高等数学多媒体课件30

高等数学多媒体课件制作人：聂水晶第八章常微分方程初步第二节二阶常系数微分方程2024/2/283一、二阶线性微分方程解的结构二阶微分方程的如下形式y

+p(x)y

+q(x)y=f(x)称为二阶线性微分方程，简称二阶线性方程.

f

(x)称为自由项，当

f(x)0时，称为二阶线性非齐次微分方程，简称二阶线性非齐次方程.

当

f(x)恒为

0时，称为二阶线性齐次微分方程，

简称二阶线性齐次方程.方程中p(x)、q(x)和f(x)都是自变量的连续函数.这类方程的特点是：右边是函数或零，左边每一项含y或y或y，

且每项均为y

或y

或y的一次项，

例如y

+

xy

+

y=x2

就是二阶线性非齐次方程.

而y

+

x(y)2

+

y=x2就不是二阶线性方程.2024/2/284定理

1

如果函数y1

与y2

是线性齐次方程的两个解，y=C1y1+C2y2仍为该方程的解，

证因为y1与y2是方程y

+p(x)y

+q(x)y=0的两个解，与所以有其中

C1，

C2

是任意常数.那么函数2024/2/285于是有y

+p(x)y

+q(x)y=0所以y=C1y1+C2y2是y

+p(x)y

+q(x)y=

0的解.2024/2/286

定义设函数y1(x)和y2(x)

是定义在某区间I

上的两个函数，k1y1(x)+

k2y2(x)

=0不失一般性，考察两个函数是否线性相关，

我们往往采用另一种简单易行的方法，即看它们的比是否为常数，

事实上，当y1(x)与y2(x)线性相关时，有k1y1+

k2y2=0，

其中k1,k2不全为0，如果存在两个不全为0的常数k1和k2，使在区间I

上恒成立.那么称函数y1(x)与y2(x)在区间上是线性相关的，否那么称为线性无关.2024/2/287即y1

与y2

之比为常数.反之，假设y1与y2之比为常数，那么y1=ly2，即y1-ly2=0.

所以y1

与y2

线性相关.因此，如果两个函数的比是常数，那么它们线性相关；例如函数

y1=ex，y2=e-x，所以，它们是线性无关的.如果不是常数，那么它们线性无关.2024/2/288定理

2如果函数y1

与y2

是二阶线性齐次方程y

+p(x)y

+q(x)y=0的两个线性无关的特解，y=C1y1+C2y2是该方程的通解，

证因为y1与y2是方程y

+p(x)y

+q(x)y=0的解，所以，由定理1知y=C1y1+C2y2也是该方程的解.又因为y1与y2线性无关，即y1与y2之比不为常数，故C1与C2不能合并为一个任意常数，因此

y=C1y1+C2y2是二阶线性齐次方程的通解.那么其中C1,C2为任意常数.所以它们中任一个都不能用另一个(

形如y1=

ky2或y2=

k1y)

来表示.2024/2/289定理

3如果函数y*

是线性非齐次方程的一个特解，y=Y+y*，是线性非齐次方程的通解.

证因为y*与Y分别是线性非齐次方程y

+p(x)y

+q(x)y=f(x)

和线性齐次方程y

+p(x)y

+q(x)y=

0的解，所以有y*

+p(x)y*

+q(x)y*

=f(x)，Y

+p(x)Y

+q(x)Y=

0.Y是该方程所对应的线性齐次方程的通解，那么2024/2/2810又因为y

=

Y

+

y*

，

y=Y

+

y*

，

所以y

+p(x)y

+q(x)y

=(Y

+

y*

)+p(x)(Y

+

y*

)+q(x)(Y+

y*)=(Y

+p(x)

Y

+q(x)Y)+(y*

+p(x)y*

+q(x)y*)=f(x).2024/2/2811求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为：

(1)

求线性齐次方程y

+p(x)y

+q(x)y=0的线性无关的两个特解y1与y2，得该方程的通解Y=C1y1+C2y2.

(2)

求线性非齐次方程y

+p(x)y

+q(x)y=f(x)的一个特解y*.那么，线性非齐次方程的通解为y=Y+y*.

又Y是二阶线性齐次方程的通解，它含有两个任意常数，故y=Y+y*中含有两个任意常数.

