的性质推出AD＝2CD＝2×1＝2，求出∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝30°，得到∠BCD＝∠B，因此BD＝CD＝1，于是得到AB＝AD+BD＝2+1＝3．解：∵AC＝BC，∴∠A＝∠B＝30°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°，∴AD＝2CD＝2×1＝2，∵∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝120°﹣90°＝30°，∴∠BCD＝∠B，∴BD＝CD＝1，∴AB＝AD+BD＝2+1＝3．故选：A．【点评】本题考查等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，关键是由含30度角的直角三角形的性质得到AD＝2CD；由等角对等边判定CD＝BD．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知AC＝3，AB＝5，则CE的长为（）A．1 B． C． D．【分析】过点E作EH⊥AB于点H．根据S△ABC＝•AC•BC＝•AC•EC+•AB•EH，求解即可．解：过点E作EH⊥AB于点H．∵AE平分∠CAB，EC⊥AC，EH⊥AB，∴EC＝EH，∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，∴BC＝＝＝4，∵S△ABC＝•AC•BC＝•AC•EC+•AB•EH，∴EC＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用面积法解决问题．9．已知a，b，c满足a2+b2+c2﹣4a﹣2b+2c+6＝0，则a+b﹣c的值是（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】依据题意，将a2+b2+c2﹣4a﹣2b+2c+6＝0变形为a2﹣4a+4+b2﹣2b+1+c2+2c+1＝0，从而（a﹣2）2+（b﹣1）2+（c+1）2＝0，故可得a﹣2＝0，b﹣1＝0，c+1＝0，求出a，b，c，再代入计算可以得解．解：由题意，∵a2+b2+c2﹣4a﹣2b+2c+6＝0，∴a2﹣4a+4+b2﹣2b+1+c2+2c+1＝0．∴（a﹣2）2+（b﹣1）2+（c+1）2＝0．∴a﹣2＝0，b﹣1＝0，c+1＝0．∴a＝2，b＝1，c＝﹣1．∴a+b﹣c＝2+1+1＝4．故选：B．【点评】本题主要考查了配方法的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．10．如图，已知等边△ABC的边长为4，点D，E分别在边AB，AC上，AE＝2BD．以DE为边向右作等边△DEF，则AF+BF的最小值为（）A．4 B．4 C．4 D．4【分析】作EH⊥AB于点H，作射线CF，由等边三角形的性质得∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝∠DEF＝60°，AC＝AB＝BC，EF＝DE，可证明∠CEF＝∠HDE，再由AE＝2AH，AE＝2BD，证明AH＝BD，推导出CE＝HD，进而证明△CEF≌△HDE，得∠ECF＝∠DHE＝90°，可知点F在经过点C且与AC垂直的直线上运动，作BL⊥AB交AC的延长线于点L，可证明点L与点A关于直线CF对称，则LF＝AF，由LF+BF≥BL，得AF+BF≥BL，由AB＝AC＝BC＝LC＝4，得AL＝2AC＝8，所以BL＝＝4，则AF+BF≥4，所以AF+BF的最小值为4，于是得到问题的答案．解：作EH⊥AB于点H，作射线CF，则∠DHE＝∠AHE＝90°，∵△ABC和△DEF都是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝∠DEF＝60°，AC＝AB＝BC，EF＝DE，∴∠CEF＝180°﹣∠DEF﹣∠AED＝120°﹣∠AED，∠HDE＝180°﹣∠BAC﹣∠AED＝120°﹣∠AED，∴∠CEF＝∠HDE，∴∠AEH＝90°﹣∠BAC＝30°，∴AE＝2AH，∵AE＝2BD，∴2AH＝2BD，∴AH＝BD，∴CE＝AC﹣AE＝AC﹣2AH，HD＝AB﹣AH﹣BD＝AC﹣2AH，∴CE＝HD，在△CEF和△HDE中，，∴△CEF≌△HDE（SAS），∴∠ECF＝∠DHE＝90°，∴CF⊥AC，∴点F在经过点C且与AC垂直的直线上运动，作BL⊥AB交AC的延长线于点L，则∠ABL＝90°，∴∠ALB＝90°﹣∠BAC＝30°，∴∠CBL＝∠ACB﹣∠ALB＝30°，∴∠ALB＝∠CBL，∴LC＝BC＝AC，∴点L与点A关于直线CF对称，∴LF＝AF，∵LF+BF≥BL，∴AF+BF≥BL，∵AB＝AC＝BC＝4，∴AC＝LC＝BC＝4，∴AL＝2AC＝8，∴BL＝＝＝4，∴AF+BF≥4，∴AF+BF的最小值为4，故选：C．