函数的周期性

周期现象与函数的周期性问题1：生活中，下列现象有哪些共性？①星期现象②钟表现象③钟摆现象④海水的潮汐现象——大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，是一个周期现象，当潮汐发生时，水的深度会产生周期变化.一、周期现象

现实生活中的许多变化、运动都有循环往复、周而复始的现象。这种现象就叫周期现象，这种变化规律就叫周期性。练习1：判断下列现象是否周期现象，如果是，指出一个周期：（1）地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化（2）钟表的分针的运动（3）连续抛一枚硬币，出现正面向上身边生活中下列现象中，哪些是周期现象？哪些不是？（1）逢年过节（2）东升西落（3）月盈月亏（4）潮起潮落（5）冬去春来（6）周而复始（7）简谐振动（8）喜怒哀乐(9)……潮汐现象的探究①若确定一个位置，考察该位置的水深

H和时间

t

的关系，那么H是t

的函数吗？

答：由于一个时间t对应唯一一个海水深度H，

所以H是关于t的一个函数，记为H=H（t）.②函数H=H（t）是不是一个周期函数？数学建模：潮汐中的函数

某港口在某一天水深H与时间t的对应关系

H(t)记录如下：时刻水深/m时刻水深/m时刻水深/m1:005.09:002.517:006.22:006.210:002.718:005.33:007.511:003.519:004.14:007.312:004.420:003.15:006.213:005.021:002.56:005.314:006.222:002.77:004.115:007.523:003.58:003.116:007.324:004.4根据P3的数据表，作出H和t的散点图4812162420由散点图可知，每经过相同的时间间隔T（12h），水深就重复出现相同的数值，即

H（t+T）=H（t）1.函数的周期性对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，T叫做函数的一个周期，称y=f(x)具有周期性。抽象概括：①常数T≠0，不一定是正数；②如果T为函数的一个周期，那么T的整数倍nT也是函数的周期；③对定义域内任意x，f(x+T)=f(x)都成立；④定义域至少是无限集.

如：潮汐现象的函数中，12h、24h、36h都是一个周期，但是最小的是12h，所以这函数的最小正周期是12h.

如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期.

⑤周期函数不一定都有最小正周期；

注意：今后所称周期，若无特别说明，均指函数的最小正周期。目前学过：终边相同角的同名三角函数值相等

由此，你能得出正弦、余弦、正切函数的周期性的哪些结论？4812162420

（1）请估计一下H（4.5）的值；不看散点图，

请你说出t=16.5时H（t）的值。

（2）在早4：00~9：00之间，估计一下t取何值时，H（t）=3.6m。

（3）如果你是一名游客，应选择何时观潮？函数周期性的应用举例（4）在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮前返回海洋.假设货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条理规定船底与海底之间至少要1.5m的安全间隙，货船和基石能进入港口？在港口最多能停留多久？4812162420判断周期练习：T=5T=2T=2T=2应用：①利用周期函数的周期性求函数值练习1：已知是定义在R上的周期函数，

且满足，，求的值。练习2：若周期函数f(x)奇函数，6是f(x)的一个

周期，且f(-1)=1，则f(-5)=——？

解：f(-1)=1,f(-1+6)=f(5)=f(-1)=1,∴f(5)=-f(-5)=1.∴f(-5)=-1

练习3：设f(x)是定义在R上的周期为5的奇函数，且f(1)=a,则f(4)=——？f(5)=_？

解：∵f(1)=a，∴f(-1)=-a,f(4)=f(-1+5)=f(-1)=-a,f(5)=f(0+5)=f(0)=0练习4：今天是周二，7k(k∈Z)天后的那一天

是周

？67天后是周

？二六练习5：设函数f(x)是定义在R上的周期为4

的奇函数，求f(2)+f(4)+f(6)的值。（答案：0）练习2：-------（1）-------（2）将（2）代入（1）得解：∵f(x)为奇函数，且定义域为R,∴f(0)=0又因周期T=3，所以f(3)=f(0)=0又因为周期函数又因所以0253x由奇函数解：（1）因f(x)为奇函数，且定义域为R所以f(0)=0（2）T=4（应用奇函数）（再应用奇函数）(再应