即y=Y+y*是线性非齐次方程y

+p(x)y

+q(x)y=f(x)

的通解.这说明函数y=Y+y*

是线性非齐次方程的解，2024/2/2812y

+p(x)y

+q(x)y=f1

(x)+f2

(x)，y

+p(x)y

+q(x)y=f1

(x)，和y

+p(x)y

+q(x)y=f2

(x)则是方程①的特解.定理

4设二阶线性非齐次方程为①②③的特解，2024/2/2813证因为y1*

与y2*

分别是②与③的特解，y1*

+p(x)y1*

+q(x)y1*

=f1(x)，与y2*

+p(x)y2*

+q(x)y2*

=f2(x).于是有=f1(x)+

f2(x)，所以有=[y1*

+p(x)y1*

+q(x)y1*]+[y2*

+p(x)y2*

+q(x)y2*]即y1*+y2*

满足方程①，2024/2/2814二、二阶常系数线性微分方程的解法如果二阶线性微分方程为y

+py

+qy=f(x)，其中p、q均为常数，那么称该方程为二阶常系数线性微分方程.2024/2/28151

特征方程具有两个不相等的实根r1与r2，2

特征方程具有两个相等的实根，这时，由特征根可得到常系数线性齐次方程的一个特解y1=erx.还需再找一个与y1线性无关的特解y2，为此，设y2=u(x)y1，其中u(x)为待定函数.

将y2

及其一阶、二阶导数y

2=(uerx)

=erx(u(x)+ru(x))，y

2=erx(u(x)+2ru(x)+r2u(x))，代入方程y+py+qy=0中，得因而它的通解为所以y1

与y2

线性无关，

都是④的解，

即r1

r2.那么，这时函数即2024/2/2816注意到是特征方程的重根，

所以有r2+

pr+

q=0及2r

+

p=0.且erx

0，因此只要u(x)满足那么y2=uerx就是④式的解，

为简便起见，取方程u(x)=0的一个解u=x，

于是得到方程④且与y1=erx

线性无关的解y2=xerx.

因此，④式的通解为2024/2/2817

3

特征方程具有一对共轭复根r1=a+ib与r2=a–ib.

这时有两个线性无关的特解y1=e(a+ib)x与y2=e(a-ib)x.这是两个复数解，

为了便于在实数范围内讨论问题，我们再找两个线性无关的实数解.

由欧拉公式

(这公式我们将在无穷级数章中补证)，可得2024/2/2818于是有由定理1知，以上两个函数eax

cosbx与eaxsinbx

均为④式的解，且它们线性无关.

因此，这时方程的通解为2024/2/2819

上述求二阶常系数线性齐次方程通解的方法称为特征根法，其步骤是：(1)

写出所给方程的特征方程；(2)

求出特征根；

(3)

根据特征根的三种不同情况，写出对应的特解，并写出其通解.特征根方程的通解

一对共轭复根r1,2=

i两个不等的实根r1,r2两个相等的实根r1=r2=r(

0)2024/2/2821例

1

求方程y

-2y

-3y=0

的通解.

解

该方程的特征方程为r2

-2r–3=0,它有两个不等的实根r1=-1，r2=3,

其对应的两个线性无关的特解为y1=e-

x

与y2=e3x,所以方程的通解为2024/2/2822

例

2

求方程y

-4y

+4y=0

的满足初始条件y(0)=1，y(0)=4的特解.

解

该方程的特征方程为r2

-4r

+4=0，求得将y(0)=1，y

(0)=4代入上两式，得C1=1，C2=2，y=

(1+2x)e2x.

其对应的两个线性无关的特解为y1=e2x

与y2=xe2x，所以通解为因此，所求特解为

它有重根r=2.2024/2/2823例

3

求方程2y

+2y

+3y=0

的通解.

解

该方程的特征方程为2r2

+2r

+3=0，它有共轭复根对应的两个线性无关的解为所以方程的通解为2024/2/2824例

4

求方程y

+4y=0

的通解.

解

该方程的特征方程为r2

+4=0，它有共轭复根r1,2=2i.即a=0，b=2.

对应的两个线性无关的解

y1=cos2x.y2=sin2x.所以方程的通解为2024/2/2825

2.二阶常系数线性非齐次方程的解法1

自由项

f(x)为多项式Pn(x).设二阶常系数线性非齐次方程为y

+

py

+

qy=Pn(x),其中Pn(x)为x

的n

次多项式.