【点评】此题重点考查等边三角形的性质、轴对称的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．使分式有意义的x的取值范围是x≠﹣1．【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．解：由题意得：x+1≠0，解得：x≠﹣1，故答案为：x≠﹣1．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．12．分解因式：2m2﹣8＝2（m+2）（m﹣2）．【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式．解：2m2﹣8，＝2（m2﹣4），＝2（m+2）（m﹣2）．故答案为：2（m+2）（m﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．13．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接AE，若AD＝3，△ABC的周长为15，则△ACE的周长是9．【分析】由线段垂直平分线的性质推出AD＝BD＝3，AE＝BE，得到AB＝2AD＝6，由△ABC的周长＝15，得到BC+AC＝9，于是得到△ACE的周长＝AE+EC+AC＝BC+AC＝9．解：∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD＝3，AE＝BE，∴AB＝2AD＝6，∵△ABC的周长＝AB+BC+AC＝15，∴BC+AC＝9，∴△ACE的周长＝AE+EC+AC＝BE+EC+AC＝BC+AC＝9．搞答案为：9．【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质得到AD＝BD＝3，AE＝BE．14．如图，AD是△ABC的高，分别以线段AB，BD，DC，CA为边向外作正方形，其中3个正方形的面积如图所示，则第四个正方形的面积为2．【分析】根据AD是△ABC的高得出∠ADB＝∠ADC＝90°，然后根据勾股定理分别求出AD、CD的长即可．解：由图形得，AB2＝16，BD2＝8，AC2＝10，∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，即∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ADB中，由勾股定理得，AD2＝AB2﹣BD2＝16﹣8＝8，在Rt△ADC中，由勾股定理得，CD2＝AC2﹣BD2＝10﹣8＝2，∴第四个正方形的面积为2，故答案为：2．【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．15．已知y＞3，则＝3﹣y．【分析】先把分子因式分解，再约分即可．解：原式＝＝3﹣y．故答案为：3﹣y．【点评】本题考查了分式的约分，熟练掌握因式分解和分式的基本性质是关键．16．若关于x的方程+＝5的解为正数，则m的取值范围是m＜且m≠．【分析】先解分式方程，再根据方程的解为正数，得不等式，求解不等式即可．解：+＝5，去分母，得x﹣m﹣2m＝5（x﹣1），∴x﹣3m＝5x﹣5，∴﹣4x＝﹣5+3m．∴x＝．∵方程的解为正数，且x≠1．∴＞0，且≠1．∴m＜且m≠．故答案为：m＜且m≠．【点评】本题考查了分式方程，掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解决本题的关键．17．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE平分∠ADB，交AB与点E，EF⊥AC于点F，且交AD于点G，若AG＝2，BC＝8，则FG的长为．【分析】连接CG，先利用等腰三角形的三线合一性质可得BD＝CD＝BC＝4，∠BAD＝∠CAD，再根据垂直定义可得∠AFG＝90°，从而可得∠CAD+∠AGF＝90°，再根据等角的余角相等可得∠B＝∠AGF，然后利用对顶角相等可得∠EGD＝∠AGF，从而可得∠B＝∠EGD，再利用角平分线的定义可得∠ADE＝∠BDE，从而利用AAS证明△BDE≌△GDE，进而利用全等三角形的性质可得BD＝DF＝4，最后利用线段的和差关系可得AD＝6，从而在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AC的长，再利用面积法进行计算，即可解答．解：连接CG，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝4，∠BAD＝∠CAD，∵EF⊥AC，∴∠AFG＝90°，∴∠CAD+∠AGF＝90°，∵∠BAD+∠B＝90°，∴∠B＝∠AGF，∵∠EGD＝∠AGF，∴∠B＝∠EGD，∵DE平分∠ADB，∴∠ADE＝∠BDE，∵DE＝DE，∴△BDE≌△GDE（AAS），∴BD＝DF＝4，∵AG＝2，∴AD＝AG+DG＝2+4＝6，∴AC＝＝＝2，∵△ACG的面积＝AC•FG＝AG•CD，∴AC•FG＝AG•CD，∴2FG＝2×4，∴FG＝，故答案为：．