当原方程⑥

中

y

项的系数q

0时，k

取

0；当q

=0，但

p

0时，k

取

1；当p

=0，q

=0时，k取2.⑥

因为方程中p、q均为常数且多项式的导数仍为多项式，

所以可设⑥式的特解为其中Qn(x)与Pn(x)是同次多项式，2024/2/2826例

5

求方程y

-2y+y

=x2

的一个特解.解

因为自由项f(x)

=x2

是x的二次多项式，那么代入原方程后，有且y

的系数q=10，取k=0.所以设特解为2024/2/2827比较两端x同次幂的系数，有解得A=1，B=4，C=6.故所求特解为2024/2/2828例

6

求方程y

+

y

=x3–x+

1的一个特解.

解

因为自由项f(x)

=x3–x+

1是一个x的三次多项式，那么代入原方程后，有且y

的系数q=0，p=1

0，取k=1.所以设方程的特解为2024/2/2829比较两端x同次幂的系数：解得故所求特解为2024/2/28302

自由项

f(x)为Aeax

型设二阶常系数线性非齐次方程为y

+

py

+

qy=Aeax，其中a，A

均为常数.由于p，q

为常数，且指数函数的导数仍为指数函数，其中B为待定常数，

当

a

不是⑦

式所对应的线性齐次方程的特征方程

r2+pr+q=0的根时，取

k=0；当

a

是其特征方程单根时，取

k=1；

当

是其特征方程重根时，取

k=2.⑦因此，我们可以设⑦的特解2024/2/2831例

7

求方程y

+

y+y

=2e2x

的通解.

解

a=2它不是特征方程r2+r+1=0的根，取k=0，那么代入方程，得故原方程的特解为所以，设特解为.B72=2024/2/2832例

8

求方程y

+2y

-3y

=ex

的特解.

解

a=1是特征方程r2+2r

-3=0的单根，取k=1，那么代入方程，得故原方程的特解为所以，设特解为,41=B2024/2/28333

自由项

f(x)为eax

(Acoswx+Bsinwx)型设二阶常系数线性非齐次方程为y

+

py

+

qy=eax(Acoswx+Bsinwx)，其中a，A

，B

均为常数.由于p，q

为常数，且指数函数的各阶导数仍为指数函数，

正弦函数与余弦函数的导数也总是余弦函数与正弦函数，因此,我们可以设⑧有特解⑧其中C，D

为待定常数.取

k=0，是根时，取

k=1，代入

⑧式，求得C

及D.

当

a+wi

不是

⑧

式所对应的齐次方程的特征方程的根时，2024/2/2834例9

求方程y

+3y

-

y

=excos2x

的一个特解.

解

自由项f(x)=excos2x

为eax(Acoswx+Bsinwx)

型的函数，那么

且a

+

wi

=

1+2i，它不是对应的常系数线性齐次方程的特征方程r2

+3r–1=0的根，取k=0，所以设特解为2024/2/2835代入原方程，得比较两端cos2x与sin2x的系数，得解此方程组，得故所求特解为2024/2/2836例

10

求方程y

+

y

=sinx

的一个特解.

解

自由项f(x)

=sinx

为eax(Acoswx+Bsinwx)型的函数，且a

=

0，w=1，那么代入原方程，得

且a

+

wi

=

i

是特征方程r2+1=0的根，取k=1，所以，设特解为2024/2/2837比较两端sinx与cosx的系数，得故原方程的特解为而对应齐次方程y

+

y=0的通解为Y=C1cosx+C2sinx.故原方程的通解为2024/2/2838例11

方程y

+4y

=x+1+sinx

的通解.

解

自由项f(x)

=x+1+sinx可以看成f1

(x)

=x+1和f2

(x)

=sinx

之和，y

+4y

=x+1，y

+4y

=sinx.和⑨⑩方程⑨

的特解易求得，设方程

⑩

的特解为的特解.所以分别求方程2024/2/2839代入⑩，得3Asinx=sinx.所以得原方程的特解2024/2/2840原方程所对应的线性齐次方程为

y

+4y

=0，其通解为Y=C1cos2x+C2sin2x，故原方程的通解为2024/2/2841三、应用举例例

12

弹簧振动问题设有一个弹簧上端固定，下端挂着一个质量为m的物体，当弹簧处于平衡位置时，物体所受的重力与弹性恢复力大小相等，方向相反，设给物体一个初始位移x0

初速度v0，那么物体便在其平衡位置附近上下振动.阻力与其速度成正比，O

试求振动过程中位移x

的变化规律.2024/2/2842物体在振动过程中，受到两个力的作用：ma=-

kx–mv,

其中a

为加速度，

v

为速度，解建立坐标系，平衡位置为原点,铅垂方向为x轴的正向，那么物体位移x是时间t的函数x=x(t).根据牛顿第二定律F=ma，知

负号表示阻力f2

与速度v

方向相反，