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．18．已知实数x，y满足x2﹣xy+y2＝4，则x2+xy+y2的最大值与最小值的差等于．【分析】依据题意，设x2+xy+y2＝w①，又x2﹣xy+y2＝4②，则①+②得，2（x2+y2）＝w+4，即x2+y2＝；①﹣②得，2xy＝w﹣4，进而x2+y2+2xy＝（x+y）2＝+w﹣4＝≥0，x2+y2﹣2xy＝（x﹣y）2＝﹣w+4＝≥0，从而≤w≤12，故x2+xy+y2的最大值与最小值分别为12和，最后可以计算得解．解：由题意，设x2+xy+y2＝w①，又x2﹣xy+y2＝4②，∴①+②得，2（x2+y2）＝w+4，即x2+y2＝；①﹣②得，2xy＝w﹣4．∴x2+y2+2xy＝（x+y）2＝+w﹣4＝≥0，x2+y2﹣2xy＝（x﹣y）2＝﹣w+4＝≥0．∴≤w≤12．∴x2+xy+y2的最大值与最小值分别为12和．∴x2+xy+y2的最大值与最小值的差等于．故答案为：．【点评】本题主要考查了配方法的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．计算：（1）；（2）4（x+1）2﹣（2x+3）（2x﹣3）．【分析】（1）先根据有理数的乘法法则，零指数幂和负整数指数幂进行计算，再算加法即可；（2）先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再去括号，最后合并同类项即可．解：（1）＝16+1+4＝21；（2）4（x+1）2﹣（2x+3）（2x﹣3）＝4（x2+2x+1）﹣（4x2﹣9）＝4x2+8x+4﹣4x2+9＝8x+13．【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的混合运算和整式的混合运算等知识点，能正确根据有理数的运算法则和整式的运算法则进行计算是解此题的关键．20．先化简，再求值：，其中．【分析】先变形，再根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．解：＝（﹣+）÷＝•＝，当时，原式＝．【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．21．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD为△ABC的角平分线．以点A为圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF．（1）求证：△ADE≌△ADF；（2）若∠BAC＝70°，求∠BDE的度数．【分析】（1）由角平分线定义得出∠BAD＝∠CAD．由作图知：AE＝AF．由SAS可证明△ADE≌△ADF；（2）由作图知：AE＝AD．得出∠AED＝∠ADE，由等腰三角形的性质求出∠ADE＝71°，则可得出答案．【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD．由作图知：AE＝AF．在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（SAS）；（2）解：∵∠BAC＝70°，AD为△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠BAC＝35°，由作图知：AE＝AD．∴∠AED＝∠ADE，∴∠ADE＝×（180°﹣35°）＝72.5°，∵AB＝AC，AD为△ABC的角平分线，∴AD⊥BC．∴∠BDE＝90°﹣∠ADE＝17.5°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．22．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）直接写出A1，B1，C1的坐标：A1（﹣1，2），B1（﹣3，1），C1（2，﹣1）；（3）在x轴上求作一点P，使PA+PB的值最小（保留作图痕迹，不写作法）．【分析】（1）根据关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数，找到A1、B1、C1，依次连接即可；（2）根据关于y轴对称的点，纵坐标不边，横坐标变为原来的相反数即可得到A1、B1、C1坐标．（3）找得A关于x轴的对称点A2（1，﹣2），利用两点之间线段最短即可求解．解：（1）如图所示，△A1B1C1就是所求的图形．（2）∵△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1），∴A（﹣1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣1），故答案为：（﹣1，2），（﹣3，1），（2，﹣1）；（3）取点A关于x轴的对称点A2（1，﹣2），连接A2B，与x轴交点即为点P，如图，此时PA+PB的值最小．【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．23．南通轨道交通2号线于2023年12月27日开通运营，南通地铁迎来“双线时代”．从2号线上甲站到乙站，小李由原来地面自驾车辆改为乘坐地铁，相关信息如下表：自驾车辆乘坐地铁路程/（km）1512平均速度/（km/h）aa若小李乘坐地铁比自驾车辆能节约15分钟，求小李乘坐地铁从甲站到乙站所用的时间是多少小时？【分析】先根据题意列出关于a的方程，求出a的值，再求小李乘坐地铁从甲站到乙站所用的时间．解：由题意可得，，解得：a＝42，经检验，a＝42是原方程的解，12÷42＝（小时），答：小李乘坐地铁从甲站到乙站所用的时间是小时．【点评】本题主要考查分式方程的应用，找出等量关系，求出a的值是解题的关键．24．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝1，AD＝2，CD＝8．（1）求证：∠BAC＝90°；（2）点P为边BC上一点，连接AP，若△ABP为等腰三角形，求BP的长．【分析】（1）在Rt△ABD中利用勾股定理可求AB2，同理在Rt△ACD中利用勾股定理可求AC2，而BC＝CD+BD＝9，易求AC2+AB2＝81＝BC2，从而可知△ABC是直角三角形．（2）分三种情况：①当BP＝AB时；②当BP＝AP时；③当AP＝AB时；分别求出BP的长即可．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，AD＝2，BD＝1，∴AB2＝AD2+BD2＝9，又∵AD⊥BC，CD＝8，AD＝2，∴AC2＝CD2+AD2＝72，∵BC＝CD+BD＝9，∴BC2＝81，∴AC2+AB2＝81＝BC2，△ABC是直角三角形．∴∠BAC＝90°．（2）解：分三种情况：①当BP＝AB时，∵AD⊥BC，∴AB＝＝3，∴BP＝AB＝3；②当BP＝AP时，P是BC的中点，∴BP＝BC＝4.5；③当AP＝AB时，BP＝2BD＝2；综上所述：BP的长为3或2或4.5．【点评】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用以及等腰三角形的性质．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．25．阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式A＝，B＝，A+B＝＝1，则A与B互为“关联分式”，“关联值”k＝1．（1）若分式A＝，B＝，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k；（2）已知分式C＝，D＝，C与D互为“关联分式”，且“关联值”k＝2．①M＝﹣5x﹣15（用含x的式子表示）；②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于2；（3）若分式E＝，F＝（a，b为整数且c＝a+b），E是F的“关联分式”，且“关联值”k＝5，求c的值．【分析】（1）根据已知条件中的新定义，求出A+B并进行化简即可；（2）①根据已知条件中的新定义，列出，然后进行化简，求出M即可；②把①中求出的M代入D，然后化简，根据已知条件，求出x的值即可；（3）根据条件中的新定义，求出E+F并化简，从而列出关于a，b的二元一次方程组，求出a，b，再代入c＝a+b进行计算即可．解：（1）A与B是互为“关联分式”，理由如下：∵分式，，∴，∴A与B是互为“关联分式”，“关联值”k为2；（2）①∵分式C＝，D＝，C与D互为“关联分式”，且“关联值”k＝2，∴，，，2x2+5x+M﹣3＝2x2﹣18，∴M＝2x2﹣18﹣2x2﹣5x+3＝﹣5x﹣15，故答案为：﹣5x﹣15；②，∵分式D的值为正整数，∴x﹣3是﹣5的约数，即x﹣3＝﹣1或﹣5，解得：x＝2或﹣2，∵x为正整数，∴x＝2，故答案为：2；（3）∵E是F的“关联分式”，∴，，，（5+c﹣a﹣b）x+ab﹣5c＝5x﹣20，∵c＝a+b，∴5x+ab﹣5（a+b）＝5x﹣20，∴ab﹣5（a+b）＝﹣20，ab﹣5a＝5b﹣20，a（b﹣5）＝5b﹣20，，∵a，b为整数，∴b﹣5一定是5的约数，∴b﹣5＝﹣1或﹣5或1或5，解得：b＝4或0或6或10，∴a＝0或4或10或6，∴c＝a+b＝4+0＝4或10+6＝16，∴c的值为4或16．【点评】本题主要考查了分式的有关计算和分式中的新定义问题，解题关键是熟练掌握分式的化简和新定义的含义．26．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，且AD＜AB，作射线BD，CE，交于点P．（1）当点D在线段BP上．①求证：△ABD≌△ACE；②判断BD与CE的位置关系，并说明理由；（2）△ABC和△ADE如图2放置时，请你直接判断（1）中①和②的结论是否仍然成立，并结合图1、图2计算：若BP＝8，点A到PB的距离为2